Maths (Spé) — Analyse
Calcul intégral
Intégrales, primitives, propriétés et calcul d'aires
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Cours de spé Maths. Même notion dans une autre matière : Calcul intégral — Maths complémentaires
Résumé
Intégrer, c'est mesurer une aire. Quand $f$ est continue et positive sur $[a\,;b]$, l'intégrale $\int_a^b f(x)\,dx$ est l'aire (en unités d'aire) du domaine coincé entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites $x = a$ et $x = b$. Tout le chapitre repose sur un pont magistral, le théorème fondamental de l'analyse : intégrer et dériver sont des opérations inverses. Concrètement, on cherche une primitive $F$ de $f$ (une fonction dont la dérivée redonne $f$), puis $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$. À partir d'un petit catalogue de primitives usuelles ($x^n$, $\dfrac{1}{x}$, $e^x$, $\cos$, $\sin$) et de trois propriétés clés — linéarité, relation de Chasles, positivité — on calcule des aires, des aires entre deux courbes, et la valeur moyenne $\mu = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$ d'une fonction. L'intégrale modélise partout des grandeurs cumulées : distance parcourue, énergie, quantité de matière.
Pour une fonction $f$ continue et positive sur $[a\,;b]$, l'intégrale $\int_a^b f(x)\,dx$ se lit comme une aire : celle du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les deux bords verticaux $x = a$ et $x = b$. On la mesure en unités d'aire (u.a.), l'u.a. étant l'aire du rectangle bâti sur les vecteurs unitaires du repère. Le symbole $\int$ est un « $S$ » allongé qui rappelle qu'une intégrale est une somme de tranches infiniment fines.
Quand $f \geq 0$, l'intégrale $\int_a^b f(x)\,dx$ est l'aire (en u.a.) du domaine colorié sous la courbe entre $x = a$ et $x = b$.
- Définition : si $f$ est continue et positive sur $[a\,;b]$, $\int_a^b f(x)\,dx$ est l'aire en u.a. du domaine entre la courbe, l'axe $Ox$ et les droites $x = a$ et $x = b$.
- Notation : dans $\int_a^b f(x)\,dx$, $a$ est la borne inférieure, $b$ la borne supérieure et $dx$ indique la variable d'intégration.
- Bornes égales : $\int_a^a f(x)\,dx = 0$ (un domaine de largeur nulle a une aire nulle).
- Bornes inversées : $\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$ (échanger les bornes change le signe).
- Encadrement : si $m \leq f(x) \leq M$ sur $[a\,;b]$, alors $m(b-a) \leq \int_a^b f(x)\,dx \leq M(b-a)$.
- Aire algébrique : si $f \leq 0$ sur $[a\,;b]$, l'intégrale est négative et l'aire vaut $-\int_a^b f(x)\,dx$ ; si $f$ change de signe, on découpe en sous-intervalles de signe constant et on additionne les valeurs absolues.
Exemple
Calculons l'aire sous la droite $f(x) = x$ entre $0$ et $4$. Une primitive de $x$ est $\dfrac{x^2}{2}$, donc $\int_0^4 x\,dx = \left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^4 = \dfrac{16}{2} - 0 = 8$ u.a. On vérifie géométriquement : le domaine est un triangle rectangle de base $4$ et de hauteur $4$, d'aire $\dfrac{4 \times 4}{2} = 8$. Les deux résultats coïncident.
Piège à éviter
L'intégrale est une aire algébrique : elle peut être négative. Sur une fonction qui change de signe, $\int_a^b f(x)\,dx$ donne la différence entre aire au-dessus et aire en dessous de l'axe — pas l'aire géométrique totale. Pour cette dernière, intègre $|f|$ en découpant aux racines.
Pour calculer une intégrale, on n'additionne jamais des tranches à la main : on remonte la dérivation. Une primitive de $f$ est une fonction $F$ dont la dérivée redonne $f$, c'est-à-dire $F'(x) = f(x)$. Le théorème fondamental de l'analyse relie alors les deux mondes : intégrer revient à évaluer une primitive aux bornes.
- Primitive : $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F'(x) = f(x)$ pour tout $x$ de $I$.
- Toutes les primitives : elles diffèrent d'une constante : si $F$ en est une, les autres s'écrivent $F + C$ avec $C \in \mathbb{R}$.
- Théorème fondamental : si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a\,;b]$, alors $\int_a^b f(x)\,dx = \big[F(x)\big]_a^b = F(b) - F(a)$.
- Primitive qui s'annule en $a$ : la fonction $x \mapsto \int_a^x f(t)\,dt$ est l'unique primitive de $f$ telle que sa valeur en $a$ soit $0$.
- Primitives usuelles : $x^n \mapsto \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ ; $\dfrac{1}{x} \mapsto \ln|x|$ ; $e^x \mapsto e^x$ ; $\cos x \mapsto \sin x$ ; $\sin x \mapsto -\cos x$.
- Formes composées : $u'e^{u} \mapsto e^{u} + C$ ; $\dfrac{u'}{u} \mapsto \ln|u| + C$ ; $u'u^n \mapsto \dfrac{u^{n+1}}{n+1} + C$.
Exemple
Calculons $\int_1^2 \left(3x^2 + \dfrac{1}{x}\right)dx$. Une primitive de $3x^2$ est $x^3$ et une primitive de $\dfrac{1}{x}$ est $\ln|x|$, donc $F(x) = x^3 + \ln x$. Ainsi $\int_1^2 \left(3x^2 + \dfrac{1}{x}\right)dx = \big[x^3 + \ln x\big]_1^2 = (8 + \ln 2) - (1 + \ln 1) = 7 + \ln 2$.
Piège à éviter
La primitive de $\dfrac{1}{x}$ est $\ln|x|$, pas $\ln x$ tout court (la valeur absolue est obligatoire quand $x < 0$). De même, ne dérive pas quand on te demande une primitive : pour $x^n$, on augmente l'exposant d'une unité et on divise par le nouvel exposant — l'inverse de la dérivation.
Trois propriétés permettent de manipuler les intégrales sans tout recalculer : la linéarité (on sort les constantes et on sépare les sommes), la relation de Chasles (on découpe l'intervalle) et la positivité (le signe de $f$ se transmet à l'intégrale). On les retient avec le moyen mnémotechnique « CLiP » : Chasles, Linéarité, Positivité.
- Linéarité : $\int_a^b \big[\alpha f(x) + \beta g(x)\big]\,dx = \alpha\int_a^b f(x)\,dx + \beta\int_a^b g(x)\,dx$.
- Relation de Chasles : pour tout $c$, $\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$.
- Positivité : si $f(x) \geq 0$ sur $[a\,;b]$ (avec $a \leq b$), alors $\int_a^b f(x)\,dx \geq 0$.
- Comparaison : si $f(x) \leq g(x)$ sur $[a\,;b]$ (avec $a \leq b$), alors $\int_a^b f(x)\,dx \leq \int_a^b g(x)\,dx$.
- Inégalité de la moyenne : $\left|\int_a^b f(x)\,dx\right| \leq \int_a^b |f(x)|\,dx$.
- Attention : l'intégrale d'un produit n'est PAS le produit des intégrales : $\int_a^b f g \neq \left(\int_a^b f\right)\left(\int_a^b g\right)$.
Exemple
On donne $\int_0^3 f(x)\,dx = 7$ et $\int_0^3 g(x)\,dx = 3$. Par linéarité : $\int_0^3 \big[2f(x) - g(x)\big]\,dx = 2\int_0^3 f(x)\,dx - \int_0^3 g(x)\,dx = 2 \times 7 - 3 = 11$. Aucune intégrale n'a été recalculée : la linéarité suffit.
Piège à éviter
La positivité et la comparaison supposent les bornes dans le bon ordre ($a \leq b$). Avec des bornes inversées, le signe bascule. Et même si $\int_a^b f(x)\,dx = 0$, cela n'oblige pas $f$ à être nulle : une fonction qui change de signe peut très bien avoir une intégrale nulle par compensation.
Le calcul intégral débouche sur deux applications phares. La valeur moyenne d'une fonction lisse en une seule hauteur l'ensemble de ses valeurs sur $[a\,;b]$. Et lorsque deux courbes se superposent, l'intégrale de leur différence mesure l'aire prise en sandwich entre elles.
- Valeur moyenne : $\mu = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$ — c'est la hauteur du rectangle de base $b - a$ ayant la même aire que le domaine sous la courbe.
- Interprétation : $\mu$ est la valeur constante qui « lisse » $f$ sur $[a\,;b]$ en conservant l'aire (utile pour une vitesse, une température, un débit moyens).
- Aire entre deux courbes : si $f(x) \geq g(x)$ sur $[a\,;b]$, l'aire entre les deux courbes vaut $\int_a^b \big[f(x) - g(x)\big]\,dx$.
- Courbes qui se croisent : on découpe l'intervalle aux points d'intersection, en gardant à chaque morceau (courbe du haut) $-$ (courbe du bas).
- Méthode : repérer la fonction du dessus, intégrer la différence, ne jamais oublier de prendre $\text{haut} - \text{bas}$ pour obtenir une aire positive.
Exemple
Valeur moyenne de $f(x) = x^2$ sur $[0\,;3]$. On calcule d'abord $\int_0^3 x^2\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = \dfrac{27}{3} = 9$, puis $\mu = \dfrac{1}{3-0} \times 9 = 3$. La parabole a donc, en moyenne, la hauteur $3$ sur $[0\,;3]$ : c'est la hauteur du rectangle de base $3$ et d'aire $9$.
Piège à éviter
Pour l'aire entre deux courbes, intègre toujours $\text{haut} - \text{bas}$, jamais l'inverse, sinon tu obtiens une aire négative. Et si les courbes se croisent sur $[a\,;b]$, une seule intégrale ne suffit pas : il faut découper aux abscisses d'intersection.
Quiz - Calcul intégral
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Calcul intégral, extraits du quiz de révision.
Pour $f$ continue et positive sur $[a\,;b]$, l'intégrale $\int_a^b f(x)\,dx$ représente :
Réponse :
L'aire (en u.a.) sous la courbe entre $x = a$ et $x = b$
Par définition, si $f$ est continue et positive sur $[a\,;b]$, $\int_a^b f(x)\,dx$ mesure l'aire (en unités d'aire) du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites verticales $x = a$ et $x = b$.
Si $F$ est une primitive de $f$, alors $\int_a^b f(x)\,dx$ vaut :
Réponse :
$F(b) - F(a)$
C'est le théorème fondamental de l'analyse : $\int_a^b f(x)\,dx = \big[F(x)\big]_a^b = F(b) - F(a)$. On évalue la primitive à la borne supérieure, puis on soustrait sa valeur à la borne inférieure.
Une primitive de $f(x) = x^2$ est :
Réponse :
$\dfrac{x^3}{3}$
La primitive de $x^n$ est $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$, donc pour $x^2$ on obtient $\dfrac{x^3}{3} + C$. Vérification : $\left(\dfrac{x^3}{3}\right)' = \dfrac{3x^2}{3} = x^2$. Le distracteur $2x$ est la dérivée, pas la primitive.
La relation de Chasles pour les intégrales affirme que :
Réponse :
$\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$
La relation de Chasles découpe une intégrale en somme sur des sous-intervalles : $\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$. C'est l'outil clé pour les fonctions définies par morceaux.