Maths (Spé) — Analyse
Calcul intégral
Intégrales, primitives, propriétés et calcul d'aires
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Intégrer, c'est **mesurer une aire**. Quand $f$ est continue et positive sur $[a\,;b]$, l'intégrale $\int_a^b f(x)\,dx$ est l'aire (en **unités d'aire**) du domaine coincé entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites $x = a$ et $x = b$. Tout le chapitre repose sur un pont magistral, le **théorème fondamental de l'analyse** : intégrer et dériver sont des opérations **inverses**. Concrètement, on cherche une **primitive** $F$ de $f$ (une fonction dont la dérivée redonne $f$), puis $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$. À partir d'un petit catalogue de primitives usuelles ($x^n$, $\dfrac{1}{x}$, $e^x$, $\cos$, $\sin$) et de trois propriétés clés — **linéarité**, **relation de Chasles**, **positivité** — on calcule des aires, des aires entre deux courbes, et la **valeur moyenne** $\mu = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$ d'une fonction. L'intégrale modélise partout des grandeurs cumulées : distance parcourue, énergie, quantité de matière.
Pour une fonction $f$ **continue et positive** sur $[a\,;b]$, l'intégrale $\int_a^b f(x)\,dx$ se lit comme une **aire** : celle du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les deux bords verticaux $x = a$ et $x = b$. On la mesure en **unités d'aire** (u.a.), l'u.a. étant l'aire du rectangle bâti sur les vecteurs unitaires du repère. Le symbole $\int$ est un « $S$ » allongé qui rappelle qu'une intégrale est une **somme** de tranches infiniment fines.
- **Définition :** si $f$ est continue et positive sur $[a\,;b]$, $\int_a^b f(x)\,dx$ est l'**aire en u.a.** du domaine entre la courbe, l'axe $Ox$ et les droites $x = a$ et $x = b$.
- **Notation :** dans $\int_a^b f(x)\,dx$, $a$ est la **borne inférieure**, $b$ la **borne supérieure** et $dx$ indique la variable d'intégration.
- **Bornes égales :** $\int_a^a f(x)\,dx = 0$ (un domaine de largeur nulle a une aire nulle).
- **Bornes inversées :** $\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$ (échanger les bornes change le signe).
- **Encadrement :** si $m \leq f(x) \leq M$ sur $[a\,;b]$, alors $m(b-a) \leq \int_a^b f(x)\,dx \leq M(b-a)$.
- **Aire algébrique :** si $f \leq 0$ sur $[a\,;b]$, l'intégrale est négative et l'aire vaut $-\int_a^b f(x)\,dx$ ; si $f$ change de signe, on découpe en sous-intervalles de signe constant et on additionne les **valeurs absolues**.
Exemple
Calculons l'aire sous la droite $f(x) = x$ entre $0$ et $4$. Une primitive de $x$ est $\dfrac{x^2}{2}$, donc $\int_0^4 x\,dx = \left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^4 = \dfrac{16}{2} - 0 = 8$ u.a. On vérifie géométriquement : le domaine est un triangle rectangle de base $4$ et de hauteur $4$, d'aire $\dfrac{4 \times 4}{2} = 8$. Les deux résultats coïncident.
Piège à éviter
L'intégrale est une aire **algébrique** : elle peut être négative. Sur une fonction qui change de signe, $\int_a^b f(x)\,dx$ donne la différence entre aire au-dessus et aire en dessous de l'axe — **pas** l'aire géométrique totale. Pour cette dernière, intègre $|f|$ en découpant aux racines.
Pour calculer une intégrale, on n'additionne jamais des tranches à la main : on remonte la dérivation. Une **primitive** de $f$ est une fonction $F$ dont la dérivée redonne $f$, c'est-à-dire $F'(x) = f(x)$. Le **théorème fondamental de l'analyse** relie alors les deux mondes : intégrer revient à évaluer une primitive aux bornes.
- **Primitive :** $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F'(x) = f(x)$ pour tout $x$ de $I$.
- **Toutes les primitives :** elles diffèrent d'une **constante** : si $F$ en est une, les autres s'écrivent $F + C$ avec $C \in \mathbb{R}$.
- **Théorème fondamental :** si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a\,;b]$, alors $\int_a^b f(x)\,dx = \big[F(x)\big]_a^b = F(b) - F(a)$.
- **Primitive qui s'annule en $a$ :** la fonction $x \mapsto \int_a^x f(t)\,dt$ est l'**unique** primitive de $f$ telle que sa valeur en $a$ soit $0$.
- **Primitives usuelles :** $x^n \mapsto \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ ; $\dfrac{1}{x} \mapsto \ln|x|$ ; $e^x \mapsto e^x$ ; $\cos x \mapsto \sin x$ ; $\sin x \mapsto -\cos x$.
- **Formes composées :** $u'e^{u} \mapsto e^{u} + C$ ; $\dfrac{u'}{u} \mapsto \ln|u| + C$ ; $u'u^n \mapsto \dfrac{u^{n+1}}{n+1} + C$.
Exemple
Calculons $\int_1^2 \left(3x^2 + \dfrac{1}{x}\right)dx$. Une primitive de $3x^2$ est $x^3$ et une primitive de $\dfrac{1}{x}$ est $\ln|x|$, donc $F(x) = x^3 + \ln x$. Ainsi $\int_1^2 \left(3x^2 + \dfrac{1}{x}\right)dx = \big[x^3 + \ln x\big]_1^2 = (8 + \ln 2) - (1 + \ln 1) = 7 + \ln 2$.
Piège à éviter
La primitive de $\dfrac{1}{x}$ est $\ln|x|$, **pas** $\ln x$ tout court (la valeur absolue est obligatoire quand $x < 0$). De même, ne dérive pas quand on te demande une primitive : pour $x^n$, on **augmente** l'exposant d'une unité et on divise par le nouvel exposant — l'inverse de la dérivation.
Trois propriétés permettent de manipuler les intégrales sans tout recalculer : la **linéarité** (on sort les constantes et on sépare les sommes), la **relation de Chasles** (on découpe l'intervalle) et la **positivité** (le signe de $f$ se transmet à l'intégrale). On les retient avec le moyen mnémotechnique **« CLiP »** : Chasles, Linéarité, Positivité.
- **Linéarité :** $\int_a^b \big[\alpha f(x) + \beta g(x)\big]\,dx = \alpha\int_a^b f(x)\,dx + \beta\int_a^b g(x)\,dx$.
- **Relation de Chasles :** pour tout $c$, $\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$.
- **Positivité :** si $f(x) \geq 0$ sur $[a\,;b]$ (avec $a \leq b$), alors $\int_a^b f(x)\,dx \geq 0$.
- **Comparaison :** si $f(x) \leq g(x)$ sur $[a\,;b]$ (avec $a \leq b$), alors $\int_a^b f(x)\,dx \leq \int_a^b g(x)\,dx$.
- **Inégalité de la moyenne :** $\left|\int_a^b f(x)\,dx\right| \leq \int_a^b |f(x)|\,dx$.
- **Attention :** l'intégrale d'un **produit** n'est PAS le produit des intégrales : $\int_a^b f g \neq \left(\int_a^b f\right)\left(\int_a^b g\right)$.
Exemple
On donne $\int_0^3 f(x)\,dx = 7$ et $\int_0^3 g(x)\,dx = 3$. Par linéarité : $\int_0^3 \big[2f(x) - g(x)\big]\,dx = 2\int_0^3 f(x)\,dx - \int_0^3 g(x)\,dx = 2 \times 7 - 3 = 11$. Aucune intégrale n'a été recalculée : la linéarité suffit.
Piège à éviter
La positivité et la comparaison supposent les bornes **dans le bon ordre** ($a \leq b$). Avec des bornes inversées, le signe bascule. Et même si $\int_a^b f(x)\,dx = 0$, cela n'oblige pas $f$ à être nulle : une fonction qui change de signe peut très bien avoir une intégrale nulle par compensation.
Le calcul intégral débouche sur deux applications phares. La **valeur moyenne** d'une fonction lisse en une seule hauteur l'ensemble de ses valeurs sur $[a\,;b]$. Et lorsque deux courbes se superposent, l'intégrale de leur différence mesure l'**aire** prise en sandwich entre elles.
- **Valeur moyenne :** $\mu = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$ — c'est la hauteur du rectangle de base $b - a$ ayant la **même aire** que le domaine sous la courbe.
- **Interprétation :** $\mu$ est la valeur constante qui « lisse » $f$ sur $[a\,;b]$ en conservant l'aire (utile pour une vitesse, une température, un débit moyens).
- **Aire entre deux courbes :** si $f(x) \geq g(x)$ sur $[a\,;b]$, l'aire entre les deux courbes vaut $\int_a^b \big[f(x) - g(x)\big]\,dx$.
- **Courbes qui se croisent :** on découpe l'intervalle aux points d'intersection, en gardant à chaque morceau **(courbe du haut) $-$ (courbe du bas)**.
- **Méthode :** repérer la fonction du dessus, intégrer la différence, ne jamais oublier de prendre $\text{haut} - \text{bas}$ pour obtenir une aire positive.
Exemple
Valeur moyenne de $f(x) = x^2$ sur $[0\,;3]$. On calcule d'abord $\int_0^3 x^2\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = \dfrac{27}{3} = 9$, puis $\mu = \dfrac{1}{3-0} \times 9 = 3$. La parabole a donc, en moyenne, la hauteur $3$ sur $[0\,;3]$ : c'est la hauteur du rectangle de base $3$ et d'aire $9$.
Piège à éviter
Pour l'aire entre deux courbes, intègre toujours $\text{haut} - \text{bas}$, jamais l'inverse, sinon tu obtiens une aire **négative**. Et si les courbes se croisent sur $[a\,;b]$, une seule intégrale ne suffit pas : il faut découper aux abscisses d'intersection.
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Calcul intégral, extraits du quiz de révision.
Pour $f$ continue et **positive** sur $[a\,;b]$, l'intégrale $\int_a^b f(x)\,dx$ représente :
Réponse :
L'aire (en u.a.) sous la courbe entre $x = a$ et $x = b$
Par définition, si $f$ est continue et positive sur $[a\,;b]$, $\int_a^b f(x)\,dx$ mesure l'**aire** (en unités d'aire) du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites verticales $x = a$ et $x = b$.
Si $F$ est une primitive de $f$, alors $\int_a^b f(x)\,dx$ vaut :
Réponse :
$F(b) - F(a)$
C'est le théorème fondamental de l'analyse : $\int_a^b f(x)\,dx = \big[F(x)\big]_a^b = F(b) - F(a)$. On évalue la primitive à la borne **supérieure**, puis on soustrait sa valeur à la borne inférieure.
Une primitive de $f(x) = x^2$ est :
Réponse :
$\dfrac{x^3}{3}$
La primitive de $x^n$ est $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$, donc pour $x^2$ on obtient $\dfrac{x^3}{3} + C$. Vérification : $\left(\dfrac{x^3}{3}\right)' = \dfrac{3x^2}{3} = x^2$. Le distracteur $2x$ est la **dérivée**, pas la primitive.
La relation de Chasles pour les intégrales affirme que :
Réponse :
$\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$
La relation de Chasles découpe une intégrale en somme sur des sous-intervalles : $\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$. C'est l'outil clé pour les fonctions définies par morceaux.