Maths (Spé) — Analyse
Équations différentielles et primitives
Primitives, équation y' = ay, y' = ay + b
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Cours de spé Maths. Même notion dans une autre matière : Équations différentielles — Maths complémentaires
Résumé
Dériver, vous savez faire. Mais sait-on remonter le courant ? Trouver une fonction $F$ dont la dérivée est une fonction $f$ donnée, c'est chercher une primitive : $F' = f$. Toute fonction continue en possède, et deux primitives ne diffèrent que d'une constante $C$. On apprend un petit catalogue de primitives usuelles (celle de $x^n$ est $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$, celle de $\dfrac{1}{x}$ est $\ln|x|$, celle de $e^x$ est $e^x$). Cette mécanique débloque les équations différentielles : des équations dont l'inconnue n'est plus un nombre mais une fonction, reliée à sa dérivée. Deux modèles dominent le programme : $y' = ay$, dont les solutions sont les exponentielles $y = C\,e^{ax}$, et $y' = ay + b$, dont les solutions sont $y = C\,e^{ax} - \dfrac{b}{a}$. Une condition initiale $y(x_0) = y_0$ fixe la constante $C$ et désigne l'unique solution. C'est le langage de la radioactivité, de la croissance des populations et du refroidissement.
Une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ est une fonction $F$ dérivable telle que $F' = f$ sur $I$. C'est l'opération inverse de la dérivation. Comme la dérivée d'une constante est nulle, si $F$ convient alors $F + C$ aussi : il existe donc une infinité de primitives, toutes parallèles à une constante près.
- Définition : $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F'(x) = f(x)$ pour tout $x$ de $I$.
- Famille : toutes les primitives de $f$ s'écrivent $F + C$ avec $C \in \mathbb{R}$ ; deux primitives diffèrent d'une constante.
- Usuelles : $x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ (pour $n \neq -1$), $\dfrac{1}{x} \to \ln|x|$, $e^x \to e^x$, $\cos x \to \sin x$, $\sin x \to -\cos x$.
- Composées : $e^{ax} \to \dfrac{1}{a}e^{ax}$ et $(ax + b)^n \to \dfrac{1}{a} \cdot \dfrac{(ax + b)^{n+1}}{n+1}$.
- Forme $\dfrac{u'}{u}$ : primitive $\ln|u|$ — très utile pour les fractions rationnelles.
Exemple
Cherchons une primitive de $f(x) = 3x^2 + \dfrac{1}{x} - e^x$ sur $]0\,;+\infty[$. Terme par terme : $3x^2 \to x^3$, $\dfrac{1}{x} \to \ln|x|$, $-e^x \to -e^x$. Donc $F(x) = x^3 + \ln x - e^x + C$. On vérifie en dérivant : $F'(x) = 3x^2 + \dfrac{1}{x} - e^x = f(x)$.
Piège à éviter
Une primitive n'est jamais unique : sans condition imposée, n'oublie jamais le $+\,C$. La règle $x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ échoue pour $n = -1$ (division par $0$) : la primitive de $\dfrac{1}{x}$ est $\ln|x|$, pas une puissance.
Première équation différentielle reine du programme : on cherche toutes les fonctions $y$ dont la dérivée est proportionnelle à elles-mêmes, $y' = ay$. La seule fonction qui se reproduit en se dérivant étant l'exponentielle, les solutions sont exactement les $y = C\,e^{ax}$. Le signe de $a$ décide : croissance si $a > 0$, extinction si $a < 0$.
- Solutions : $y(x) = C\,e^{ax}$, où $C \in \mathbb{R}$ est une constante quelconque.
- Si $a > 0$ : croissance exponentielle (population, intérêts composés).
- Si $a < 0$ : décroissance exponentielle vers $0$ (radioactivité, refroidissement).
- Condition initiale : $y(0) = y_0$ donne $C = y_0$, d'où l'unique solution $y(x) = y_0\,e^{ax}$.
- Plus généralement, $y(x_0) = y_0$ fixe $C$ : c'est le problème de Cauchy, à solution unique.
Exemple
Résolvons $y' = -2y$ avec $y(0) = 5$. Forme générale : $y(x) = C\,e^{-2x}$. La condition initiale donne $y(0) = C\,e^0 = C = 5$. L'unique solution est donc $y(x) = 5\,e^{-2x}$, une décroissance vers $0$.
Piège à éviter
Dans $y = C\,e^{ax}$, le coefficient $a$ se retrouve à l'exposant, pas en facteur : la solution de $y' = 3y$ est $C\,e^{3x}$, surtout pas $3e^x$ ni $C\,e^{x/3}$.
On ajoute un terme constant : $y' = ay + b$ (avec $a \neq 0$). La méthode est universelle : la solution générale est la somme des solutions de l'équation homogène $y' = ay$ et d'une solution particulière constante. Cette constante s'obtient en cherchant un équilibre où $y' = 0$.
- Solution particulière constante : on impose $y' = 0$, donc $ay + b = 0$, d'où $y_p = -\dfrac{b}{a}$.
- Solution générale : $y(x) = C\,e^{ax} - \dfrac{b}{a}$ (homogène $+$ particulière).
- Quand $a < 0$, la solution tend vers $-\dfrac{b}{a}$ : c'est l'état d'équilibre du système.
- Condition initiale $y(x_0) = y_0$ : on calcule $C$ et on obtient l'unique solution.
Exemple
Résolvons $y' = 2y - 6$ avec $y(0) = 5$. Solution particulière : $2y_p - 6 = 0 \Rightarrow y_p = 3$. Solution générale : $y(x) = C\,e^{2x} + 3$. Condition initiale : $y(0) = C + 3 = 5 \Rightarrow C = 2$. D'où $y(x) = 2\,e^{2x} + 3$.
Piège à éviter
La constante particulière est $-\dfrac{b}{a}$, soit ici $-\dfrac{-6}{2} = 3$ : attention aux deux signes. On ajoute $C$ à $e^{ax}$, jamais à $x$ : $y = C\,e^{ax} - \dfrac{b}{a}$, pas $e^{ax} + C - \dfrac{b}{a}$ mal placé.
Ces équations ne sont pas un jeu formel : dès qu'une grandeur varie proportionnellement à elle-même, on tombe sur $y' = ay$. C'est le cœur des modèles de désintégration, de croissance et de refroidissement, en physique comme en SVT.
- Radioactivité : $N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$ — décroissance, avec une demi-vie $t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}$.
- Population : $P(t) = P_0\,e^{rt}$ pour un taux de croissance constant $r$.
- Circuit RC : la tension vérifie $y' = -\dfrac{1}{\tau}y + \dfrac{E}{\tau}$, du type $y' = ay + b$.
- Refroidissement de Newton : $T'(t) = -k\,(T - T_a)$ — la température tend vers l'ambiante $T_a$.
Exemple
Désintégration : $N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$. La demi-vie est l'instant $t_{1/2}$ où $N = \dfrac{N_0}{2}$. On résout $e^{-\lambda t} = \dfrac{1}{2}$, soit $-\lambda t_{1/2} = \ln\dfrac{1}{2} = -\ln 2$. D'où $t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}$ : la demi-vie ne dépend pas de la quantité initiale.
Piège à éviter
Une décroissance exponentielle ne s'annule jamais vraiment : $e^{-\lambda t} > 0$ pour tout $t$, la courbe tend vers $0$ sans l'atteindre. La demi-vie est un temps fixe, indépendant de $N_0$ — il faut toujours le même délai pour diviser la quantité par deux.
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Équations différentielles et primitives, extraits du quiz de révision.
Parmi ces fonctions, lesquelles sont des primitives de $2x$ ?
Réponse :
$x^2$ et $x^2 + 5$ le sont toutes deux
Les primitives de $2x$ sont les $x^2 + C$. Ainsi $x^2$ (pour $C = 0$) et $x^2 + 5$ (pour $C = 5$) conviennent : deux primitives diffèrent toujours d'une constante.
Une primitive de $\dfrac{1}{x}$ sur $]0\,;+\infty[$ est :
Réponse :
$\ln|x|$
La dérivée de $\ln|x|$ est $\dfrac{1}{x}$, donc $\ln|x|$ est une primitive de $\dfrac{1}{x}$. La règle $x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ ne marche pas ici car $n = -1$.
Une primitive de $\cos x$ est :
Réponse :
$\sin x$
$(\sin x)' = \cos x$, donc $\sin x$ est une primitive de $\cos x$. À l'inverse, une primitive de $\sin x$ est $-\cos x$.
Une primitive de $e^{2x}$ est :
Réponse :
$\dfrac{1}{2}e^{2x}$
Une primitive de $e^{ax}$ est $\dfrac{1}{a}e^{ax}$. Ici $a = 2$, donc la primitive est $\dfrac{1}{2}e^{2x} + C$. On vérifie : $\left(\dfrac{1}{2}e^{2x}\right)' = e^{2x}$.