Maths (Spé) — Probabilités
Combinatoire et dénombrement
Permutations, arrangements, combinaisons, binôme de Newton
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Résumé
La combinatoire permet de compter le nombre de façons de choisir ou d'ordonner des éléments d'un ensemble. Le nombre de permutations de $n$ éléments est $n!$ (factorielle $n$). Le nombre d'arrangements de $p$ éléments parmi $n$ est $\dfrac{n!}{(n-p)!}$, ce qui correspond au nombre de listes ordonnées. Le nombre de combinaisons de $p$ éléments parmi $n$, noté $\binom{n}{p}$, est $\dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}$ : il compte les sous-ensembles sans tenir compte de l'ordre. Par exemple, le nombre de mains de $5$ cartes dans un jeu de $32$ est $\binom{32}{5} = 201\,376$. La formule du binôme de Newton permet de développer $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\,a^{n-k}\,b^k$. Le triangle de Pascal organise les coefficients binomiaux grâce à la relation $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$.
La factorielle est l'outil de base du dénombrement. Elle permet de compter toutes les façons d'ordonner un ensemble d'éléments — c'est le point de départ de la combinatoire.
- Définition : $n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 2 \times 1$. Par convention, $0! = 1$.
- Exemples : $3! = 6$, $4! = 24$, $5! = 120$, $10! = 3\,628\,800$.
- Interprétation : $n!$ est le nombre de permutations, c'est-à-dire le nombre de façons d'ordonner $n$ éléments distincts.
- Propriété récursive : $n! = n \times (n-1)!$, ce qui permet de simplifier les calculs de fractions de factorielles.
- Croissance très rapide : $13! > 6$ milliards. C'est pourquoi on simplifie toujours avant de calculer.
Exemple
Combien de façons de ranger $5$ livres sur une étagère ? La première place offre $5$ choix, la deuxième $4$, etc. : $5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5! = 120$ façons.
Piège à éviter
Ne pas oublier que $0! = 1$ (par convention). Cette valeur apparaît souvent dans les formules de combinaisons quand $k = 0$ ou $k = n$.
Un arrangement est une sélection ordonnée. La question type : « De combien de façons peut-on former un podium, un code ou une liste ordonnée ? »
Arrangements : l'ordre crée des résultats distincts. Combinaisons : seul le choix compte.
- Définition : un arrangement de $p$ éléments parmi $n$ est une liste ordonnée de $p$ éléments distincts choisis parmi $n$.
- Formule : $A_n^p = \dfrac{n!}{(n-p)!} = n \times (n-1) \times \dots \times (n-p+1)$, soit $p$ facteurs consécutifs décroissants.
- L'ordre compte : $(A,B,C) \neq (C,B,A)$, ce sont deux arrangements différents.
- Cas particulier : $A_n^n = n!$ — c'est une permutation (on utilise tous les éléments).
- Cas particulier : $A_n^1 = n$ — choisir $1$ élément parmi $n$.
- Astuce calcul : $A_{10}^3 = 10 \times 9 \times 8 = 720$. Pas besoin de calculer $10!$ en entier.
Exemple
Nombre de podiums (or, argent, bronze) parmi $10$ athlètes : $A_{10}^3 = 10 \times 9 \times 8 = 720$. Chaque place est distincte, donc l'ordre compte.
Piège à éviter
Si l'énoncé dit « classement », « rang », « code » ou « ordre » $\Rightarrow$ c'est un arrangement. Si l'énoncé dit « groupe », « équipe » ou « main de cartes » $\Rightarrow$ c'est une combinaison.
Les combinaisons comptent les sous-ensembles. C'est l'outil le plus fréquent au Bac : il intervient dans les problèmes de probabilités, de dénombrement de mains de cartes, de choix de groupes, etc.
- Définition : une combinaison de $p$ éléments parmi $n$ est un sous-ensemble de $p$ éléments (sans ordre).
- Formule : $\binom{n}{p} = \dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}$. On lit « $p$ parmi $n$ ».
- Lien avec les arrangements : $\binom{n}{p} = \dfrac{A_n^p}{p!}$ — on divise par $p!$ pour éliminer les ordres redondants.
- Symétrie fondamentale : $\binom{n}{p} = \binom{n}{n-p}$. Choisir $p$ éléments revient à en exclure $n-p$.
- Valeurs remarquables : $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$ et $\binom{n}{1} = \binom{n}{n-1} = n$.
- Technique de simplification : $\binom{8}{3} = \dfrac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$. Toujours simplifier avant de multiplier.
Exemple
Nombre de mains de $5$ cartes dans un jeu de $32$ : $\binom{32}{5} = \dfrac{32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 201\,376$. L'ordre de distribution ne compte pas.
Piège à éviter
Erreur classique au Bac : confondre $\binom{n}{p}$ et $A_n^p$. Se demander « est-ce que l'ordre change le résultat ? » Si oui $\Rightarrow$ arrangement. Si non $\Rightarrow$ combinaison.
Le triangle de Pascal est une table qui organise tous les coefficients binomiaux $\binom{n}{k}$. Chaque nombre est la somme des deux nombres situés juste au-dessus de lui.
Chaque coefficient $\binom{n}{k}$ est la somme de $\binom{n-1}{k-1}$ et $\binom{n-1}{k}$ — les deux nombres au-dessus.
- Relation de Pascal : $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$ — c'est la règle de construction du triangle.
- Les bords du triangle valent toujours $1$ : $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$.
- Chaque ligne est symétrique : la lecture se fait dans les deux sens.
- La ligne $n$ donne les coefficients du développement de $(a+b)^n$.
- Somme d'une ligne : $\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \dots + \binom{n}{n} = 2^n$.
- Au Bac : on peut construire le triangle jusqu'à la ligne demandée plutôt que calculer chaque $\binom{n}{k}$.
Exemple
Pour trouver $\binom{5}{2}$ avec le triangle : ligne $5 \to 1,\ 5,\ 10,\ 10,\ 5,\ 1$. Le coefficient en position $k = 2$ vaut $10$. Vérification : $\dfrac{5!}{2!\,\times 3!} = \dfrac{120}{12} = 10$.
Le binôme de Newton permet de développer $(a+b)^n$ sans tout multiplier. Les coefficients sont exactement ceux du triangle de Pascal — c'est l'application principale de la combinatoire en algèbre.
Les coefficients du développement de $(a+b)^3$ se lisent sur la ligne $3$ du triangle : $1,\ 3,\ 3,\ 1$.
- Formule : $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\,a^{n-k}\,b^k$.
- Les puissances de $a$ décroissent de $n$ à $0$, celles de $b$ croissent de $0$ à $n$.
- La somme des exposants vaut toujours $n$ dans chaque terme.
- Cas particuliers utiles : $(1+x)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\,x^k$, et $(1-1)^n = 0$ donne la somme alternée.
- Application : $(1+1)^n = 2^n$ prouve que la somme de tous les $\binom{n}{k}$ vaut $2^n$.
Exemple
Développer $(x+2)^4$ : on utilise la ligne $4 \to 1,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1$. On obtient $x^4 + 4 \times x^3 \times 2 + 6 \times x^2 \times 4 + 4 \times x \times 8 + 16 = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16$.
Piège à éviter
Quand $b$ est négatif, les signes alternent. Par exemple $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2 b + 3ab^2 - b^3$. Ne pas oublier l'alternance des signes !
Au Bac, la difficulté n'est pas le calcul mais l'identification de l'outil. Voici la démarche systématique à suivre face à un exercice de dénombrement.
- Étape 1 : identifier l'ensemble de départ (dans quoi on choisit ?) et son nombre d'éléments $n$.
- Étape 2 : combien d'éléments choisit-on ? $\Rightarrow$ c'est $p$.
- Étape 3 : l'ordre a-t-il une importance ? Oui $\Rightarrow$ arrangement. Non $\Rightarrow$ combinaison.
- Étape 4 : si l'exercice mélange des contraintes, décomposer en étapes indépendantes et multiplier (principe multiplicatif).
- Principe additif : si deux cas sont incompatibles, on additionne leurs nombres de possibilités.
- Principe multiplicatif : si deux choix sont indépendants, on multiplie leurs nombres de possibilités.
- Dénombrement du complémentaire : parfois il est plus simple de calculer le total moins les cas interdits.
Exemple
Parmi $20$ élèves ($12$ filles, $8$ garçons), combien de délégations de $3$ personnes comptant au moins une fille ? Méthode complémentaire : $\binom{20}{3} - \binom{8}{3} = 1\,140 - 56 = 1\,084$.
Piège à éviter
« Au moins un » $\Rightarrow$ penser au complémentaire. C'est souvent plus rapide que de lister tous les cas favorables.
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Combinatoire et dénombrement, extraits du quiz de révision.
Que vaut $5!$ ?
Réponse :
$120$
$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$. La factorielle de $n$ est le produit de tous les entiers de $1$ à $n$.
Combien de façons d'ordonner $4$ personnes dans une file ?
Réponse :
$24$
C'est le nombre de permutations de $4$ éléments : $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
Que vaut $\binom{6}{2}$ ?
Réponse :
$15$
$\binom{6}{2} = \dfrac{6!}{2!\,\times 4!} = \dfrac{6 \times 5}{2 \times 1} = \dfrac{30}{2} = 15$. C'est le nombre de façons de choisir $2$ éléments parmi $6$ sans ordre.
Quelle est la relation de Pascal ?
Réponse :
$\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$
La relation de Pascal s'écrit $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$. C'est elle qui construit le triangle de Pascal ligne par ligne.