Maths (Spé) — Analyse
Suites — Récurrence et convergence
Raisonnement par récurrence, monotonie, convergence, théorèmes
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Le raisonnement par récurrence permet de démontrer qu'une propriété P(n) est vraie pour tout entier n ≥ n₀ en deux étapes : l'initialisation (vérifier P(n₀)) et l'hérédité (montrer que P(n) ⟹ P(n+1)). C'est l'outil fondamental pour les suites définies par récurrence. Une suite (uₙ) est croissante si uₙ₊₁ ≥ uₙ pour tout n, décroissante si uₙ₊₁ ≤ uₙ. Une suite est convergente si elle admet une limite finie ℓ quand n tend vers +∞. Le théorème de convergence monotone affirme que toute suite croissante majorée converge, et toute suite décroissante minorée converge. Deux suites adjacentes (l'une croissante, l'autre décroissante, avec la même limite) convergent vers la même limite.
La récurrence est LA méthode incontournable du programme de Terminale. Elle permet de démontrer qu'une propriété est vraie pour tout entier à partir d'un certain rang — comme une chaîne de dominos.
- Étape 1 — Initialisation : vérifier que P(n₀) est vraie (souvent n₀ = 0 ou n₀ = 1)
- Étape 2 — Hérédité : supposer P(n) vraie pour un certain n ≥ n₀ (hypothèse de récurrence), puis montrer que P(n+1) est vraie
- Étape 3 — Conclusion : « Par le principe de récurrence, P(n) est vraie pour tout entier n ≥ n₀ »
- L'hypothèse de récurrence DOIT être utilisée dans la démonstration de l'hérédité — sinon la preuve est incomplète
- Rédaction type au Bac : « Soit P(n) la propriété... Initialisation : Pour n = 0... Hérédité : Supposons P(n) vraie pour un certain n... Montrons P(n+1)... »
Exemple
Montrer que pour tout n ≥ 1, 1+2+...+n = n(n+1)/2. Init : P(1) : 1 = 1×2/2 = 1 ✓. Hérédité : on suppose 1+...+n = n(n+1)/2. Alors 1+...+n+(n+1) = n(n+1)/2 + (n+1) = (n+1)(n+2)/2. C'est P(n+1). ✓
Piège à éviter
Les 2 erreurs les plus sanctionnées au Bac : (1) oublier l'initialisation, (2) ne pas utiliser l'hypothèse de récurrence dans l'hérédité. Vérifiez toujours que votre preuve « utilise » P(n) pour arriver à P(n+1).
Déterminer si une suite est croissante ou décroissante est souvent la première étape avant d'appliquer un théorème de convergence. Il y a 3 méthodes selon le type de suite.
- Méthode 1 — Signe de uₙ₊₁ − uₙ : si ≥ 0 pour tout n → croissante, si ≤ 0 → décroissante
- Méthode 2 — Quotient uₙ₊₁/uₙ : si ≥ 1 (et uₙ > 0) → croissante, si ≤ 1 → décroissante
- Méthode 3 — Si uₙ = f(n), étudier les variations de f sur [0;+∞[ avec f'
- Pour une suite récurrente uₙ₊₁ = f(uₙ), on étudie le signe de f(x) − x (ou on utilise la récurrence)
- Monotonie stricte (< ou >) vs large (≤ ou ≥) : au Bac, la distinction est rarement cruciale
Exemple
uₙ = n/(n+1). Méthode 1 : uₙ₊₁ − uₙ = (n+1)/(n+2) − n/(n+1) = 1/[(n+1)(n+2)] > 0 pour tout n ≥ 0. Donc (uₙ) est strictement croissante.
Piège à éviter
Pour la méthode du quotient, elle ne marche que si tous les termes sont strictement positifs. Si uₙ peut être nul ou négatif, utiliser la méthode de la différence.
Une suite converge si ses termes se rapprochent indéfiniment d'une valeur finie ℓ. Connaître les limites de référence est essentiel pour le Bac — elles reviennent dans presque tous les exercices.
- Définition : (uₙ) converge vers ℓ si pour tout ε > 0, il existe N tel que pour tout n ≥ N, |uₙ − ℓ| < ε
- Limites de référence à connaître par cœur : qⁿ → 0 si |q| < 1, qⁿ → +∞ si q > 1
- Croissances comparées : ln(n)/n → 0, n^α/eⁿ → 0, ln(n)/n^α → 0 (l'exponentielle domine tout)
- Opérations sur les limites : somme, produit, quotient fonctionnent sauf formes indéterminées
- Les 4 formes indéterminées (FI) : +∞ − ∞, 0 × ∞, ∞/∞, 0/0
- Lever une FI : factoriser par le terme dominant, encadrer, ou utiliser les croissances comparées
Exemple
Limite de uₙ = (2n² + 3n)/(n² − 1). FI ∞/∞. On factorise par n² : (2 + 3/n)/(1 − 1/n²) → 2/1 = 2. Astuce : au numérateur et au dénominateur, seul le terme de plus haut degré compte.
Piège à éviter
Ne jamais écrire « ∞/∞ = 1 » ou « ∞ − ∞ = 0 ». Les formes indéterminées n'ont PAS de valeur automatique — il faut les lever par un calcul.
C'est le théorème le plus utilisé au Bac pour prouver qu'une suite converge. Il dit : une suite croissante et majorée converge. Mais attention — il ne donne pas la valeur de la limite.
- Théorème : toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge
- Ce théorème prouve l'existence de la limite, pas sa valeur
- Pour trouver ℓ : si uₙ₊₁ = f(uₙ) et f continue, passer à la limite → ℓ = f(ℓ)
- Démarche Bac complète : (1) montrer la monotonie, (2) montrer la borne, (3) conclure par le théorème, (4) calculer ℓ
- Théorème des gendarmes : si vₙ ≤ uₙ ≤ wₙ et lim vₙ = lim wₙ = ℓ, alors lim uₙ = ℓ
- Suites adjacentes : (uₙ) croissante, (vₙ) décroissante, lim(vₙ − uₙ) = 0 → même limite
Exemple
Suite uₙ₊₁ = √(2 + uₙ), u₀ = 0. On montre par récurrence : 0 ≤ uₙ ≤ 2 (bornée) et uₙ croissante. Par le théorème, (uₙ) converge vers ℓ. Puis ℓ = √(2+ℓ) → ℓ² = 2+ℓ → ℓ² − ℓ − 2 = 0 → ℓ = 2 (on rejette ℓ = −1 car uₙ ≥ 0).
Piège à éviter
Suite croissante non majorée → elle diverge vers +∞ (elle ne converge pas). Le majorant est indispensable !
Quiz - Suites : Récurrence et convergence
10 questions
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Suites — Récurrence et convergence, extraits du quiz de révision.
Les deux étapes d'un raisonnement par récurrence sont :
Réponse : Initialisation et hérédité
Le raisonnement par récurrence comporte : l'initialisation (vérifier P(n₀)) et l'hérédité (montrer P(n) ⟹ P(n+1)). Les deux étapes sont indispensables.
Pour montrer qu'une suite est croissante, on peut étudier le signe de :
Réponse : uₙ₊₁ − uₙ
Si uₙ₊₁ − uₙ ≥ 0 pour tout n, la suite est croissante. C'est la méthode la plus courante. On peut aussi étudier uₙ₊₁/uₙ si les termes sont strictement positifs.
Le théorème de convergence monotone affirme que :
Réponse : Toute suite croissante majorée converge
Le théorème affirme que toute suite croissante et majorée converge (vers une limite finie), et toute suite décroissante et minorée converge. La monotonie seule ne suffit pas.
Si uₙ₊₁ = f(uₙ) et (uₙ) converge vers ℓ, alors :
Réponse : ℓ = f(ℓ)
Si (uₙ) converge vers ℓ et f est continue, en passant à la limite dans uₙ₊₁ = f(uₙ), on obtient ℓ = f(ℓ). La limite est donc un point fixe de f.