Maths (Spé) — Analyse
Suites — Récurrence et convergence
Raisonnement par récurrence, monotonie, convergence, théorèmes
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Le raisonnement par récurrence permet de démontrer qu'une propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier $n \geq n_0$ en deux étapes : l'initialisation (vérifier $P(n_0)$) et l'hérédité (montrer que $P(n) \Rightarrow P(n+1)$). C'est l'outil fondamental pour les suites définies par récurrence. Une suite $(u_n)$ est croissante si $u_{n+1} \geq u_n$ pour tout $n$, décroissante si $u_{n+1} \leq u_n$. Une suite est convergente si elle admet une limite finie $\ell$ quand $n$ tend vers $+\infty$. Le théorème de convergence monotone affirme que toute suite croissante majorée converge, et que toute suite décroissante minorée converge. Deux suites adjacentes (l'une croissante, l'autre décroissante, leur différence tendant vers $0$) convergent vers la même limite.
La récurrence est LA méthode incontournable du programme de Terminale. Elle permet de démontrer qu'une propriété est vraie pour tout entier à partir d'un certain rang — comme une chaîne de dominos.
Initialisation → Hérédité → Conclusion : les 3 étapes à toujours rédiger au Bac.
- Étape 1 — Initialisation : vérifier que $P(n_0)$ est vraie (souvent $n_0 = 0$ ou $n_0 = 1$).
- Étape 2 — Hérédité : supposer $P(n)$ vraie pour un certain $n \geq n_0$ (hypothèse de récurrence), puis montrer que $P(n+1)$ est vraie.
- Étape 3 — Conclusion : « Par le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout entier $n \geq n_0$. »
- L'hypothèse de récurrence DOIT être utilisée dans la démonstration de l'hérédité — sinon la preuve est incomplète.
- Rédaction type : « Soit $P(n)$ la propriété… Initialisation : pour $n = 0$… Hérédité : supposons $P(n)$ vraie pour un certain $n$… Montrons $P(n+1)$… »
Exemple
Montrer que pour tout $n \geq 1$, $1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$. Initialisation : $P(1)$ donne $1 = \dfrac{1 \times 2}{2} = 1$. Hérédité : on suppose $1 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$. Alors $1 + \dots + n + (n+1) = \dfrac{n(n+1)}{2} + (n+1) = \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$, ce qui est $P(n+1)$.
Piège à éviter
Les deux erreurs les plus sanctionnées au Bac : (1) oublier l'initialisation ; (2) ne pas utiliser l'hypothèse de récurrence dans l'hérédité. Vérifiez toujours que votre preuve « utilise » $P(n)$ pour arriver à $P(n+1)$.
Déterminer si une suite est croissante ou décroissante est souvent la première étape avant d'appliquer un théorème de convergence. Il y a trois méthodes selon le type de suite.
- Méthode 1 — Signe de $u_{n+1} - u_n$ : si $\geq 0$ pour tout $n$ $\Rightarrow$ croissante ; si $\leq 0$ $\Rightarrow$ décroissante.
- Méthode 2 — Quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ (termes $> 0$) : si $\geq 1$ $\Rightarrow$ croissante ; si $\leq 1$ $\Rightarrow$ décroissante.
- Méthode 3 : si $u_n = f(n)$, étudier les variations de $f$ sur $[0\,;+\infty[$ à l'aide de $f'$.
- Pour une suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$, on étudie le signe de $f(x) - x$ (ou on raisonne par récurrence).
- Monotonie stricte ($<$ ou $>$) vs large ($\leq$ ou $\geq$) : au Bac, la distinction est rarement cruciale.
Exemple
$u_n = \dfrac{n}{n+1}$. Méthode 1 : $u_{n+1} - u_n = \dfrac{n+1}{n+2} - \dfrac{n}{n+1} = \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} > 0$ pour tout $n \geq 0$. Donc $(u_n)$ est strictement croissante.
Piège à éviter
La méthode du quotient ne fonctionne que si tous les termes sont strictement positifs. Si $u_n$ peut être nul ou négatif, utiliser la méthode de la différence.
Une suite converge si ses termes se rapprochent indéfiniment d'une valeur finie $\ell$. Connaître les limites de référence est essentiel pour le Bac — elles reviennent dans presque tous les exercices.
- Définition : $(u_n)$ converge vers $\ell$ si pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un rang $N$ tel que pour tout $n \geq N$, $|u_n - \ell| < \varepsilon$.
- Limites de référence : $q^n \to 0$ si $|q| < 1$, et $q^n \to +\infty$ si $q > 1$.
- Croissances comparées : $\dfrac{\ln(n)}{n} \to 0$, $\dfrac{n^\alpha}{e^n} \to 0$, $\dfrac{\ln(n)}{n^\alpha} \to 0$ (l'exponentielle domine tout).
- Opérations sur les limites : somme, produit et quotient fonctionnent, sauf formes indéterminées.
- Les 4 formes indéterminées (FI) : $+\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\dfrac{\infty}{\infty}$, $\dfrac{0}{0}$.
- Lever une FI : factoriser par le terme dominant, encadrer, ou utiliser les croissances comparées.
Exemple
Limite de $u_n = \dfrac{2n^2 + 3n}{n^2 - 1}$. C'est une FI $\dfrac{\infty}{\infty}$. On factorise par $n^2$ : $\dfrac{2 + \frac{3}{n}}{1 - \frac{1}{n^2}} \to \dfrac{2}{1} = 2$. Au numérateur comme au dénominateur, seul le terme de plus haut degré compte.
Piège à éviter
Ne jamais écrire « $\dfrac{\infty}{\infty} = 1$ » ou « $\infty - \infty = 0$ ». Les formes indéterminées n'ont pas de valeur automatique : il faut les lever par un calcul.
C'est le théorème le plus utilisé au Bac pour prouver qu'une suite converge : une suite croissante et majorée converge. Mais attention — il ne donne pas la valeur de la limite.
Une suite croissante et majorée est « coincée » : elle converge nécessairement vers une limite $\ell \leq M$.
- Théorème : toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge.
- Ce théorème prouve l'existence de la limite, pas sa valeur.
- Pour trouver $\ell$ : si $u_{n+1} = f(u_n)$ et $f$ continue, passer à la limite donne $\ell = f(\ell)$.
- Démarche Bac complète : (1) montrer la monotonie, (2) montrer la borne, (3) conclure par le théorème, (4) calculer $\ell$.
- Théorème des gendarmes : si $v_n \leq u_n \leq w_n$ et $\lim v_n = \lim w_n = \ell$, alors $\lim u_n = \ell$.
- Suites adjacentes : $(u_n)$ croissante, $(v_n)$ décroissante, $\lim (v_n - u_n) = 0$ $\Rightarrow$ même limite.
Exemple
Suite $u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}$, $u_0 = 0$. On montre par récurrence que $0 \leq u_n \leq 2$ (bornée) et que $(u_n)$ est croissante. Par le théorème, $(u_n)$ converge vers $\ell$. Puis $\ell = \sqrt{2 + \ell} \Rightarrow \ell^2 = 2 + \ell \Rightarrow \ell^2 - \ell - 2 = 0 \Rightarrow \ell = 2$ (on rejette $\ell = -1$ car $u_n \geq 0$).
Piège à éviter
Une suite croissante non majorée diverge vers $+\infty$ (elle ne converge pas). Le majorant est indispensable !
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Suites — Récurrence et convergence, extraits du quiz de révision.
Les deux étapes d'un raisonnement par récurrence sont :
Réponse :
Initialisation et hérédité
Le raisonnement par récurrence comporte l'initialisation (vérifier $P(n_0)$) et l'hérédité (montrer $P(n) \Rightarrow P(n+1)$). Les deux étapes sont indispensables.
Pour montrer qu'une suite est croissante, on peut étudier le signe de :
Réponse :
$u_{n+1} - u_n$
Si $u_{n+1} - u_n \geq 0$ pour tout $n$, la suite est croissante. C'est la méthode la plus courante. On peut aussi étudier $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ si les termes sont strictement positifs.
Le théorème de convergence monotone affirme que :
Réponse :
Toute suite croissante majorée converge
Le théorème affirme que toute suite croissante et majorée converge vers une limite finie, et que toute suite décroissante et minorée converge. La monotonie seule ne suffit pas.
Si $u_{n+1} = f(u_n)$ et $(u_n)$ converge vers $\ell$, alors :
Réponse :
$\ell = f(\ell)$
Si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et que $f$ est continue, en passant à la limite dans $u_{n+1} = f(u_n)$ on obtient $\ell = f(\ell)$. La limite est donc un point fixe de $f$.