Limites et continuité

L'étude des limites est fondamentale en analyse : elle décrit le comportement d'une fonction quand la variable x tend vers l'infini (+∞ ou -∞) ou vers une valeur finie a. On distingue les limites finies (la fonction se rapproche d'une valeur L) des limites infinies (la fonction « explose » vers +∞ ou -∞). Pour les polynômes, la limite en l'infini est déterminée par le terme de plus haut degré. Pour les fractions rationnelles, on compare les degrés du numérateur et du dénominateur. Les formes indéterminées (FI) sont les cas où la limite ne peut pas être déduite directement : ∞ - ∞, 0 × ∞, ∞/∞, 0/0, 1^∞, 0⁰, ∞⁰. Pour lever une FI, on factorise, on simplifie, on conjugue (pour les racines) ou on utilise les croissances comparées. Le théorème des croissances comparées établit la hiérarchie : l'exponentielle eˣ l'emporte sur tout polynôme xⁿ, qui l'emporte sur le logarithme ln(x). Autrement dit : lim(x→+∞) xⁿ/eˣ = 0 et lim(x→+∞) ln(x)/xⁿ = 0 pour tout n ≥ 1. Les asymptotes résument graphiquement le comportement aux limites : une asymptote horizontale y = L correspond à une limite finie L en ±∞, une asymptote verticale x = a correspond à une limite infinie quand x → a, et une asymptote oblique y = ax + b existe quand la différence f(x) - (ax+b) tend vers 0. La continuité d'une fonction signifie que sa courbe peut être tracée « sans lever le crayon ». Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) affirme que si f est continue sur [a;b], alors f prend toutes les valeurs entre f(a) et f(b). En particulier, si f(a) et f(b) sont de signes contraires (f(a)×f(b) < 0), il existe au moins un c dans ]a;b[ tel que f(c) = 0. Le corollaire du TVI (bijection) précise que si f est de plus strictement monotone, alors cette solution c est unique.