Maths (Spé) — Analyse
Limites et continuité
Limites de fonctions, asymptotes, formes indéterminées, continuité et TVI
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 15 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Étudier une **limite**, c'est décrire ce que devient une fonction quand $x$ file vers $+\infty$, vers $-\infty$, ou s'approche d'une valeur interdite. La fonction peut se **stabiliser** sur une valeur $L$ (limite finie) ou **exploser** vers $\pm\infty$ (limite infinie). Pour un **polynôme**, seul compte le terme de plus haut degré ; pour une **fraction rationnelle**, on compare les degrés du haut et du bas. Le vrai obstacle, ce sont les **formes indéterminées** ($\dfrac{\infty}{\infty}$, $\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\dfrac{0}{0}$) : on les **lève** en factorisant, en simplifiant, en conjuguant ou grâce aux **croissances comparées** — la hiérarchie $e^x \gg x^n \gg \ln x$ qui dit qui l'emporte. Tout ce comportement se lit graphiquement sur les **asymptotes** (horizontale, verticale, oblique). Enfin, une fonction **continue** se trace « sans lever le crayon » : c'est la clé du **théorème des valeurs intermédiaires**, qui garantit l'existence d'une solution à $f(x) = k$, et de son corollaire, qui en assure l'**unicité** quand $f$ est strictement monotone.
Quand $x$ part vers l'infini, on cherche vers quoi tend $f(x)$. Pour les fonctions de référence, les résultats sont immédiats ; pour un **polynôme**, seul le terme de plus haut degré décide ; pour une **fraction rationnelle**, on compare les degrés du numérateur et du dénominateur.
- **Références :** $\lim\limits_{x \to +\infty} x^n = +\infty$ (pour $n \geq 1$) et $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x^n} = 0$ : l'inverse d'un très grand nombre est très petit.
- **Polynôme :** $\lim\limits_{x \to \pm\infty} P(x) = \lim\limits_{x \to \pm\infty} a_n x^n$ — **seul le terme dominant compte**.
- **Fraction rationnelle** $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ : si $\deg P > \deg Q$ la limite est $\pm\infty$ ; si $\deg P = \deg Q$ elle vaut le **rapport des coefficients dominants** ; si $\deg P < \deg Q$ elle vaut $0$.
- **Méthode :** en cas de forme $\dfrac{\infty}{\infty}$, on **factorise** par la plus haute puissance de $x$ en haut et en bas, puis on simplifie.
- Les termes de bas degré deviennent **négligeables** devant le terme dominant quand $x$ est très grand.
Exemple
Calculons $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{3x^2 - 5x + 1}{2x^2 + x}$ (forme $\dfrac{\infty}{\infty}$). On factorise par $x^2$ : $\dfrac{x^2\left(3 - \dfrac{5}{x} + \dfrac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(2 + \dfrac{1}{x}\right)} = \dfrac{3 - \dfrac{5}{x} + \dfrac{1}{x^2}}{2 + \dfrac{1}{x}}$. Comme $\dfrac{1}{x} \to 0$, la limite vaut $\dfrac{3}{2}$ — le rapport des coefficients dominants.
Piège à éviter
$\dfrac{\infty}{\infty}$ **ne vaut jamais automatiquement $1$**. Selon les degrés, on peut obtenir $0$, un réel, ou $\pm\infty$. Il faut **toujours** factoriser pour conclure.
Près d'une valeur interdite $a$ (où le dénominateur s'annule), $f(x)$ peut tendre vers $\pm\infty$ : c'est une **asymptote verticale**. Loin, en $\pm\infty$, $f(x)$ peut se rapprocher d'une droite : **horizontale** ou **oblique**. Les asymptotes sont la traduction graphique des limites.
- **Asymptote verticale** $x = a$ : $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ — la courbe « explose » au voisinage de $a$. On étudie souvent les deux côtés ($x \to a^-$ et $x \to a^+$).
- **Exemple :** $f(x) = \dfrac{1}{x - 2}$ a l'asymptote verticale $x = 2$, car $\lim\limits_{x \to 2^+} \dfrac{1}{x-2} = +\infty$ et $\lim\limits_{x \to 2^-} \dfrac{1}{x-2} = -\infty$.
- **Asymptote horizontale** $y = L$ : $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = L$ (ou en $-\infty$) — la courbe se rapproche de la droite $y = L$.
- **Asymptote oblique** $y = ax + b$ : existe si $\lim\limits_{x \to \pm\infty} \big[f(x) - (ax + b)\big] = 0$.
- **Méthode :** repérer les valeurs interdites (candidates aux asymptotes verticales), puis calculer les limites en $\pm\infty$ (asymptote horizontale ou oblique).
Exemple
Soit $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$. En $x = 3$ le dénominateur s'annule : $\lim\limits_{x \to 3^+} f(x) = +\infty$, donc **asymptote verticale** $x = 3$. En $\pm\infty$, $\dfrac{2x+1}{x-3} \to \dfrac{2x}{x} = 2$, donc **asymptote horizontale** $y = 2$.
Piège à éviter
Une courbe ne traverse **jamais** une asymptote verticale (la fonction n'y est pas définie), mais elle **peut couper** une asymptote horizontale ou oblique. « Asymptote » ne veut pas dire « barrière infranchissable ».
Une **forme indéterminée** (FI) est un cas où le calcul direct ne permet pas de conclure : $\dfrac{\infty}{\infty}$, $\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\dfrac{0}{0}$. Il faut alors **transformer** l'expression. L'outil le plus puissant est le théorème des **croissances comparées**, qui classe les fonctions par vitesse de croissance.
- **Croissances comparées :** $e^x \gg x^n \gg \ln x$ en $+\infty$. D'où $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty$, $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x^n}{e^x} = 0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^n} = 0$.
- **Au voisinage de $0$ :** $\lim\limits_{x \to 0^+} x^n \ln x = 0$ — la puissance l'emporte sur le logarithme (résultat à connaître par cœur).
- **Factoriser** par le terme dominant lève les FI $\dfrac{\infty}{\infty}$ et $\infty - \infty$ entre polynômes.
- **Simplifier** lève la FI $\dfrac{0}{0}$ : on factorise haut et bas pour éliminer le facteur qui s'annule.
- **Conjuguer** lève la FI $\infty - \infty$ avec des racines : on multiplie par la quantité conjuguée $\dfrac{\sqrt{A} + \sqrt{B}}{\sqrt{A} + \sqrt{B}}$.
Exemple
Levons $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ (FI $\dfrac{0}{0}$). On factorise le numérateur : $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$. Donc $\dfrac{(x-1)(x+1)}{x - 1} = x + 1$ pour $x \neq 1$, et $\lim\limits_{x \to 1} (x + 1) = 2$.
Piège à éviter
$\lim\limits_{x \to +\infty} (e^x - x^2)$ **n'est pas** une vraie indétermination $\infty - \infty$ : par croissances comparées $e^x \gg x^2$, donc la limite est $+\infty$. Appliquer la hiérarchie **avant** de crier « forme indéterminée ».
Une fonction est **continue** si sa courbe se trace sans lever le crayon : aucun saut, aucun trou. C'est la condition clé du **théorème des valeurs intermédiaires (TVI)**, l'outil qui prouve qu'une équation $f(x) = k$ admet une solution, puis — avec la monotonie — qu'elle est **unique**.
- **Définition :** $f$ est continue en $a$ si $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$ — pas de saut ni de trou.
- Les fonctions usuelles (polynômes, fractions rationnelles, $\sqrt{x}$, $e^x$, $\ln x$, $\cos$, $\sin$) sont **continues sur leur domaine** ; somme, produit, quotient et composée de fonctions continues le restent.
- **TVI :** si $f$ est continue sur $[a\,;b]$ et si $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$, alors il existe $c \in [a\,;b]$ tel que $f(c) = k$.
- **Cas $f(c) = 0$ :** si $f$ est continue sur $[a\,;b]$ et $f(a) \times f(b) < 0$ (signes contraires), il existe $c \in \,]a\,;b[$ avec $f(c) = 0$.
- **Corollaire (bijection) :** si de plus $f$ est **strictement monotone**, la solution $c$ est **unique**.
Exemple
Soit $f(x) = x^3 + x - 1$, continue sur $[0\,;1]$. On calcule $f(0) = -1$ et $f(1) = 1$, donc $f(0) \times f(1) = -1 < 0$ : par le **TVI**, l'équation $f(x) = 0$ a une solution dans $\,]0\,;1[$. Comme $f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$, $f$ est **strictement croissante** : la solution est **unique**.
Piège à éviter
Le TVI exige **uniquement la continuité** (pas la dérivabilité). Mais pour conclure à l'**unicité**, il faut en plus la **stricte monotonie** : sans elle, le TVI garantit l'existence, jamais l'unicité.
Quiz - Limites et continuité
15 questions
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Notions clés — Maths (Spé)
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Limites et continuité, extraits du quiz de révision.
Que vaut $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x}$ ?
Réponse :
$0$
Quand $x$ devient très grand, $\dfrac{1}{x}$ devient très petit et tend vers $0$ : $\dfrac{1}{1000} = 0{,}001$. Graphiquement, la courbe de $\dfrac{1}{x}$ admet l'asymptote horizontale $y = 0$ (l'axe des abscisses).
La forme $\dfrac{\infty}{\infty}$ est :
Réponse :
Indéterminée
$\dfrac{\infty}{\infty}$ est une **forme indéterminée**. On ne peut pas conclure $1$ : par exemple $\dfrac{x^2}{x} \to +\infty$, $\dfrac{x}{x^2} \to 0$ et $\dfrac{3x}{x} \to 3$. Trois résultats différents : il faut factoriser par le terme dominant.
Le TVI exige seulement que $f$ soit :
Réponse :
Continue
Le théorème des valeurs intermédiaires ne demande que la **continuité** de $f$ sur $[a\,;b]$. La dérivabilité n'est pas nécessaire. La stricte monotonie n'intervient que dans le **corollaire** (unicité de la solution).
Que vaut $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n}$ (avec $n \geq 1$) ?
Réponse :
$+\infty$
Par croissances comparées, l'exponentielle l'emporte sur **tout** polynôme : $\dfrac{e^x}{x^n} \to +\infty$, quel que soit $n$. Inversement $\dfrac{x^n}{e^x} \to 0$. Hiérarchie : $e^x \gg x^n \gg \ln x$.