Maths (Spé) — Analyse
Fonction exponentielle
Propriétés, dérivée, équations
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Cours de spé Maths. Même notion dans une autre matière : Fonction exponentielle — maths du tronc commun
Résumé
La fonction exponentielle, notée $\exp(x) = e^x$, est la fonction star de la croissance rapide. On la définit comme l'unique fonction telle que $f' = f$ et $f(0) = 1$ : autrement dit, elle est égale à sa propre dérivée. Sa base est le nombre $e \approx 2{,}718$. Trois choses la rendent incontournable. D'abord ses règles de calcul héritées des puissances : $e^a \times e^b = e^{a+b}$, $\dfrac{e^a}{e^b} = e^{a-b}$, $(e^a)^n = e^{na}$. Ensuite son comportement : $e^x > 0$ pour tout $x$ (jamais nul, jamais négatif), strictement croissante, tendant vers $0$ en $-\infty$ et vers $+\infty$ en $+\infty$. Enfin sa dérivée composée $(e^{u})' = u'\,e^{u}$, qui permet d'étudier n'importe quelle fonction où elle apparaît. On la retrouve partout : croissance de population, désintégration radioactive, intérêts continus, refroidissement.
La fonction exponentielle est l'unique fonction $f$ vérifiant $f' = f$ et $f(0) = 1$. Sa base est le nombre d'Euler $e \approx 2{,}718$ (irrationnel). Comme c'est une puissance, elle hérite des règles de calcul des exposants : additionner les exposants pour un produit, les soustraire pour un quotient.
- Notation : $\exp(x) = e^x$, avec $e^0 = 1$ et $e^1 = e \approx 2{,}718$.
- Produit : $e^a \times e^b = e^{a+b}$ — exemple $e^2 \times e^3 = e^5$.
- Quotient : $\dfrac{e^a}{e^b} = e^{a-b}$ — exemple $\dfrac{e^7}{e^3} = e^4$.
- Puissance : $(e^a)^n = e^{na}$ — exemple $(e^2)^5 = e^{10}$.
- Inverse : $e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}$, et $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
Exemple
Simplifions $\dfrac{e^5 \times e^{-2}}{e}$ : au numérateur $e^5 \times e^{-2} = e^{3}$, puis $\dfrac{e^3}{e^1} = e^{3-1} = e^2$.
Piège à éviter
$e^a \times e^b = e^{a+b}$ (on additionne les exposants), et non $e^{a \times b}$. De même $e^x$ ne signifie pas $x \times e$ : $x$ est un exposant, pas un coefficient.
La propriété qui fait toute la puissance de l'exponentielle : elle est égale à sa propre dérivée. Combinée à la dérivation composée, cela permet de dériver n'importe quelle expression de la forme $e^{u(x)}$.
La courbe de $e^x$ passe par $(0\,;1)$, reste toujours positive, tend vers $0$ en $-\infty$ (asymptote $Ox$) et explose en $+\infty$.
- Dérivée de base : $(e^x)' = e^x$.
- Dérivation composée : $\left(e^{u}\right)' = u'\,e^{u}$.
- Comme $e^{u} > 0$ toujours, le signe de $\left(e^{u}\right)'$ est celui de $u'$.
- $e^x$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ (sa dérivée $e^x$ est toujours $> 0$).
- Exemple de produit : $(x\,e^x)' = e^x + x\,e^x = e^x(1 + x)$.
Exemple
Soit $f(x) = e^{3x}$. Avec $u = 3x$ et $u' = 3$ : $f'(x) = 3\,e^{3x}$. De même $\left(e^{x^2 + 1}\right)' = 2x\,e^{x^2 + 1}$.
Piège à éviter
La dérivée de $e^{3x}$ est $3\,e^{3x}$ : on multiplie par $u' = 3$, on ne touche pas à l'exposant. Ce n'est ni $e^{3x}$, ni $3\,e^{3x - 1}$ : l'exponentielle ne se dérive pas comme une puissance $x^n$.
Parce que $e^x$ est strictement croissante, comparer deux exponentielles revient à comparer leurs exposants. C'est ce qui rend les équations et inéquations exponentielles si simples à résoudre.
- Injectivité : $e^a = e^b \Leftrightarrow a = b$.
- Croissance : $e^a > e^b \Leftrightarrow a > b$.
- Avec le logarithme : $e^x = k$ (pour $k > 0$) équivaut à $x = \ln(k)$ — exemple $e^x = 5 \Rightarrow x = \ln 5 \approx 1{,}609$.
- Limites : $\lim\limits_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} e^x = 0$ (asymptote horizontale $y = 0$).
- Croissances comparées : $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x^n}{e^x} = 0$ — l'exponentielle l'emporte sur tout polynôme.
Exemple
Résolvons $e^{2x - 1} = e^{x + 3}$. Par injectivité, $2x - 1 = x + 3$, donc $x = 4$.
Piège à éviter
$e^x$ ne s'annule jamais : on ne peut pas écrire « $e^x = 0$ pour $x$ très négatif ». Quand $x \to -\infty$, $e^x$ tend vers $0$ tout en restant strictement positif.
L'exponentielle modélise tout phénomène dont la vitesse d'évolution est proportionnelle à la quantité présente : plus il y en a, plus ça croît (ou décroît) vite. D'où sa présence en biologie, physique et économie.
- Croissance de population : $P(t) = P_0\,e^{kt}$ avec $k > 0$ (croissance).
- Désintégration radioactive : $N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$ avec $\lambda > 0$ (décroissance).
- Intérêts continus : $C(t) = C_0\,e^{rt}$ (capitalisation continue au taux $r$).
- Étude de fonction : $e^{u} > 0$ permet de réduire l'étude du signe de la dérivée à celui de $u'$.
Exemple
Population bactérienne $P(t) = 1\,000\,e^{0{,}3t}$. À $t = 10$ : $P(10) = 1\,000\,e^{3} \approx 1\,000 \times 20{,}09 \approx 20\,086$ bactéries. Étude de $f(x) = x\,e^x$ : $f'(x) = e^x(1 + x)$ s'annule en $x = -1$ (car $e^x \neq 0$), avec un minimum $f(-1) = -\dfrac{1}{e} \approx -0{,}368$.
Piège à éviter
Une décroissance s'écrit avec un exposant négatif : $N_0\,e^{-\lambda t}$. Oublier le signe $-$ transforme une désintégration en explosion. Le signe de l'exposant dicte le sens d'évolution.
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Fonction exponentielle, extraits du quiz de révision.
La dérivée de $e^x$ est :
Réponse :
$e^x$
La fonction exponentielle est l'unique fonction (non nulle) égale à sa propre dérivée : $(e^x)' = e^x$.
Combien vaut $e^0$ ?
Réponse :
$1$
Toute puissance d'exposant $0$ vaut $1$, donc $e^0 = 1$. C'est l'une des conditions qui définissent l'exponentielle.
$e^2 \times e^3$ vaut :
Réponse :
$e^5$
Pour un produit, on additionne les exposants : $e^2 \times e^3 = e^{2+3} = e^5$. (Ce n'est pas $e^{2 \times 3}$.)
Pour tout réel $x$, $e^x$ est :
Réponse :
Strictement positif
$e^x > 0$ pour tout $x$ réel, sans exception : la courbe reste entièrement au-dessus de l'axe des abscisses.