Second degré

Un trinôme du second degré est une expression de la forme f(x) = ax² + bx + c avec a, b, c réels et a ≠ 0. Sa représentation graphique est une parabole. Si a > 0 : parabole en ∪ (vers le haut) ; si a < 0 : parabole en ∩ (vers le bas). Le sommet (minimum ou maximum) est au point S(-b/(2a) ; f(-b/(2a))). Le discriminant Δ = b² − 4ac détermine le nombre de solutions réelles de l'équation ax² + bx + c = 0. Si Δ > 0 : deux solutions distinctes x₁ = (−b−√Δ)/(2a) et x₂ = (−b+√Δ)/(2a). Si Δ = 0 : une solution double x₀ = −b/(2a). Si Δ < 0 : aucune solution réelle. Exemple complet : f(x) = 2x² − 8x + 6. a = 2, b = −8, c = 6. Δ = 64 − 48 = 16 > 0. x₁ = (8−4)/4 = 1, x₂ = (8+4)/4 = 3. Factorisation : f(x) = 2(x−1)(x−3). Sommet : x = −(−8)/(2×2) = 2, f(2) = 8−16+6 = −2. Le signe du trinôme : si Δ < 0, même signe que a partout. Si Δ > 0, le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines, et du signe opposé à a entre les racines. Cette propriété est fondamentale pour résoudre des inéquations du second degré.