Maths complémentaires — Modélisation
Automatismes et modélisation
Applications des mathématiques en sciences, économie et vie courante : modèles, proportionnalité, pourcentages, tableur
Résumé synthétiqueFiche en 5 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Ce chapitre transversal muscle les automatismes de calcul et la modélisation. Les pourcentages d'évolution reposent sur le coefficient multiplicateur : $+5\,\%$ correspond à $\times 1{,}05$, et des évolutions successives se multiplient. Attention, une baisse de $20\,\%$ suivie d'une hausse de $20\,\%$ ne ramène pas au départ ($0{,}8 \times 1{,}2 = 0{,}96$). En modélisation, on choisit le modèle adapté aux données : linéaire ($y = ax + b$, variation constante), exponentiel ($y = y_0\,e^{\,kt}$, taux relatif constant) ou logistique ($y = \tfrac{K}{1 + C\,e^{\,-rt}}$, croissance qui sature). Le tableur et l'algorithmique (seuil, dichotomie) complètent la boîte à outils. Exemple : une épidémie qui sature se modélise par une courbe logistique de plafond $K$.
Le coefficient multiplicateur (CM) est la clé de tous les calculs de pourcentages : il transforme une évolution en une multiplication, ce qui rend les évolutions successives faciles à enchaîner.
- Hausse de $t\,\%$ : $CM = 1 + \dfrac{t}{100}$. Baisse de $t\,\%$ : $CM = 1 - \dfrac{t}{100}$.
- Évolutions successives : $CM_{\text{global}} = CM_1 \times CM_2 \times \dots \times CM_n$.
- Taux global : $t_{\text{global}} = (CM_{\text{global}} - 1) \times 100$.
- Taux réciproque : pour annuler une hausse de $25\,\%$ ($\times 1{,}25$), il faut $\times \dfrac{1}{1{,}25} = 0{,}8$, soit $-20\,\%$.
- Points $\neq$ pourcentage : passer de $40\,\%$ à $44\,\%$, c'est $+4$ points mais $+10\,\%$ en relatif.
Exemple
Un prix subit $-20\,\%$ puis $+25\,\%$ : $CM = 0{,}8 \times 1{,}25 = 1$, le prix revient exactement à sa valeur initiale. Mais $-20\,\%$ puis $+20\,\%$ donne $0{,}8 \times 1{,}2 = 0{,}96$, soit $-4\,\%$ au total.
Piège à éviter
Les pourcentages ne s'additionnent pas : $-20\,\%$ puis $+20\,\%$ ne fait pas $0\,\%$ mais $-4\,\%$. Il faut toujours multiplier les coefficients multiplicateurs.
Le modèle linéaire (au sens large, affine) convient quand une grandeur varie d'une quantité constante à chaque pas : un coût qui augmente du même montant par unité produite, par exemple.
- Forme : $y = ax + b$ ; la grandeur varie de $a$ (constant) par unité de $x$.
- Pente : $a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ (taux de variation).
- Proportionnalité : cas particulier $b = 0$, soit $y = ax$ (droite par l'origine).
- Test : vérifier que les accroissements $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ sont constants.
Exemple
Un taxi facture $2{,}50$ € de prise en charge plus $1{,}20$ € par km : $y = 1{,}20\,x + 2{,}50$. Pour $10$ km : $y = 1{,}20 \times 10 + 2{,}50 = 14{,}50$ €.
Piège à éviter
Modèle linéaire (proportionnel, $y = ax$) et modèle affine ($y = ax + b$) ne se confondent pas : dès qu'il y a une part fixe $b \neq 0$, il n'y a plus proportionnalité.
Le modèle exponentiel s'impose quand une grandeur varie d'un pourcentage constant par pas : population, capital, inflation. Sa signature est un taux de variation relatif constant.
- Forme : $y(t) = y_0 \times a^{\,t}$ ou $y(t) = y_0\,e^{\,kt}$, avec $a = e^{\,k}$.
- Signature : le taux relatif $\dfrac{\Delta y}{y}$ est constant (alors que le taux absolu varie).
- Temps de doublement : $t_d = \dfrac{\ln 2}{k}$ si $k > 0$.
- Sur un graphique semi-logarithmique, une croissance exponentielle apparaît comme une droite.
Exemple
Une population croît de $5\,\%$ par an : $y(t) = y_0 \times 1{,}05^{\,t}$. Temps de doublement : $t_d = \dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}05} \approx 14{,}2$ ans (règle des $70$ : $70 / 5 = 14$).
Piège à éviter
Ne confonds pas modèle linéaire (variation absolue constante : $+50$ chaque année) et exponentiel (variation relative constante : $+5\,\%$ chaque année). Le second s'emballe de plus en plus vite.
Au-delà du linéaire et de l'exponentiel, d'autres modèles décrivent des croissances qui saturent ou des lois d'échelle. Choisir le bon modèle, c'est regarder la forme des données.
Trois croissances types : linéaire (droite), exponentielle (s'emballe), logistique (croît puis sature vers un plafond $K$).
- Logistique : $P(t) = \dfrac{K}{1 + C\,e^{\,-rt}}$, croissance limitée par la capacité $K$.
- Puissance : $y = a\,x^{\,n}$ (allométrie en biologie, lois d'échelle en physique).
- Ajustement : on cherche les paramètres minimisant l'écart aux données (moindres carrés).
- Qualité : le coefficient $R^2$ mesure l'ajustement ($R^2$ proche de $1$ = bon modèle).
Exemple
Une épidémie démarre de façon quasi exponentielle puis ralentit quand la population susceptible s'épuise : un modèle logistique $P(t) = \dfrac{K}{1 + C\,e^{\,-rt}}$ capture cette saturation vers le plafond $K$.
Piège à éviter
Un modèle exponentiel prédit une croissance infinie, irréaliste à long terme. Le modèle logistique corrige cela en imposant un plafond $K$ que la grandeur ne peut pas dépasser.
Le tableur et l'algorithmique automatisent les calculs répétitifs : termes d'une suite, simulations aléatoires, recherche de seuils. Ce sont des compétences attendues en maths complémentaires.
- Suite par récurrence : en B2, écrire une formule référant à B1 (ex. $=$B1$\times 1{,}05$), puis recopier vers le bas.
- Simulation : ALEA$()$ donne un réel de $[0\,;1[$ ; ENT$($ALEA$() \times 6) + 1$ simule un dé à six faces.
- Comparaison : tracer données et modèle sur un même graphique pour juger l'ajustement.
- Algorithme de seuil : trouver le premier rang $n$ tel que $u_n$ dépasse (ou passe sous) un seuil.
- Dichotomie : encadrer une solution de $f(x) = 0$ en divisant l'intervalle par $2$ à chaque étape.
Exemple
Seuil : pour $u_n = 100 \times 0{,}9^{\,n}$, cherchons le premier $n$ tel que $u_n < 10$. On résout $0{,}9^{\,n} < 0{,}1$, soit $n > \dfrac{\ln 0{,}1}{\ln 0{,}9} \approx 21{,}9$ : le premier entier est $n = 22$.
Piège à éviter
Dans un algorithme de seuil, le sens de l'inégalité doit correspondre à une suite qui atteint vraiment le seuil. Pour une suite décroissant vers $0$, le seuil doit être positif, sinon la boucle ne s'arrête jamais.
Quiz - Automatismes et modélisation
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Automatismes et modélisation, extraits du quiz de révision.
Le coefficient multiplicateur d'une hausse de $15\,\%$ est :
Réponse :
$1{,}15$
$CM = 1 + \dfrac{15}{100} = 1{,}15$. Multiplier par $1{,}15$ revient à augmenter de $15\,\%$.
Après une hausse de $20\,\%$ puis une baisse de $20\,\%$, le prix final est :
Réponse :
Inférieur au prix initial ($96\,\%$)
$CM = 1{,}20 \times 0{,}80 = 0{,}96$. Le prix final vaut $96\,\%$ du prix initial, soit une baisse globale de $4\,\%$.
Un modèle exponentiel se caractérise par :
Réponse :
Un taux de variation relatif constant
Dans un modèle exponentiel $y = y_0\,e^{\,kt}$, le taux relatif $\dfrac{y'}{y} = k$ est constant.
Le temps de doublement d'une population croissant de $5\,\%$ par an est environ :
Réponse :
$14$ ans
Taux continu $k = \ln(1{,}05) \approx 0{,}0488$. $t_d = \dfrac{\ln 2}{k} \approx 14{,}2$ ans (règle des $70$ : $70 / 5 = 14$).