Maths complémentaires — Analyse
Équations différentielles
Équations y' = ay, y' = ay + b, solutions, modélisation de phénomènes d'évolution
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Cours de Maths complémentaires. Même notion dans une autre matière : Équations différentielles et primitives — spé Maths
Résumé
Une équation différentielle a pour inconnue une fonction et fait intervenir ses dérivées. La plus simple, $y' = ay$, a pour solutions $y(t) = C\,e^{\,at}$ : croissance exponentielle si $a > 0$, décroissance si $a < 0$. L'équation $y' = ay + b$ ajoute un terme constant ; ses solutions sont $y(t) = C\,e^{\,at} - \dfrac{b}{a}$, où $-\dfrac{b}{a}$ est l'état d'équilibre. La constante $C$ se fixe avec la condition initiale $y(0) = y_0$. Ces équations modélisent une foule de phénomènes d'évolution : décroissance radioactive ($N' = -\lambda N$), refroidissement de Newton ($T' = -k(T - T_e)$), circuits RC, croissance limitée. Exemple : un corps chaud se refroidit selon $T(t) = (T_0 - T_e)\,e^{\,-kt} + T_e$, et sa température tend vers $T_e$.
L'équation $y' = ay$ exprime que la vitesse de variation d'une grandeur est proportionnelle à la grandeur elle-même. C'est exactement le comportement de l'exponentielle, qui en fournit toutes les solutions.
- Solutions : $y(t) = C\,e^{\,at}$, avec $C \in \mathbb{R}$.
- Condition initiale : $y(0) = C$, donc $C = y_0$.
- Signe de $a$ : $a > 0$ donne une croissance exponentielle, $a < 0$ une décroissance.
- Si $a = 0$, alors $y' = 0$ et $y(t) = C$ est constante.
Exemple
Résolvons $y' = 2y$ avec $y(0) = 3$. Les solutions sont $y(t) = C\,e^{\,2t}$ ; la condition $y(0) = C = 3$ donne $y(t) = 3\,e^{\,2t}$.
Piège à éviter
C'est le signe de $a$, et non sa valeur, qui décide croissance ou décroissance. Et la constante $C$ se détermine toujours avec la condition initiale.
En ajoutant une constante $b$, on obtient $y' = ay + b$, qui modélise les évolutions tendant vers un équilibre (température extérieure, niveau de stock). Sa solution se décompose en une partie exponentielle et une partie constante.
- Solution générale : $y(t) = C\,e^{\,at} + y_p$, où $y_p = -\dfrac{b}{a}$ est la solution particulière constante.
- Vérification : si $y = -\dfrac{b}{a}$, alors $y' = 0 = a\!\left(-\dfrac{b}{a}\right) + b$.
- Constante : $y(0) = C + y_p$, donc $C = y_0 - y_p = y_0 + \dfrac{b}{a}$.
- Équilibre : si $a < 0$, alors $y(t) \to -\dfrac{b}{a}$ quand $t \to +\infty$.
Exemple
Résolvons $y' = -0{,}5\,y + 10$ avec $y(0) = 50$. Équilibre $y_p = -\dfrac{10}{-0{,}5} = 20$. Donc $y(t) = C\,e^{\,-0{,}5t} + 20$ ; $y(0) = C + 20 = 50$ donne $C = 30$, d'où $y(t) = 30\,e^{\,-0{,}5t} + 20$.
Piège à éviter
La solution particulière est $y_p = -\dfrac{b}{a}$, avec le signe moins. Pour $y' = -0{,}5y + 10$, on a $y_p = +20$, pas $-20$ : attention aux signes de $a$ et $b$.
Résoudre une équation $y' = ay + b$ suit toujours le même protocole en cinq étapes. L'appliquer mécaniquement évite les erreurs.
- 1. Identifier $a$ et $b$ dans $y' = ay + b$.
- 2. Calculer l'équilibre $y_p = -\dfrac{b}{a}$.
- 3. Écrire la solution générale $y(t) = C\,e^{\,at} + y_p$.
- 4. Utiliser la condition initiale $y(t_0) = y_0$ pour trouver $C$.
- 5. Vérifier en dérivant la solution et en la réinjectant dans l'équation.
Exemple
Pour $y' = -4y + 12$ avec $y(0) = 5$ : $y_p = -\dfrac{12}{-4} = 3$, donc $y(t) = C\,e^{\,-4t} + 3$ ; $y(0) = C + 3 = 5$ donne $C = 2$, d'où $y(t) = 2\,e^{\,-4t} + 3$.
Piège à éviter
Ne saute pas l'étape de vérification : dériver $y(t)$ et contrôler que $y' = ay + b$ est satisfait permet de détecter une erreur de signe ou de constante.
Beaucoup de phénomènes physiques tendent vers un équilibre : un café chaud refroidit jusqu'à la température de la pièce, un noyau radioactif se désintègre. Tous obéissent à une équation du type $y' = ay + b$.
Solution de $T' = -k(T - T_e)$ : la température part de $T_0$, décroît de plus en plus lentement et tend vers $T_e$ (la température extérieure).
- Décroissance radioactive : $N'(t) = -\lambda N(t)$, solution $N(t) = N_0\,e^{\,-\lambda t}$, demi-vie $t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}$.
- Refroidissement de Newton : $T'(t) = -k\,(T - T_e)$, solution $T(t) = (T_0 - T_e)\,e^{\,-kt} + T_e$.
- Circuit RC : $u'(t) = -\dfrac{u(t)}{RC}$, de constante de temps $\tau = RC$.
- Croissance limitée : $y' = k\,(M - y)$, solution $y(t) = M - (M - y_0)\,e^{\,-kt} \to M$.
Exemple
Un objet à $90°$ refroidit dans une pièce à $20°$ : $T(t) = (90 - 20)\,e^{\,-kt} + 20 = 70\,e^{\,-kt} + 20$. Quand $t \to +\infty$, $e^{\,-kt} \to 0$, donc $T \to 20°$.
Piège à éviter
Dans le refroidissement de Newton, la température tend vers $T_e$ (la température extérieure), pas vers $0$. L'exponentielle $e^{\,-kt}$ tend vers $0$, mais le terme constant $+\,T_e$ subsiste.
Les mêmes équations décrivent des phénomènes économiques et sociaux : diffusion d'une innovation, gestion de stock, évolution d'un capital. À chaque fois, le système tend vers un état stationnaire.
- Diffusion d'une innovation : $P'(t) = k\,(1 - P(t))$, solution $P(t) = 1 - e^{\,-kt} \to 1$.
- Gestion de stock : $S'(t) = -\alpha S(t) + r$, avec $r$ le réapprovisionnement constant.
- Capital avec retraits : $C'(t) = rC(t) - d$, où $r$ est le taux et $d$ le retrait annuel.
- État d'équilibre : à long terme, le système se stabilise à $y_p = -\dfrac{b}{a}$.
Exemple
Diffusion : $P'(t) = 0{,}3\,(1 - P)$ avec $P(0) = 0$. Solution $P(t) = 1 - e^{\,-0{,}3t}$ : la proportion d'adoptants part de $0$ et tend vers $1$.
Piège à éviter
Pour qu'un système converge vers son équilibre $-\dfrac{b}{a}$, il faut $a < 0$ (le terme $e^{\,at}$ s'éteint). Si $a > 0$, la solution diverge et il n'y a pas de stabilisation.
Quiz - Équations différentielles
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Équations différentielles, extraits du quiz de révision.
Les solutions de $y' = 3y$ sont :
Réponse :
$y = C\,e^{\,3t}$
L'équation $y' = ay$ a pour solutions $y(t) = C\,e^{\,at}$. Ici $a = 3$, donc $y = C\,e^{\,3t}$.
Si $y' = -2y$ et $y(0) = 5$, alors $y(t) = $ ?
Réponse :
$5\,e^{\,-2t}$
Solution générale $y = C\,e^{\,-2t}$ ; condition initiale $C = y(0) = 5$. Donc $y(t) = 5\,e^{\,-2t}$.
La solution particulière constante de $y' = -4y + 12$ est :
Réponse :
$y = 3$
$y_p = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{12}{-4} = 3$. Vérification : $y' = 0 = -4 \times 3 + 12$.
L'équation $y' = -0{,}1y + 5$ avec $y(0) = 100$ a pour solution :
Réponse :
$y(t) = 50\,e^{\,-0{,}1t} + 50$
$y_p = -\dfrac{5}{-0{,}1} = 50$, donc $y(t) = C\,e^{\,-0{,}1t} + 50$. $y(0) = C + 50 = 100$ donne $C = 50$.