Maths complémentaires — Géométrie
Géométrie dans le plan
Vecteurs, coordonnées, droites dans le plan, barycentre et applications
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
La géométrie analytique traduit les problèmes géométriques en calculs sur des coordonnées. Un vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $(x_B - x_A\,;y_B - y_A)$ et pour norme $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Une droite se décrit par un point et un vecteur directeur, ou par une équation $ax + by + c = 0$. Deux vecteurs $\vec{u}(x\,;y)$ et $\vec{v}(x'\,;y')$ sont colinéaires si $xy' - x'y = 0$. Le produit scalaire $\vec{u}\cdot\vec{v} = xx' + yy' = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta$ mesure les angles et teste l'orthogonalité. Enfin, le barycentre généralise le milieu : le centre de gravité d'un triangle $ABC$ a pour coordonnées $\left(\tfrac{x_A + x_B + x_C}{3}\,;\tfrac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$.
Un vecteur est un déplacement : une direction, un sens et une longueur. En repère, tout se ramène à ses coordonnées, sur lesquelles s'effectuent additions, multiples et calculs de longueur.
- Coordonnées : $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A\,;\,y_B - y_A)$.
- Opérations : $\vec{u} + \vec{v} = (x + x'\,;\,y + y')$ et $\lambda\vec{u} = (\lambda x\,;\,\lambda y)$.
- Norme : $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$ ; distance $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.
- Colinéarité : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si $xy' - x'y = 0$ (déterminant nul).
Exemple
Avec $A(1\,;3)$ et $B(4\,;7)$ : $\overrightarrow{AB} = (4 - 1\,;\,7 - 3) = (3\,;4)$, de norme $\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$.
Piège à éviter
Pour les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$, c'est arrivée moins départ : $(x_B - x_A\,;y_B - y_A)$. Inverser l'ordre donne le vecteur opposé $\overrightarrow{BA}$.
Une droite se manie sous deux formes : l'équation cartésienne $ax + by + c = 0$ (pratique pour les vecteurs normaux et les distances) et l'équation réduite $y = mx + p$ (pratique pour la pente).
- Équation cartésienne : $ax + by + c = 0$ ; vecteur directeur $\vec{u}(-b\,;a)$, vecteur normal $\vec{n}(a\,;b)$.
- Équation réduite : $y = mx + p$ avec pente $m = -\dfrac{a}{b}$ (si $b \neq 0$).
- Droite par $A(x_A\,;y_A)$ de pente $m$ : $y - y_A = m(x - x_A)$.
- Parallèles : vecteurs directeurs colinéaires. Perpendiculaires : $\vec{u}\cdot\vec{v} = 0$.
- Distance de $M_0(x_0\,;y_0)$ à la droite : $d = \dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.
Exemple
Droite passant par $A(1\,;2)$ de pente $3$ : $y - 2 = 3(x - 1)$, soit $y = 3x - 1$.
Piège à éviter
Dans $ax + by + c = 0$, le vecteur directeur est $(-b\,;a)$ et le vecteur normal est $(a\,;b)$ : ne les intervertis pas. La pente vaut $m = -\tfrac{a}{b}$, avec un signe moins.
Le milieu équilibre deux points à poids égaux ; le barycentre généralise en autorisant des poids différents. C'est l'outil pour localiser un centre de gravité ou un point d'équilibre.
- Milieu de $[AB]$ : $M\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}\,;\dfrac{y_A + y_B}{2}\right)$.
- Barycentre de $(A,\alpha)$ et $(B,\beta)$ : $G$ tel que $\alpha\,\overrightarrow{GA} + \beta\,\overrightarrow{GB} = \vec{0}$ (avec $\alpha + \beta \neq 0$).
- Coordonnées : $x_G = \dfrac{\alpha x_A + \beta x_B}{\alpha + \beta}$, et de même pour $y_G$.
- Centre de gravité d'un triangle : $G\left(\dfrac{x_A + x_B + x_C}{3}\,;\dfrac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$ (poids égaux).
Exemple
Barycentre de $(A,2)$ et $(B,1)$ avec $A(0\,;0)$, $B(6\,;0)$ : $x_G = \dfrac{2 \times 0 + 1 \times 6}{2 + 1} = \dfrac{6}{3} = 2$, donc $G(2\,;0)$. Le point $G$ est plus proche de $A$, qui a le plus gros poids.
Piège à éviter
Le barycentre se rapproche du point de plus grand coefficient. Et la somme des poids $\alpha + \beta$ doit être non nulle, sinon $G$ n'existe pas.
Le produit scalaire est le pont entre l'algèbre des coordonnées et la géométrie des angles. Il fournit un test d'orthogonalité immédiat et permet de calculer des angles ou des longueurs.
Le produit scalaire $\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta$ dépend de l'angle $\theta$ ; il est nul lorsque les vecteurs sont perpendiculaires.
- Expressions : $\vec{u}\cdot\vec{v} = xx' + yy' = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta$.
- Angle : $\cos\theta = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}$.
- Orthogonalité : $\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u}\cdot\vec{v} = 0$.
- Al-Kashi : $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\,AB \times AC \times \cos\widehat{A}$ (généralise Pythagore).
Exemple
Avec $\vec{u}(1\,;2)$ et $\vec{v}(3\,;-1)$ : $\vec{u}\cdot\vec{v} = 1 \times 3 + 2 \times (-1) = 3 - 2 = 1$. Comme $1 \neq 0$, les vecteurs ne sont pas orthogonaux.
Piège à éviter
Le produit scalaire renvoie un nombre (un scalaire), pas un vecteur. Et $\vec{u}\cdot\vec{v} = 0$ ne signifie pas qu'un vecteur est nul : c'est le critère de perpendicularité.
Quiz - Géométrie dans le plan
10 questions
S'entraîner
Ce thème dans une autre classe
Notions clés — Maths complémentaires
Articles utiles
Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Géométrie dans le plan, extraits du quiz de révision.
Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ avec $A(1\,;3)$ et $B(4\,;7)$ a pour coordonnées :
Réponse :
$(3\,;4)$
$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A\,;y_B - y_A) = (4 - 1\,;7 - 3) = (3\,;4)$.
La norme du vecteur $\vec{u}(3\,;4)$ est :
Réponse :
$5$
$\|\vec{u}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
Les vecteurs $\vec{u}(2\,;3)$ et $\vec{v}(4\,;6)$ sont :
Réponse :
Colinéaires
Déterminant : $2 \times 6 - 3 \times 4 = 12 - 12 = 0$. Les vecteurs sont colinéaires ($\vec{v} = 2\vec{u}$).
L'équation de la droite passant par $(1\,;2)$ de pente $3$ est :
Réponse :
$y = 3x - 1$
$y - 2 = 3(x - 1) \Rightarrow y = 3x - 3 + 2 = 3x - 1$.