Maths complémentaires — Géométrie
Géométrie dans le plan
Vecteurs, coordonnées, droites dans le plan, barycentre et applications
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
La **géométrie analytique** traduit les problèmes géométriques en **calculs** sur des coordonnées. Un vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $(x_B - x_A\,;y_B - y_A)$ et pour **norme** $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Une **droite** se décrit par un point et un vecteur directeur, ou par une équation $ax + by + c = 0$. Deux vecteurs $\vec{u}(x\,;y)$ et $\vec{v}(x'\,;y')$ sont **colinéaires** si $xy' - x'y = 0$. Le **produit scalaire** $\vec{u}\cdot\vec{v} = xx' + yy' = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta$ mesure les angles et teste l'**orthogonalité**. Enfin, le **barycentre** généralise le milieu : le centre de gravité d'un triangle $ABC$ a pour coordonnées $\left(\tfrac{x_A + x_B + x_C}{3}\,;\tfrac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$.
Un vecteur est un **déplacement** : une direction, un sens et une longueur. En repère, tout se ramène à ses **coordonnées**, sur lesquelles s'effectuent additions, multiples et calculs de longueur.
- **Coordonnées :** $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A\,;\,y_B - y_A)$.
- **Opérations :** $\vec{u} + \vec{v} = (x + x'\,;\,y + y')$ et $\lambda\vec{u} = (\lambda x\,;\,\lambda y)$.
- **Norme :** $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$ ; distance $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.
- **Colinéarité :** $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si $xy' - x'y = 0$ (déterminant nul).
Exemple
Avec $A(1\,;3)$ et $B(4\,;7)$ : $\overrightarrow{AB} = (4 - 1\,;\,7 - 3) = (3\,;4)$, de norme $\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$.
Piège à éviter
Pour les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$, c'est **arrivée moins départ** : $(x_B - x_A\,;y_B - y_A)$. Inverser l'ordre donne le vecteur **opposé** $\overrightarrow{BA}$.
Une droite se manie sous deux formes : l'équation **cartésienne** $ax + by + c = 0$ (pratique pour les vecteurs normaux et les distances) et l'équation **réduite** $y = mx + p$ (pratique pour la pente).
- **Équation cartésienne :** $ax + by + c = 0$ ; vecteur directeur $\vec{u}(-b\,;a)$, vecteur normal $\vec{n}(a\,;b)$.
- **Équation réduite :** $y = mx + p$ avec pente $m = -\dfrac{a}{b}$ (si $b \neq 0$).
- **Droite par $A(x_A\,;y_A)$ de pente $m$ :** $y - y_A = m(x - x_A)$.
- **Parallèles :** vecteurs directeurs colinéaires. **Perpendiculaires :** $\vec{u}\cdot\vec{v} = 0$.
- **Distance** de $M_0(x_0\,;y_0)$ à la droite : $d = \dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.
Exemple
Droite passant par $A(1\,;2)$ de pente $3$ : $y - 2 = 3(x - 1)$, soit $y = 3x - 1$.
Piège à éviter
Dans $ax + by + c = 0$, le vecteur **directeur** est $(-b\,;a)$ et le vecteur **normal** est $(a\,;b)$ : ne les intervertis pas. La pente vaut $m = -\tfrac{a}{b}$, avec un signe moins.
Le **milieu** équilibre deux points à poids égaux ; le **barycentre** généralise en autorisant des **poids** différents. C'est l'outil pour localiser un centre de gravité ou un point d'équilibre.
- **Milieu** de $[AB]$ : $M\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}\,;\dfrac{y_A + y_B}{2}\right)$.
- **Barycentre** de $(A,\alpha)$ et $(B,\beta)$ : $G$ tel que $\alpha\,\overrightarrow{GA} + \beta\,\overrightarrow{GB} = \vec{0}$ (avec $\alpha + \beta \neq 0$).
- **Coordonnées :** $x_G = \dfrac{\alpha x_A + \beta x_B}{\alpha + \beta}$, et de même pour $y_G$.
- **Centre de gravité** d'un triangle : $G\left(\dfrac{x_A + x_B + x_C}{3}\,;\dfrac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$ (poids égaux).
Exemple
Barycentre de $(A,2)$ et $(B,1)$ avec $A(0\,;0)$, $B(6\,;0)$ : $x_G = \dfrac{2 \times 0 + 1 \times 6}{2 + 1} = \dfrac{6}{3} = 2$, donc $G(2\,;0)$. Le point $G$ est plus proche de $A$, qui a le **plus gros** poids.
Piège à éviter
Le barycentre se rapproche du point de **plus grand** coefficient. Et la somme des poids $\alpha + \beta$ doit être **non nulle**, sinon $G$ n'existe pas.
Le **produit scalaire** est le pont entre l'algèbre des coordonnées et la géométrie des **angles**. Il fournit un test d'orthogonalité immédiat et permet de calculer des angles ou des longueurs.
- **Expressions :** $\vec{u}\cdot\vec{v} = xx' + yy' = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta$.
- **Angle :** $\cos\theta = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}$.
- **Orthogonalité :** $\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u}\cdot\vec{v} = 0$.
- **Al-Kashi :** $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\,AB \times AC \times \cos\widehat{A}$ (généralise Pythagore).
Exemple
Avec $\vec{u}(1\,;2)$ et $\vec{v}(3\,;-1)$ : $\vec{u}\cdot\vec{v} = 1 \times 3 + 2 \times (-1) = 3 - 2 = 1$. Comme $1 \neq 0$, les vecteurs ne sont **pas** orthogonaux.
Piège à éviter
Le produit scalaire renvoie un **nombre** (un scalaire), pas un vecteur. Et $\vec{u}\cdot\vec{v} = 0$ ne signifie pas qu'un vecteur est nul : c'est le critère de **perpendicularité**.
Quiz - Géométrie dans le plan
10 questions
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Géométrie dans le plan, extraits du quiz de révision.
Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ avec $A(1\,;3)$ et $B(4\,;7)$ a pour coordonnées :
Réponse :
$(3\,;4)$
$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A\,;y_B - y_A) = (4 - 1\,;7 - 3) = (3\,;4)$.
La norme du vecteur $\vec{u}(3\,;4)$ est :
Réponse :
$5$
$\|\vec{u}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
Les vecteurs $\vec{u}(2\,;3)$ et $\vec{v}(4\,;6)$ sont :
Réponse :
Colinéaires
Déterminant : $2 \times 6 - 3 \times 4 = 12 - 12 = 0$. Les vecteurs sont colinéaires ($\vec{v} = 2\vec{u}$).
L'équation de la droite passant par $(1\,;2)$ de pente $3$ est :
Réponse :
$y = 3x - 1$
$y - 2 = 3(x - 1) \Rightarrow y = 3x - 3 + 2 = 3x - 1$.