Maths complémentaires — Analyse
Fonctions trigonométriques
Fonctions cosinus et sinus, propriétés, dérivation, applications et modélisation
Résumé synthétiqueFiche en 5 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Les fonctions cosinus et sinus sont les outils des phénomènes périodiques : oscillations, ondes, marées, saisons. Sur le cercle trigonométrique, un point d'angle $x$ a pour coordonnées $(\cos x\,;\sin x)$, d'où la relation fondamentale $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$. La fonction $\cos$ est paire, $\sin$ est impaire, et toutes deux sont $2\pi$-périodiques. Leurs dérivées sont $(\cos x)' = -\sin x$ et $(\sin x)' = \cos x$. On retient les valeurs remarquables ($\cos\tfrac{\pi}{3} = \tfrac{1}{2}$, $\cos\tfrac{\pi}{4} = \tfrac{\sqrt{2}}{2}$…) et le modèle $f(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$ d'amplitude $A$, de pulsation $\omega$ et de période $T = \tfrac{2\pi}{\omega}$. Exemple : la tension du secteur $u(t) = 325\cos(100\pi t)$ a une fréquence de $50$ Hz.
Le cercle trigonométrique (centre $O$, rayon $1$) est le support de toute la trigonométrie : à chaque angle $x$ correspond un point dont l'abscisse est $\cos x$ et l'ordonnée $\sin x$.
Sur le cercle de rayon $1$, le point d'angle $x$ a pour coordonnées $(\cos x\,;\sin x)$ : $\cos x$ se lit en abscisse, $\sin x$ en ordonnée.
- Le point $M$ d'angle $x$ a pour coordonnées $(\cos x\,;\sin x)$.
- Relation fondamentale : $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$.
- Valeurs de $\cos$ : $\cos 0 = 1$, $\cos\tfrac{\pi}{6} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos\tfrac{\pi}{4} = \tfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos\tfrac{\pi}{3} = \tfrac{1}{2}$, $\cos\tfrac{\pi}{2} = 0$.
- Valeurs de $\sin$ : $\sin 0 = 0$, $\sin\tfrac{\pi}{6} = \tfrac{1}{2}$, $\sin\tfrac{\pi}{4} = \tfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin\tfrac{\pi}{3} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\tfrac{\pi}{2} = 1$.
- Angles associés : $\cos(\pi - x) = -\cos x$, $\sin(\pi - x) = \sin x$.
Exemple
Si $\cos x = \tfrac{1}{2}$ et $\sin x > 0$, alors $\sin x = \sqrt{1 - \tfrac{1}{4}} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$ : on reconnaît $x = \tfrac{\pi}{3}$.
Piège à éviter
Les valeurs $\sin\tfrac{\pi}{6} = \tfrac{1}{2}$ et $\cos\tfrac{\pi}{6} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$ se confondent vite. Repère sur le cercle : près de $0$, le cosinus est grand (proche de $1$) et le sinus petit.
Parité et périodicité résument le comportement de $\cos$ et $\sin$ : il suffit de les connaître sur un petit intervalle pour les connaître partout.
- $\cos$ est paire : $\cos(-x) = \cos x$ ; courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
- $\sin$ est impaire : $\sin(-x) = -\sin x$ ; courbe symétrique par rapport à l'origine.
- Périodicité : $\cos(x + 2\pi) = \cos x$ et $\sin(x + 2\pi) = \sin x$ (période $2\pi$).
- Bornes : $-1 \leq \cos x \leq 1$ et $-1 \leq \sin x \leq 1$.
- Sur $[0\,;\pi]$, $\cos$ est strictement décroissante de $1$ à $-1$.
Exemple
$\cos\!\left(-\tfrac{\pi}{3}\right) = \cos\tfrac{\pi}{3} = \tfrac{1}{2}$ (parité), tandis que $\sin\!\left(-\tfrac{\pi}{3}\right) = -\sin\tfrac{\pi}{3} = -\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ (imparité).
Piège à éviter
Ne mélange pas les parités : $\cos$ est paire (le signe ne change pas), $\sin$ est impaire (le signe change). Une erreur de signe sur $\sin(-x)$ est très fréquente.
Dériver les fonctions trigonométriques repose sur deux formules de base, complétées par la règle de la composée pour les expressions du type $\cos(\omega t)$.
- Formules de base : $(\cos x)' = -\sin x$ et $(\sin x)' = \cos x$.
- Composées : $\big(\cos u\big)' = -u'\sin u$ et $\big(\sin u\big)' = u'\cos u$.
- Exemple : $\big(\cos(3x)\big)' = -3\sin(3x)$ et $\big(\sin(2x)\big)' = 2\cos(2x)$.
- Sur $[0\,;\pi]$, $\cos' = -\sin \leq 0$ : cela prouve que $\cos$ y est décroissante.
Exemple
Dérivons $f(t) = 3\sin(2t)$ : $f'(t) = 3 \times 2\cos(2t) = 6\cos(2t)$.
Piège à éviter
Attention au signe : c'est $\cos$ qui se dérive en $-\sin$, pas l'inverse. Et n'oublie pas le facteur $u'$ : $\big(\cos(3x)\big)' = -3\sin(3x)$, pas $-\sin(3x)$.
Les formules d'addition décomposent $\cos(a + b)$ et $\sin(a + b)$ ; en posant $b = a$, on obtient les formules de duplication, très utiles pour linéariser ou simplifier.
- $\cos(a + b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b$.
- $\sin(a + b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b$.
- Duplication : $\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$.
- $\sin(2a) = 2\sin a\cos a$.
- Linéarisation : $\cos^2 x = \dfrac{1 + \cos 2x}{2}$ et $\sin^2 x = \dfrac{1 - \cos 2x}{2}$.
Exemple
Calculons $\cos\tfrac{\pi}{12}$ avec $\tfrac{\pi}{12} = \tfrac{\pi}{3} - \tfrac{\pi}{4}$ : $\cos\!\left(\tfrac{\pi}{3} - \tfrac{\pi}{4}\right) = \cos\tfrac{\pi}{3}\cos\tfrac{\pi}{4} + \sin\tfrac{\pi}{3}\sin\tfrac{\pi}{4} = \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2} + \tfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2} = \tfrac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$.
Piège à éviter
Dans $\cos(a + b)$, attention au signe moins : $\cos a\cos b - \sin a\sin b$. C'est $\sin(a + b)$ qui utilise un plus. Confondre les deux est l'erreur la plus répandue.
Toute oscillation régulière se modélise par $f(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$. Trois paramètres suffisent : l'amplitude $A$, la pulsation $\omega$ (qui fixe la période) et la phase $\varphi$ (le décalage initial).
- Modèle : $f(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$ — $A$ amplitude, $\omega$ pulsation, $\varphi$ phase à l'origine.
- Période : $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$ ; fréquence : $f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{\omega}{2\pi}$.
- L'amplitude $A$ donne l'écart maximal : la fonction oscille entre $-A$ et $A$.
- Exemples : marées, température saisonnière, son pur, tension alternative se modélisent ainsi.
Exemple
Tension du secteur $u(t) = 325\cos(100\pi t)$ : pulsation $\omega = 100\pi$, période $T = \dfrac{2\pi}{100\pi} = \dfrac{1}{50}$ s, fréquence $f = 50$ Hz, amplitude $325$ V.
Piège à éviter
Ne confonds pas pulsation $\omega$ (en rad/s) et fréquence $f$ (en Hz) : elles sont reliées par $\omega = 2\pi f$. La période est $T = \tfrac{2\pi}{\omega}$, pas $\tfrac{1}{\omega}$.
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Fonctions trigonométriques, extraits du quiz de révision.
Que vaut $\cos\tfrac{\pi}{3}$ ?
Réponse :
$\dfrac{1}{2}$
$\cos\tfrac{\pi}{3} = \cos 60° = \dfrac{1}{2}$ : valeur remarquable à connaître.
La dérivée de $\sin x$ est :
Réponse :
$\cos x$
$(\sin x)' = \cos x$ : formule fondamentale.
La dérivée de $\cos(2x)$ est :
Réponse :
$-2\sin(2x)$
Règle de la composée : $\big(\cos u\big)' = -u'\sin u$ avec $u = 2x$, $u' = 2$. Donc $-2\sin(2x)$.
La fonction cosinus est :
Réponse :
Paire
$\cos(-x) = \cos x$ : la fonction cosinus est paire (courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées).