Mathématiques — Statistiques et probabilités
Probabilités
Expérience aléatoire, événements, calcul de probabilités
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Résumé
Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat : lancer un dé, tirer une carte, regarder si le bus arrive à l'heure. Chaque résultat possible est une issue, et leur ensemble forme l'univers $\Omega$. La probabilité d'un événement $A$ est un nombre entre $0$ et $1$ : $P(A) = 0$ pour un événement impossible, $P(A) = 1$ pour un événement certain. Quand toutes les issues ont la même chance (équiprobabilité), on calcule $P(A) = \dfrac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}$ : par exemple, un dé équilibré donne $P(\text{pair}) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$. On apprend aussi à passer par l'événement contraire ($P(\bar{A}) = 1 - P(A)$), à combiner des événements ($\cup$, $\cap$) et à modéliser une expérience à deux étapes avec un arbre de probabilités.
Avant de calculer, il faut décrire l'expérience avec les bons mots. Tout part de l'univers $\Omega$, la liste de tous les résultats possibles. Un événement est simplement une partie de cet univers : « obtenir un nombre pair » regroupe plusieurs issues d'un coup.
- Expérience aléatoire : son résultat est imprévisible (lancer une pièce, un dé...).
- Issue : un résultat possible (par exemple $\text{pile}$, ou la face $5$ d'un dé).
- Univers $\Omega$ : l'ensemble de toutes les issues. Pour un dé : $\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$.
- Événement : une partie de $\Omega$. Exemple : $A = \{\text{pair}\} = \{2,4,6\}$.
- Événement certain $\Omega$ : $P(\Omega) = 1$. Événement impossible $\varnothing$ : $P(\varnothing) = 0$.
- Pour tout événement $A$, on a toujours $0 \leq P(A) \leq 1$.
Exemple
On lance un dé à $6$ faces. L'univers est $\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$. L'événement « obtenir un nombre pair » s'écrit $A = \{2,4,6\}$ ; il contient $3$ issues sur $6$.
Piège à éviter
Une probabilité est toujours comprise entre $0$ et $1$. Si un calcul donne $1{,}3$ ou un nombre négatif, c'est qu'il y a une erreur : repère-la avant de continuer.
Quand toutes les issues ont exactement la même chance (dé équilibré, pièce non truquée, tirage au hasard), le calcul devient un simple comptage. On compte les cas qui nous arrangent, puis on divise par le nombre total de cas.
- Formule (équiprobabilité) : $P(A) = \dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$.
- Somme totale : $P(\Omega) = 1$ — les probabilités de toutes les issues s'additionnent pour donner $1$.
- Événement contraire $\bar{A}$ (« $A$ ne se réalise pas ») : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.
- Passer par le contraire est souvent plus rapide : $P(\text{au moins un}) = 1 - P(\text{aucun})$.
- On peut donner le résultat en fraction ($\dfrac{1}{6}$) ou en décimal ($\approx 0{,}167$).
Exemple
Dé équilibré. $P(\text{obtenir } 5) = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}167$. $P(\text{nombre pair}) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$. $P(\text{ne pas obtenir } 6) = 1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}$.
Piège à éviter
La formule $\dfrac{\text{favorables}}{\text{possibles}}$ n'est valable qu'en équiprobabilité. Avec un dé truqué ou des billes de tailles différentes, les issues n'ont pas la même chance : il faut alors les probabilités de chaque issue, pas un simple comptage.
On combine souvent deux événements. « $A$ ou $B$ » se note $A \cup B$ (réunion), « $A$ et $B$ » se note $A \cap B$ (intersection). La formule de l'union évite de compter deux fois les issues communes.
- $A \cup B$ ($A$ ou $B$) : se réalise si au moins l'un des deux se réalise.
- $A \cap B$ ($A$ et $B$) : se réalise si les deux se réalisent en même temps.
- Formule de l'union : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
- Événements incompatibles : $A \cap B = \varnothing$ (ils ne peuvent pas se produire ensemble).
- Si $A$ et $B$ sont incompatibles : $P(A \cap B) = 0$, donc $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.
Exemple
Dé équilibré. $A = \{\text{pair}\} = \{2,4,6\}$ et $B = \{x > 4\} = \{5,6\}$. Alors $A \cap B = \{6\}$, donc $P(A \cup B) = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$.
Piège à éviter
N'oublie jamais de soustraire $P(A \cap B)$ dans la formule générale : sinon tu comptes deux fois les issues communes. Ne saute cette soustraction que si les événements sont incompatibles (intersection vide).
Pour une expérience à plusieurs étapes (deux lancers, deux tirages), un arbre de probabilités organise tous les chemins possibles. On multiplie les probabilités le long d'une branche, et on additionne les branches qui mènent au résultat cherché.
Le long d'un chemin, on multiplie : $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$ pour chaque issue. La somme des quatre issues vaut bien $1$.
- Chaque branche porte la probabilité de l'étape correspondante.
- Le long d'un chemin, on multiplie les probabilités des branches.
- Pour un événement formé de plusieurs chemins, on additionne leurs probabilités.
- La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut toujours $1$.
- Exemple type : $P(\text{au moins un pile}) = 1 - P(\text{FF}) = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$.
Exemple
Jeu de $52$ cartes. $P(\text{as}) = \dfrac{4}{52} = \dfrac{1}{13}$, $P(\text{carreau}) = \dfrac{13}{52} = \dfrac{1}{4}$. Comme l'as de carreau est compté deux fois : $P(\text{as ou carreau}) = \dfrac{4}{52} + \dfrac{13}{52} - \dfrac{1}{52} = \dfrac{16}{52} = \dfrac{4}{13}$.
Piège à éviter
Sur un arbre, ne confonds pas les deux opérations : on multiplie en avançant le long d'un chemin (étapes successives), on additionne entre des chemins différents (issues distinctes).
Quiz - Probabilités
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Probabilités, extraits du quiz de révision.
On lance un dé équilibré. Que vaut $P(\text{obtenir } 6)$ ?
Réponse :
$\dfrac{1}{6}$
Il y a $1$ cas favorable (la face $6$) sur $6$ cas possibles équiprobables : $P = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}167$. Une probabilité ne peut pas valoir $6$ : elle reste entre $0$ et $1$.
L'univers $\Omega$ d'un lancer de pièce est :
Réponse :
$\{\text{pile},\ \text{face}\}$
L'univers regroupe toutes les issues possibles. Pour une pièce, ce sont pile et face : $\Omega = \{\text{pile},\ \text{face}\}$. L'univers $\{1,2,3,4,5,6\}$ serait celui d'un dé.
Si $P(A) = 0{,}3$, que vaut la probabilité de l'événement contraire $P(\bar{A})$ ?
Réponse :
$0{,}7$
L'événement contraire vérifie $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7$. Les deux probabilités s'additionnent toujours pour donner $1$.
Que vaut la somme des probabilités de toutes les issues d'une expérience ?
Réponse :
$1$
Par définition, $P(\Omega) = 1$ : la somme des probabilités de toutes les issues vaut toujours $1$. Cela sert à vérifier qu'on n'a oublié aucune issue.