Mathématiques — Statistiques et probabilités
Probabilités
Expérience aléatoire, événements, calcul de probabilités
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Une **expérience aléatoire** est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat : lancer un dé, tirer une carte, regarder si le bus arrive à l'heure. Chaque résultat possible est une **issue**, et leur ensemble forme l'**univers** $\Omega$. La probabilité d'un événement $A$ est un nombre entre $0$ et $1$ : $P(A) = 0$ pour un événement **impossible**, $P(A) = 1$ pour un événement **certain**. Quand toutes les issues ont la même chance (**équiprobabilité**), on calcule $P(A) = \dfrac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}$ : par exemple, un dé équilibré donne $P(\text{pair}) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$. On apprend aussi à passer par l'événement **contraire** ($P(\bar{A}) = 1 - P(A)$), à combiner des événements ($\cup$, $\cap$) et à modéliser une expérience à deux étapes avec un **arbre de probabilités**.
Avant de calculer, il faut **décrire** l'expérience avec les bons mots. Tout part de l'**univers** $\Omega$, la liste de tous les résultats possibles. Un **événement** est simplement une partie de cet univers : « obtenir un nombre pair » regroupe plusieurs issues d'un coup.
- **Expérience aléatoire :** son résultat est **imprévisible** (lancer une pièce, un dé...).
- **Issue :** un résultat possible (par exemple $\text{pile}$, ou la face $5$ d'un dé).
- **Univers $\Omega$ :** l'ensemble de **toutes** les issues. Pour un dé : $\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$.
- **Événement :** une partie de $\Omega$. Exemple : $A = \{\text{pair}\} = \{2,4,6\}$.
- **Événement certain** $\Omega$ : $P(\Omega) = 1$. **Événement impossible** $\varnothing$ : $P(\varnothing) = 0$.
- Pour tout événement $A$, on a toujours $0 \leq P(A) \leq 1$.
Exemple
On lance un dé à $6$ faces. L'univers est $\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$. L'événement « obtenir un nombre pair » s'écrit $A = \{2,4,6\}$ ; il contient $3$ issues sur $6$.
Piège à éviter
Une probabilité est **toujours** comprise entre $0$ et $1$. Si un calcul donne $1{,}3$ ou un nombre négatif, c'est qu'il y a une erreur : repère-la avant de continuer.
Quand toutes les issues ont **exactement la même chance** (dé équilibré, pièce non truquée, tirage au hasard), le calcul devient un simple **comptage**. On compte les cas qui nous arrangent, puis on divise par le nombre total de cas.
- **Formule (équiprobabilité) :** $P(A) = \dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$.
- **Somme totale :** $P(\Omega) = 1$ — les probabilités de toutes les issues s'additionnent pour donner $1$.
- **Événement contraire $\bar{A}$** (« $A$ ne se réalise pas ») : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.
- Passer par le contraire est souvent **plus rapide** : $P(\text{au moins un}) = 1 - P(\text{aucun})$.
- On peut donner le résultat en **fraction** ($\dfrac{1}{6}$) ou en **décimal** ($\approx 0{,}167$).
Exemple
Dé équilibré. $P(\text{obtenir } 5) = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}167$. $P(\text{nombre pair}) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$. $P(\text{ne pas obtenir } 6) = 1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}$.
Piège à éviter
La formule $\dfrac{\text{favorables}}{\text{possibles}}$ n'est valable **qu'en équiprobabilité**. Avec un dé truqué ou des billes de tailles différentes, les issues n'ont pas la même chance : il faut alors les probabilités de chaque issue, pas un simple comptage.
On combine souvent deux événements. « $A$ **ou** $B$ » se note $A \cup B$ (réunion), « $A$ **et** $B$ » se note $A \cap B$ (intersection). La formule de l'union évite de compter deux fois les issues communes.
- **$A \cup B$ ($A$ ou $B$) :** se réalise si **au moins l'un** des deux se réalise.
- **$A \cap B$ ($A$ et $B$) :** se réalise si les **deux** se réalisent en même temps.
- **Formule de l'union :** $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
- **Événements incompatibles :** $A \cap B = \varnothing$ (ils ne peuvent pas se produire ensemble).
- Si $A$ et $B$ sont **incompatibles** : $P(A \cap B) = 0$, donc $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.
Exemple
Dé équilibré. $A = \{\text{pair}\} = \{2,4,6\}$ et $B = \{x > 4\} = \{5,6\}$. Alors $A \cap B = \{6\}$, donc $P(A \cup B) = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$.
Piège à éviter
N'oublie **jamais** de soustraire $P(A \cap B)$ dans la formule générale : sinon tu comptes deux fois les issues communes. Ne saute cette soustraction que si les événements sont **incompatibles** (intersection vide).
Pour une expérience à **plusieurs étapes** (deux lancers, deux tirages), un **arbre de probabilités** organise tous les chemins possibles. On **multiplie** les probabilités le long d'une branche, et on **additionne** les branches qui mènent au résultat cherché.
- Chaque **branche** porte la probabilité de l'étape correspondante.
- **Le long d'un chemin**, on **multiplie** les probabilités des branches.
- Pour un événement formé de **plusieurs chemins**, on **additionne** leurs probabilités.
- La somme des probabilités des branches **issues d'un même nœud** vaut toujours $1$.
- Exemple type : $P(\text{au moins un pile}) = 1 - P(\text{FF}) = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$.
Exemple
Jeu de $52$ cartes. $P(\text{as}) = \dfrac{4}{52} = \dfrac{1}{13}$, $P(\text{carreau}) = \dfrac{13}{52} = \dfrac{1}{4}$. Comme l'as de carreau est compté deux fois : $P(\text{as ou carreau}) = \dfrac{4}{52} + \dfrac{13}{52} - \dfrac{1}{52} = \dfrac{16}{52} = \dfrac{4}{13}$.
Piège à éviter
Sur un arbre, ne confonds pas les deux opérations : on **multiplie** en avançant le long d'un chemin (étapes successives), on **additionne** entre des chemins différents (issues distinctes).
Quiz - Probabilités
10 questions
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Notions clés — Mathématiques
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Probabilités, extraits du quiz de révision.
On lance un dé équilibré. Que vaut $P(\text{obtenir } 6)$ ?
Réponse :
$\dfrac{1}{6}$
Il y a $1$ cas favorable (la face $6$) sur $6$ cas possibles équiprobables : $P = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}167$. Une probabilité ne peut pas valoir $6$ : elle reste entre $0$ et $1$.
L'univers $\Omega$ d'un lancer de pièce est :
Réponse :
$\{\text{pile},\ \text{face}\}$
L'univers regroupe **toutes** les issues possibles. Pour une pièce, ce sont pile et face : $\Omega = \{\text{pile},\ \text{face}\}$. L'univers $\{1,2,3,4,5,6\}$ serait celui d'un dé.
Si $P(A) = 0{,}3$, que vaut la probabilité de l'événement contraire $P(\bar{A})$ ?
Réponse :
$0{,}7$
L'événement contraire vérifie $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7$. Les deux probabilités s'additionnent toujours pour donner $1$.
Que vaut la somme des probabilités de toutes les issues d'une expérience ?
Réponse :
$1$
Par définition, $P(\Omega) = 1$ : la somme des probabilités de toutes les issues vaut **toujours** $1$. Cela sert à vérifier qu'on n'a oublié aucune issue.