Mathématiques — Fonctions
Résolution graphique
Lecture graphique, intersection de courbes, résolution f(x) = g(x) et f(x) > g(x)
Résumé synthétiqueFiche en 5 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Pourquoi calculer quand on peut lire ? La résolution graphique exploite la courbe d'une fonction pour répondre à des questions sans algèbre. Pour résoudre $f(x) = k$, on trace la droite horizontale $y = k$ et on lit les abscisses des intersections. Pour $f(x) = g(x)$, on cherche les points où les deux courbes se croisent ; pour $f(x) > g(x)$, les zones où la courbe de $f$ est au-dessus de celle de $g$. La même courbe livre aussi l'image d'un nombre, ses antécédents, le signe de la fonction et ses variations. Seule limite : la précision dépend du graphique, donc les réponses sont des valeurs approchées.
Deux lectures inverses sur une même courbe. L'image part d'un $x$ et descend vers la courbe pour lire $y$ : c'est ce que vaut $f$. L'antécédent fait le chemin inverse : on part d'un $y$ et on cherche le ou les $x$ qui y mènent. D'où une règle d'or : une image est unique, un antécédent peut être multiple.
- Image de $a$ : c'est $f(a)$. On part de $x = a$, on rejoint la courbe, on lit $y$ sur l'axe $Oy$.
- Exemple : si la courbe passe par $(3\,;5)$, alors $f(3) = 5$.
- Antécédent de $b$ : les $x$ tels que $f(x) = b$. On trace l'horizontale $y = b$ et on lit les abscisses des intersections.
- Un nombre peut avoir $0$, $1$, $2$ antécédents ou plus, selon la courbe.
- Une image est unique ; les antécédents peuvent être multiples.
Exemple
Pour $f(x) = x^2$, l'antécédent de $4$ : on résout $x^2 = 4$, soit $x = 2$ ou $x = -2$. La droite $y = 4$ coupe la parabole en deux points : $4$ a deux antécédents.
Piège à éviter
Ne confonds pas les axes : pour une image, on part de l'axe $Ox$ ; pour un antécédent, on part de l'axe $Oy$. Inverser les deux est l'erreur la plus courante.
Résoudre $f(x) = k$, c'est chercher les $x$ dont l'image vaut $k$. L'astuce : tracer la droite horizontale $y = k$ et repérer où elle rencontre la courbe. Les abscisses de ces points sont les solutions, et leur nombre se lit directement.
- Méthode : tracer $y = k$ (horizontale), lire les abscisses des intersections.
- $0$ intersection $\Rightarrow$ aucune solution ; $1$ intersection $\Rightarrow$ une solution ; $2$ ou plus $\Rightarrow$ plusieurs.
- Cas particulier : $f(x) = 0$ revient à chercher les intersections avec l'axe $Ox$.
- Les solutions lues sont approchées (précision limitée par le graphique).
- On donne les abscisses $x$, jamais les ordonnées.
Exemple
Résolvons $x^2 = 4$ graphiquement. La droite $y = 4$ coupe la parabole $y = x^2$ en deux points, d'abscisses $x = -2$ et $x = 2$. Les solutions sont donc $-2$ et $2$.
Piège à éviter
Pour $f(x) = 5$, on trace $y = 5$ (horizontale), pas $x = 5$ (verticale). La verticale $x = 5$ sert au contraire à lire $f(5)$.
Quand deux fonctions sont en jeu, on trace les deux courbes dans le même repère. Là où elles se croisent, on a $f(x) = g(x)$ : les abscisses des points d'intersection sont les solutions. C'est exactement ainsi qu'on trouve le seuil où deux tarifs deviennent égaux.
Les solutions de $f(x) = g(x)$ sont les abscisses $x_1$ et $x_2$ des points d'intersection des deux courbes.
- Méthode : tracer $f$ et $g$, lire les abscisses des points d'intersection.
- Un point d'intersection $(x_0\,;y_0)$ vérifie $y_0 = f(x_0) = g(x_0)$.
- Le nombre de solutions ($0$, $1$, $2$, …) dépend des deux courbes.
- Application : trouver quand deux tarifs sont égaux (seuil de rentabilité).
- Vérification : réinjecter chaque $x$ trouvé dans $f$ et $g$ pour confirmer l'égalité.
Exemple
Les courbes de $f(x) = x^2$ et $g(x) = 2x + 3$ se coupent aux points d'abscisses $x = -1$ et $x = 3$. Vérification en $x = 3$ : $f(3) = 9$ et $g(3) = 9$. Les solutions de $f(x) = g(x)$ sont $-1$ et $3$.
Piège à éviter
On donne les abscisses des points d'intersection, pas leurs ordonnées. Si les courbes se croisent en $(2\,;3)$, la solution est $x = 2$, et non $3$.
Une inéquation se lit comme une comparaison de hauteurs. Là où la courbe de $f$ passe au-dessus de celle de $g$, on a $f(x) > g(x)$. Les bornes des intervalles solutions sont précisément les points d'intersection, là où les deux courbes se rejoignent.
- $f(x) > g(x)$ : intervalles où la courbe de $f$ est au-dessus de celle de $g$.
- $f(x) < g(x)$ : intervalles où la courbe de $f$ est en dessous de celle de $g$.
- Les bornes sont les abscisses des points d'intersection (où $f(x) = g(x)$).
- Cas particulier : $f(x) > 0$ $\Leftrightarrow$ courbe au-dessus de l'axe $Ox$.
- Inégalité large ($\geq$, $\leq$) : on inclut les points d'intersection.
Exemple
Les courbes de $f$ et $g$ se coupent en $x = -1$ et $x = 3$, et la courbe de $f$ est au-dessus de celle de $g$ en dehors de ces points. Alors $f(x) > g(x)$ sur $]-\infty\,;-1[ \cup ]3\,;+\infty[$.
Piège à éviter
Avec une inégalité large, inclus les abscisses d'intersection (crochets fermés) ; avec une inégalité stricte, exclus-les (crochets ouverts).
La même courbe livre encore deux informations. Son signe se lit selon qu'elle est au-dessus ou en dessous de l'axe $Ox$. Ses variations se lisent selon qu'elle monte ou descend. Ce sont deux lectures différentes : ne pas les mélanger.
- Signe : $f(x) > 0$ au-dessus de $Ox$, $f(x) < 0$ en dessous.
- $f(x) = 0$ là où la courbe coupe ou touche l'axe $Ox$ (les zéros).
- Variations : courbe qui monte $\rightarrow$ croissante ; qui descend $\rightarrow$ décroissante.
- Maximum au sommet d'une bosse, minimum au fond d'un creux.
- Résoudre $f(x) \geq 0$ : trouver les $x$ où la courbe est au-dessus de $Ox$ ou la touche.
Exemple
Une courbe au-dessus de $Ox$ sur $]-2\,;3[$ signifie $f(x) > 0$ sur cet intervalle. Cela ne dit rien de ses variations : $f$ peut y être croissante ou décroissante.
Piège à éviter
Deux confusions classiques : prendre « $f$ croissante » (courbe qui monte) pour « $f$ positive » (courbe au-dessus de $Ox$), et donner une ordonnée $y$ au lieu d'une abscisse $x$ comme solution d'une équation.
Quiz - Résolution graphique
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Notions clés — Mathématiques
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Résolution graphique, extraits du quiz de révision.
Pour trouver l'image de $3$ par $f$, on lit graphiquement :
Réponse :
L'ordonnée du point de la courbe d'abscisse $3$
L'image de $3$ est $f(3)$. On part de $x = 3$ sur l'axe des abscisses, on rejoint la courbe, puis on lit l'ordonnée $y$ du point : c'est $f(3)$.
Si la courbe de $f$ passe par $(0\,;3)$, que vaut $f(0)$ ?
Réponse :
$3$
Le point $(0\,;3)$ signifie que pour $x = 0$, $y = 3$. Comme $y = f(x)$, on a $f(0) = 3$ : c'est l'ordonnée à l'origine, là où la courbe coupe l'axe $Oy$.
Pour résoudre $f(x) = 5$ graphiquement, on trace :
Réponse :
La droite $y = 5$ (horizontale)
On cherche les $x$ dont l'image vaut $5$ : on trace l'horizontale $y = 5$ et on lit les abscisses des intersections avec la courbe. La verticale $x = 5$ servirait à lire $f(5)$, ce qui est différent.
La courbe de $f$ coupe l'axe $Ox$ en $x = -1$ et $x = 4$. Les solutions de $f(x) = 0$ sont :
Réponse :
$x = -1$ et $x = 4$
$f(x) = 0$ correspond aux points où la courbe touche l'axe $Ox$ ($y = 0$). Leurs abscisses $x = -1$ et $x = 4$ sont les solutions (zéros ou racines de $f$).