Mathématiques — Nombres et calculs
Inéquations du premier degré
Résolution d'inéquations, tableaux de signes, signe d'un produit/quotient
Résumé synthétiqueFiche en 5 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Une inéquation ressemble à une équation, mais avec un signe d'inégalité : $3x - 7 > 5$. La résoudre, c'est trouver toutes les valeurs de $x$ qui la satisfont — souvent une infinité, qu'on décrit par un intervalle. La méthode reprend celle des équations, avec une règle d'or à ne jamais oublier : multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité. Au-delà, les tableaux de signes permettent d'étudier le signe d'un produit ou d'un quotient comme $(2x-4)(x+3)$ et de résoudre des inéquations plus riches. Un outil omniprésent au lycée : comparer deux tarifs, déterminer un domaine, étudier le signe d'une fonction.
Résoudre une inéquation, c'est isoler $x$ exactement comme pour une équation : on ajoute, on soustrait, on multiplie, on divise des deux côtés. Une seule différence, mais capitale : si on multiplie ou divise par un nombre négatif, le sens de l'inégalité se retourne.
- Ajouter / soustraire un même nombre des deux côtés ne change pas le sens.
- Multiplier / diviser par un positif ne change pas le sens non plus.
- Règle d'or : multiplier ou diviser par un négatif inverse le sens ($<$ devient $>$).
- Sans inversion : $3x - 7 > 5 \Rightarrow 3x > 12 \Rightarrow x > 4$.
- Avec inversion : $-2x + 1 \leq 7 \Rightarrow -2x \leq 6 \Rightarrow x \geq -3$.
Exemple
Résolvons $5 - 4x < 13$. On retranche $5$ : $-4x < 8$. On divise par $-4$ (négatif), donc on inverse le sens : $x > \dfrac{8}{-4}$, soit $x > -2$. Solution : $]-2\,;+\infty[$.
Piège à éviter
L'oubli n°1 : diviser par un négatif sans retourner le signe. Réflexe : dès qu'un nombre négatif passe en facteur ou en diviseur, le sens de l'inégalité bascule.
La solution d'une inéquation est rarement un seul nombre : c'est tout un intervalle. Les crochets disent si une borne est incluse (crochet fermé) ou exclue (crochet ouvert). Vers l'infini, le crochet est toujours ouvert : on n'atteint jamais $+\infty$.
- $x > a$ s'écrit $]a\,;+\infty[$ ; $x \geq a$ s'écrit $[a\,;+\infty[$ (borne incluse).
- $x < a$ s'écrit $]-\infty\,;a[$ ; $x \leq a$ s'écrit $]-\infty\,;a]$.
- $a < x < b$ s'écrit $]a\,;b[$ (intervalle ouvert aux deux bouts).
- Intersection (ET) : $[1\,;5] \cap [3\,;8] = [3\,;5]$ — les valeurs communes.
- Réunion (OU) : $]-\infty\,;2] \cup [5\,;+\infty[$ — l'un ou l'autre.
Exemple
Traduisons « $x$ compris entre $-1$ inclus et $4$ exclu ». Cela s'écrit $-1 \leq x < 4$, soit l'intervalle $[-1\,;4[$.
Piège à éviter
Crochet ouvert pour une borne exclue ($<$, $>$), fermé pour une borne incluse ($\leq$, $\geq$). Et toujours ouvert du côté de $+\infty$ ou $-\infty$.
Avant d'étudier des produits, il faut savoir lire le signe d'une expression simple $ax + b$. Tout bascule à sa racine $x_0 = -\dfrac{b}{a}$ : avant, un signe ; après, l'autre. Lequel ? Le signe de $a$ donne le signe à droite de la racine.
- $ax + b$ s'annule en $x_0 = -\dfrac{b}{a}$ (la racine).
- Si $a > 0$ : négatif avant $x_0$, positif après.
- Si $a < 0$ : positif avant $x_0$, négatif après.
- Mémo : « le signe après la racine est le signe de $a$ ».
- Exemple : $-3x + 9$ a pour racine $x_0 = 3$ ; comme $a = -3 < 0$, il est positif sur $]-\infty\,;3[$ puis négatif sur $]3\,;+\infty[$.
Exemple
Étudions $2x - 6$. Racine : $2x - 6 = 0 \Rightarrow x_0 = 3$. Comme $a = 2 > 0$, l'expression est négative sur $]-\infty\,;3[$ et positive sur $]3\,;+\infty[$.
Piège à éviter
Le signe dépend du signe de $a$. Avec $a < 0$, l'ordre s'inverse : ne recopie pas mécaniquement « négatif puis positif ».
Pour le signe d'un produit ou d'un quotient, on étudie chaque facteur séparément, puis on applique la règle des signes ligne par ligne dans un tableau. Le produit de deux négatifs étant positif, plusieurs intervalles de solutions peuvent apparaître.
Tableau de signes de $(2x-4)(x+3)$ : chaque facteur change de signe à sa racine, et le produit se lit colonne par colonne. Solution de $> 0$ : $]-\infty\,;-3[ \cup ]2\,;+\infty[$.
- Règle des signes : $(+)(+) = +$, $(+)(-) = -$, $(-)(-) = +$.
- Produit $(ax+b)(cx+d)$ : une ligne de signes par facteur, puis on multiplie colonne par colonne.
- Quotient : même méthode, mais le dénominateur ne doit jamais s'annuler (valeur interdite).
- Un produit peut valoir $0$ (on inclut les racines avec $\geq$ ou $\leq$) ; un quotient ne s'annule jamais par son dénominateur.
- On marque la valeur interdite d'une double barre dans le tableau.
Exemple
Résolvons $(2x-4)(x+3) > 0$. Racines : $x = 2$ et $x = -3$. Le tableau donne $+$ sur $]-\infty\,;-3[$, $-$ sur $]-3\,;2[$, $+$ sur $]2\,;+\infty[$. Solution : $]-\infty\,;-3[ \cup ]2\,;+\infty[$.
Piège à éviter
Pour un quotient, n'inclus jamais la valeur interdite, même avec $\leq$ ou $\geq$ : elle annule le dénominateur, donc la fraction n'existe pas en ce point.
Une fois la méthode rodée, résoudre une inéquation-produit devient mécanique. Voici les cinq étapes à dérouler dans l'ordre, et les trois erreurs qui coûtent le plus de points.
- Étape 1 : trouver la racine de chaque facteur.
- Étape 2 : ranger les racines dans l'ordre croissant sur la ligne des $x$.
- Étape 3 : donner le signe de chaque facteur sur chaque intervalle.
- Étape 4 : multiplier les signes (produit) ou les diviser (quotient).
- Étape 5 : lire la solution selon l'inégalité demandée ($> 0$, $\leq 0$, etc.).
Exemple
Pour $(x-5)(x+1) \leq 0$ : racines $5$ et $-1$. Signes du produit : $+$ sur $]-\infty\,;-1[$, $-$ sur $]-1\,;5[$, $+$ sur $]5\,;+\infty[$. Comme on veut $\leq 0$, la solution est $[-1\,;5]$ (racines incluses car le produit y vaut $0$).
Piège à éviter
Trois pièges récurrents : oublier d'inverser le sens en multipliant par un négatif, inclure une valeur interdite d'un quotient, et confondre $\cap$ (intersection, ET) avec $\cup$ (réunion, OU).
Quiz - Inéquations du premier degré
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Inéquations du premier degré, extraits du quiz de révision.
Résoudre $3x - 9 > 0$ :
Réponse :
$x > 3$
$3x - 9 > 0 \Rightarrow 3x > 9 \Rightarrow x > 3$. On ajoute $9$ des deux côtés, puis on divise par $3$ (positif), donc le sens ne change pas. Solution : $]3\,;+\infty[$.
L'intervalle $]2\,;+\infty[$ signifie :
Réponse :
$x > 2$
Le crochet ouvert devant $2$ exclut cette valeur : $]2\,;+\infty[$ rassemble tous les réels strictement supérieurs à $2$, soit $x > 2$. Si $2$ était inclus, on écrirait $[2\,;+\infty[$ pour $x \geq 2$.
Résoudre $-2x \geq 8$ :
Réponse :
$x \leq -4$
On divise par $-2$ et on inverse le sens : $x \leq -4$. Diviser par un nombre négatif retourne l'inégalité. Solution : $]-\infty\,;-4]$.
L'expression $2x - 6$ est positive pour :
Réponse :
$x > 3$
$2x - 6 > 0 \Rightarrow x > 3$. Par le tableau de signes : la racine est $x_0 = 3$, et comme $a = 2 > 0$, l'expression est négative avant $3$ puis positive après.