Mathématiques — Nombres et calculs
Équations et inéquations
Résolution, factorisation, signe d'un produit
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Résumé
Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de $x$ qui la rendent vraie. Pour le premier degré $ax + b = 0$, on isole $x$ pas à pas jusqu'à $x = -\dfrac{b}{a}$. Pour une équation produit, une règle en or fait tout le travail : $A \times B = 0$ exactement quand $A = 0$ ou $B = 0$. Les inéquations se traitent presque comme les équations, à un piège près : multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité. Enfin, le tableau de signes permet d'étudier le signe d'un produit sans tout développer. Ces techniques reviennent dans tous les chapitres de l'année.
Une équation $ax + b = 0$ se résout en isolant $x$ : on regroupe les $x$ d'un côté, les nombres de l'autre, puis on divise. L'image utile est celle d'une balance : tout ce qu'on fait à un membre, on le fait à l'autre pour garder l'équilibre.
- Forme : $ax + b = 0$ avec $a \neq 0$, solution unique $x = -\dfrac{b}{a}$.
- Méthode : regrouper les $x$ d'un côté, les constantes de l'autre, puis diviser par le coefficient de $x$.
- Vérifier en remplaçant la valeur trouvée dans l'équation de départ.
- Cas limites : si $a = 0$ et $b = 0$, une infinité de solutions ; si $a = 0$ et $b \neq 0$, aucune solution.
- Avec des fractions : multiplier tous les termes par le dénominateur commun.
Exemple
$2x + 7 = 3 \Rightarrow 2x = 3 - 7 = -4 \Rightarrow x = \dfrac{-4}{2} = -2$. Vérification : $2 \times (-2) + 7 = 3$.
Piège à éviter
Quand un terme change de côté du signe $=$, son signe change aussi : $+7$ devient $-7$. Oublier ce changement de signe est l'erreur la plus courante.
Un produit de facteurs est nul uniquement si l'un des facteurs est nul. Cette idée toute simple — la règle du produit nul — transforme une équation compliquée en plusieurs petites équations faciles.
- Règle d'or : $A \times B = 0 \Leftrightarrow A = 0$ ou $B = 0$.
- Étape 1 : tout ramener d'un côté pour obtenir $\dots = 0$.
- Étape 2 : factoriser (facteur commun, identité remarquable).
- Étape 3 : annuler chaque facteur séparément.
- Ex. $x^2 - 9 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+3) = 0 \Rightarrow x = 3$ ou $x = -3$.
Exemple
$x^2 - 5x = 0$ : on factorise par $x$, ce qui donne $x(x-5) = 0$. D'où $x = 0$ ou $x = 5$ : deux solutions.
Piège à éviter
Ne divise jamais les deux membres par $x$ pour « simplifier » : tu perdrais la solution $x = 0$. Il faut factoriser par $x$ à la place.
Une inéquation se manipule comme une équation, mais on garde le symbole $<$, $\leq$, $>$ ou $\geq$. Une seule opération réserve une surprise : diviser ou multiplier par un nombre négatif retourne le sens de l'inégalité.
- Ajouter, soustraire, ou diviser par un nombre positif ne change pas le sens.
- Règle cruciale : diviser (ou multiplier) par un nombre négatif inverse le sens ($<$ devient $>$).
- Ex. $-2x < 6 \Rightarrow x > -3$ (le sens s'inverse en divisant par $-2$).
- La solution s'écrit sous forme d'intervalle : ex. $x \geq 2$ donne $[2\,;+\infty[$.
- Pour une inéquation produit, on passe par un tableau de signes.
Exemple
$3x - 1 \geq 5 \Rightarrow 3x \geq 6 \Rightarrow x \geq 2$ (division par $3 > 0$, aucun changement de sens). Solution : $[2\,;+\infty[$.
Piège à éviter
Le piège classique : oublier d'inverser le sens en divisant par un négatif. $-2x < 6$ donne $x > -3$, et surtout pas $x < -3$ (teste $x = 0$ pour t'en convaincre).
Pour connaître le signe d'un produit $A(x) \times B(x)$, inutile de tout développer : on étudie chaque facteur séparément, puis on multiplie les signes. Le tableau de signes met tout cela au propre.
On lit le signe de chaque facteur, puis on multiplie : le produit $(x+3)(x-2)$ est positif, négatif, puis positif.
- Sert à résoudre $A(x) \times B(x) > 0$ (ou $< 0$) sans tout développer.
- Étape 1 : trouver les valeurs qui annulent chaque facteur (ses racines).
- Étape 2 : ranger ces valeurs dans l'ordre croissant sur une ligne.
- Étape 3 : donner le signe de chaque facteur sur chaque intervalle, puis multiplier les signes.
- Rappel des signes : $+ \times + = +$, $- \times - = +$, $+ \times - = -$.
Exemple
$(x-2)(x+3) > 0$ : les racines sont $-3$ et $2$. Le produit est positif quand les deux facteurs ont le même signe : solution $]-\infty\,;-3[ \cup ]2\,;+\infty[$.
Piège à éviter
Un produit est positif quand ses facteurs sont de même signe — y compris quand les deux sont négatifs. Ne conclus pas trop vite que « positif » signifie « entre les deux racines ».
Quiz - Équations et inéquations
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Équations et inéquations, extraits du quiz de révision.
Résoudre $3x - 6 = 0$ :
Réponse :
$x = 2$
$3x = 6$, donc $x = \dfrac{6}{3} = 2$. Vérification : $3 \times 2 - 6 = 0$.
Si $-2x > 4$, alors :
Réponse :
$x < -2$
On divise par $-2$ (négatif), donc le sens s'inverse : $x < -2$. Test : pour $x = -3$, $-2 \times (-3) = 6 > 4$.
Les solutions de $(x-1)(x+3) = 0$ sont :
Réponse :
$x = 1$ ou $x = -3$
Produit nul : $x - 1 = 0$ donne $x = 1$, ou $x + 3 = 0$ donne $x = -3$. Deux solutions distinctes (un seul $x$ à la fois).
La forme factorisée de $x^2 - 4$ est :
Réponse :
$(x-2)(x+2)$
On applique $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ avec $a = x$ et $b = 2$ : $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.