Mathématiques — Nombres et calculs
Ensembles de nombres et calculs
Entiers, rationnels, réels, intervalles
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Les nombres ne sont pas tous logés à la même enseigne : ils s'emboîtent comme des poupées russes, $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$. On part des entiers naturels $0, 1, 2, 3, \dots$, on ajoute les négatifs pour obtenir $\mathbb{Z}$, puis les fractions pour $\mathbb{Q}$, et enfin les irrationnels comme $\sqrt{2}$ ou $\pi$ pour remplir toute la droite des réels $\mathbb{R}$. Ce chapitre apprend à situer un nombre dans ces ensembles, à décrire des morceaux de la droite réelle avec les intervalles, et à manier sans faute les identités remarquables et les priorités de calcul. Ce sont les fondations : presque tout le programme de l'année s'appuie dessus.
Chaque famille de nombres est contenue dans la suivante, de la plus simple à la plus riche. On commence à compter avec $\mathbb{N}$, on ajoute les négatifs ($\mathbb{Z}$), puis les fractions ($\mathbb{Q}$), et on finit par remplir tous les trous de la droite graduée avec les irrationnels pour obtenir $\mathbb{R}$.
Chaque ensemble est inclus dans le suivant : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.
- $\mathbb{N}$ — entiers naturels : $0, 1, 2, 3, \dots$ (jamais de négatif).
- $\mathbb{Z}$ — entiers relatifs : on ajoute les négatifs : $\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$
- $\mathbb{D}$ — décimaux : nombres à virgule finie, comme $0{,}5$ ou $-3{,}14$.
- $\mathbb{Q}$ — rationnels : toute fraction $\dfrac{a}{b}$ avec $a, b$ entiers et $b \neq 0$ (ex. $\dfrac{1}{3}$, $-\dfrac{5}{7}$).
- $\mathbb{R}$ — réels : tous les points de la droite graduée, y compris les irrationnels $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\pi$.
- Inclusion : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ — chaque ensemble est dans le suivant.
Exemple
$\dfrac{1}{3} = 0{,}333\dots$ est rationnel, donc $\dfrac{1}{3} \in \mathbb{Q}$. En revanche $\sqrt{2} = 1{,}414\dots$ a des décimales infinies et non périodiques : il est irrationnel, donc $\sqrt{2} \in \mathbb{R}$ mais $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$.
Piège à éviter
Tout entier est un rationnel ($3 = \dfrac{3}{1}$), mais l'inverse est faux. Et attention : $\sqrt{2} + \sqrt{3} \neq \sqrt{5}$ — on n'additionne pas les racines de cette façon.
Un intervalle décrit toutes les valeurs comprises entre deux bornes. Le secret tient dans le sens des crochets : fermé $[\,]$ quand la borne est incluse, ouvert $]\,[$ quand elle est exclue.
- Crochet fermé $[a\,;b]$ : bornes incluses, soit $a \leq x \leq b$.
- Crochet ouvert $]a\,;b[$ : bornes exclues, soit $a < x < b$.
- Semi-ouvert $[a\,;b[$ : $a$ inclus, $b$ exclu (ex. $[0\,;18[$ pour les mineurs).
- Vers l'infini : $[a\,;+\infty[$ (les $x \geq a$) et $]-\infty\,;b]$ (les $x \leq b$).
- Union $A \cup B$ : éléments de $A$ ou de $B$. Intersection $A \cap B$ : éléments communs.
Exemple
$[1\,;5] \cap [3\,;8] = [3\,;5]$ (la partie commune aux deux). En revanche $[1\,;3] \cup [5\,;7]$ reste en deux morceaux, car les intervalles ne se touchent pas.
Piège à éviter
Vers l'infini, jamais de crochet fermé : on écrit $[2\,;+\infty[$ et jamais $[2\,;+\infty]$, car $+\infty$ n'est pas un nombre que l'on pourrait atteindre.
Trois égalités à connaître par cœur servent à la fois à développer (enlever les parenthèses) et à factoriser (les faire réapparaître). Le terme du milieu $2ab$ est leur signature.
- $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ — ex. $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$.
- $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ — ex. $(x-4)^2 = x^2 - 8x + 16$.
- $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ — ex. $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$.
- De gauche à droite elles développent ; de droite à gauche elles factorisent.
- Le double produit $2ab$ (le terme du centre) est la clé : c'est lui qu'on oublie le plus.
Exemple
Factoriser $x^2 - 10x + 25$ : on reconnaît $a = x$, $b = 5$ et le double produit $2ab = 10x$. C'est donc un carré parfait : $x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2$.
Piège à éviter
$(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$ : il manque le double produit $2ab$. Par exemple $(2+3)^2 = 25$, alors que $2^2 + 3^2 = 13$ : les deux ne sont pas égaux.
Un calcul ne se lit pas bêtement de gauche à droite : certaines opérations passent avant les autres. Respecter cet ordre et la règle des signes évite la majorité des erreurs de calcul.
- Priorités : d'abord les parenthèses, puis les puissances, puis $\times$ et $\div$, enfin $+$ et $-$.
- Ex. $3 + 2 \times 4 = 3 + 8 = 11$ (et non $20$).
- Règle des signes : $(-) \times (-) = (+)$ et $(+) \times (-) = (-)$.
- Fractions : $\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}$ et $\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}$.
- Valeur absolue : $|x| = x$ si $x \geq 0$, et $|x| = -x$ si $x < 0$ (ex. $|-5| = 5$).
Exemple
Calcul de $-2 \times (3 - 5)^2$ : d'abord la parenthèse $3 - 5 = -2$, puis la puissance $(-2)^2 = 4$, enfin $-2 \times 4 = -8$.
Piège à éviter
Ne confonds pas $\sqrt{a^2} = |a|$ et $(\sqrt{a})^2 = a$ (cette dernière n'a de sens que si $a \geq 0$). Autre surprise vraie : $0{,}999\dots = 1$ exactement.
Quiz - Ensembles de nombres
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Ensembles de nombres et calculs, extraits du quiz de révision.
À quel ensemble appartient $\sqrt{2}$ ?
Réponse :
$\mathbb{R}$
$\sqrt{2} \approx 1{,}414\dots$ est irrationnel : ses décimales sont infinies et non périodiques. Il appartient donc à $\mathbb{R}$, mais pas à $\mathbb{Q}$.
L'intervalle $]-3\,;5]$ contient-il $-3$ ?
Réponse :
Non
Le crochet ouvert $]$ à gauche exclut $-3$. Il faudrait écrire $[-3\,;5]$ pour l'inclure.
Que vaut $(a+b)^2$ ?
Réponse :
$a^2 + 2ab + b^2$
Identité remarquable : $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Le double produit $2ab$ est le terme qu'on oublie le plus souvent.
Quel nombre n'est pas rationnel ?
Réponse :
$\pi$
$\pi \approx 3{,}14159\dots$ ne peut pas s'écrire comme une fraction. Au contraire, $\dfrac{1}{3}$, $0{,}5 = \dfrac{1}{2}$ et $-7 = \dfrac{-7}{1}$ sont tous rationnels.
Que signifie $x \in [2\,;+\infty[$ ?
Réponse :
$x \geq 2$
Le crochet fermé $[$ en $2$ inclut cette borne : $x \geq 2$. Le symbole $+\infty$ prend toujours un crochet ouvert.
La forme factorisée de $x^2 - 25$ est :
Réponse :
$(x-5)(x+5)$
On applique $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ avec $a = x$ et $b = 5$ : $x^2 - 25 = (x-5)(x+5)$.
Combien vaut $[1\,;4] \cap [3\,;7]$ ?
Réponse :
$[3\,;4]$
L'intersection garde les valeurs communes aux deux intervalles, soit de $3$ à $4$ : $[3\,;4]$.
Quelle chaîne d'inclusions est correcte ?
Réponse :
$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$
Chaque ensemble est contenu dans le suivant : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ (les décimaux $\mathbb{D}$ se glissent entre $\mathbb{Z}$ et $\mathbb{Q}$).
Que vaut $3 + 2 \times 4$ ?
Réponse :
$11$
La multiplication est prioritaire : $2 \times 4 = 8$, puis $3 + 8 = 11$. On ne calcule pas de gauche à droite sans tenir compte des priorités.
L'intervalle $[2\,;5[$ contient :
Réponse :
$2$ mais pas $5$
Le crochet fermé $[$ inclut $2$ ; le crochet ouvert $[$ exclut $5$. L'intervalle contient donc $2$ mais pas $5$.