Mathématiques — Fonctions
Fonction affine et fonction linéaire
f(x) = ax + b, proportionnalité, taux d'accroissement, applications
Résumé synthétiqueFiche en 5 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Après la fonction constante, la fonction affine f(x) = ax + b est la plus simple — et l'une des plus utiles de tout le lycée. Sa courbe est toujours une droite : le nombre a en règle la pente (l'inclinaison), et b fixe le point de départ sur l'axe des ordonnées. Quand b = 0, on retrouve la fonction linéaire f(x) = ax, qui traduit la proportionnalité : doubler x double f(x). Ce chapitre montre comment lire une fonction affine — sens de variation, racine, signe —, comment calculer son taux d'accroissement (toujours égal à a), et comment elle modélise une foule de situations concrètes : abonnements, tarifs, conversions, vitesse constante. Maîtriser la fonction affine, c'est poser la première brique de toute l'analyse.
Une fonction linéaire traduit une situation de proportionnalité : on multiplie toujours par le même nombre. Si une place de cinéma coûte $9$ €, alors $x$ places coûtent $9x$ € — c'est exactement une fonction linéaire. Sa courbe est une droite qui passe par l'origine, car zéro place coûte zéro euro.
- Définition : $f(x) = ax$, où $a$ est le coefficient de proportionnalité.
- La droite passe toujours par l'origine $O(0\,;0)$, puisque $f(0) = 0$.
- Proportionnalité : si $x$ double, alors $f(x)$ double aussi.
- Propriété caractéristique : $f(kx) = k\,f(x)$ et $f(x_1 + x_2) = f(x_1) + f(x_2)$.
- Le coefficient $a$ se lit dans un tableau de proportionnalité : chaque ligne s'obtient en multipliant l'autre par $a$.
Exemple
Conversion euros → dollars au taux $1{,}10$ : $f(x) = 1{,}10\,x$. Pour $200$ € : $f(200) = 1{,}10 \times 200 = 220$ dollars.
Piège à éviter
Si la droite ne passe pas par l'origine, la fonction n'est pas linéaire (elle est seulement affine). Le bon réflexe : vérifier $f(0) = 0$.
La fonction affine ajoute un décalage $b$ à la fonction linéaire. Sa courbe reste une droite, mais elle coupe l'axe des ordonnées à la hauteur $b$ au lieu de passer par l'origine. Deux nombres suffisent à tout décrire : $a$, la pente, et $b$, l'ordonnée à l'origine (le point de départ).
$b$ fixe la hauteur de départ, $a$ l'inclinaison, et $x_0 = -b/a$ marque l'endroit où la droite croise l'axe des abscisses.
- Définition : $f(x) = ax + b$. Ici $a$ est le coefficient directeur (pente) et $b$ l'ordonnée à l'origine ($b = f(0)$).
- Représentation : une droite. Horizontale si $a = 0$, jamais verticale.
- Sens de variation : croissante si $a > 0$, décroissante si $a < 0$, constante si $a = 0$.
- Racine : $f$ s'annule en $x_0 = -\dfrac{b}{a}$, là où la droite coupe l'axe $Ox$.
- La constante $b$ décale la droite verticalement : vers le haut si $b > 0$, vers le bas si $b < 0$.
Exemple
Soit $f(x) = 2x - 6$. La pente $a = 2 > 0$, donc $f$ est croissante. Racine : $2x - 6 = 0 \Rightarrow x_0 = \dfrac{6}{2} = 3$. La droite coupe l'axe des abscisses en $x = 3$ et l'axe des ordonnées en $b = -6$.
Piège à éviter
Ne confonds pas $a$ et $b$ : $a$ incline la droite, $b$ la monte ou la descend. Lire l'ordonnée à l'origine en croyant lire la pente est l'erreur la plus fréquente.
Le taux d'accroissement mesure de combien $f$ varie quand $x$ avance. Pour une fonction affine, il se produit une chose remarquable : ce taux est constant et vaut toujours $a$, où que l'on se place. C'est même ce qui caractérise une fonction affine.
- Définition : $T = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ — la variation de $f$ divisée par celle de $x$.
- Pour $f(x) = ax + b$, on a $T = a$ quels que soient $x_1$ et $x_2$.
- Démonstration : $T = \dfrac{(ax_2 + b) - (ax_1 + b)}{x_2 - x_1} = \dfrac{a(x_2 - x_1)}{x_2 - x_1} = a$.
- Réciproque : si le taux d'accroissement varie, la fonction n'est pas affine.
Exemple
Soit $f(x) = 3x - 1$, entre $x_1 = 2$ et $x_2 = 5$ : $T = \dfrac{f(5) - f(2)}{5 - 2} = \dfrac{14 - 5}{3} = \dfrac{9}{3} = 3 = a$. On retrouve bien la pente.
Piège à éviter
Le taux d'accroissement se calcule entre deux points. N'écris pas $\dfrac{f(x)}{x}$ en espérant trouver $a$ : cela ne marche que pour une fonction linéaire (où $b = 0$).
Savoir quand $f(x)$ est positif ou négatif sert partout : résoudre une inéquation, étudier le signe d'un produit, comparer deux offres. Tout se joue autour de la racine $x_0 = -b/a$, où la fonction change de signe — le sens du changement dépendant du signe de la pente $a$.
- $f(x) = ax + b$ s'annule en $x_0 = -\dfrac{b}{a}$.
- Si $a > 0$ : $f(x) < 0$ pour $x < x_0$, puis $f(x) > 0$ pour $x > x_0$ (négatif puis positif).
- Si $a < 0$ : $f(x) > 0$ pour $x < x_0$, puis $f(x) < 0$ pour $x > x_0$ (positif puis négatif).
- Astuce : « le signe de $f$ à droite de $x_0$ est le signe de $a$ ».
- On résume dans un tableau de signes : la racine $x_0$ et le signe de $a$ suffisent.
Exemple
Soit $f(x) = 2x - 8$. Racine : $x_0 = \dfrac{8}{2} = 4$, et $a = 2 > 0$. Donc $f(x) \geq 0$ pour $x \geq 4$ : la solution de $f(x) \geq 0$ est $[4\,;+\infty[$.
Piège à éviter
Le signe dépend du signe de $a$. Avec $a < 0$, l'ordre s'inverse (positif d'abord, négatif ensuite) : ne recopie pas mécaniquement « négatif puis positif ».
Les fonctions affines surgissent dès qu'il y a un coût fixe plus un coût par unité. Reconnaître la forme $ax + b$ dans un énoncé, c'est déjà avoir résolu la moitié du problème.
- Tarif avec abonnement : coût $=$ prix par unité $\times$ quantité $+$ abonnement, soit $C(x) = ax + b$.
- Conversion de températures : $F = 1{,}8\,C + 32$ (Celsius → Fahrenheit), affine en $C$.
- Mouvement uniforme : $d(t) = vt + d_0$ (position $=$ vitesse $\times$ temps $+$ position initiale).
- Comparer deux offres : on résout $a_1 x + b_1 = a_2 x + b_2$ pour trouver le seuil de rentabilité.
Exemple
Forfait gym à $30$ €/mois $+\ 5$ € la séance : $C(x) = 5x + 30$. Pour $8$ séances : $C(8) = 5 \times 8 + 30 = 70$ €.
Comparaison : offre A $= 0{,}20x + 10$, offre B $= 0{,}30x + 5$. A devient avantageuse quand $0{,}20x + 10 < 0{,}30x + 5$, soit $x > 50$.
Comparaison : offre A $= 0{,}20x + 10$, offre B $= 0{,}30x + 5$. A devient avantageuse quand $0{,}20x + 10 < 0{,}30x + 5$, soit $x > 50$.
Piège à éviter
Identifie bien les rôles : le coût fixe (abonnement) est $b$, le coût par unité est $a$. Les intervertir fausse tout le modèle.
Quiz - Fonction affine et linéaire
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Les points clés à retenir sur Fonction affine et fonction linéaire, extraits du quiz de révision.
La fonction $f(x) = 3x$ est :
Réponse :
Linéaire
$f(x) = 3x$ est de la forme $f(x) = ax$ avec $a = 3$ et $b = 0$ : c'est une fonction linéaire (le cas particulier de la fonction affine où $b = 0$). Sa droite passe par l'origine.
$f(x) = -2x + 5$ est croissante ou décroissante ?
Réponse :
Décroissante
Le coefficient directeur $a = -2$ est négatif, donc $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$. Quand $x$ augmente de $1$, $f(x)$ diminue de $2$ : la droite descend de gauche à droite.
La fonction linéaire $f(x) = 4x$ passe toujours par le point :
Réponse :
$(0\,;0)$
Toute fonction linéaire vérifie $f(0) = a \times 0 = 0$ : sa droite passe donc par l'origine $(0\,;0)$ — la signature de la proportionnalité ($0$ quantité donne $0$ coût).
Le taux d'accroissement de $f(x) = 5x - 3$ entre $x = 1$ et $x = 4$ vaut :
Réponse :
$5$
$T = \dfrac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \dfrac{17 - 2}{3} = \dfrac{15}{3} = 5$. Pour une fonction affine, le taux vaut toujours le coefficient directeur $a = 5$, quels que soient les points choisis.