Mathématiques — Statistiques et probabilités
Information chiffrée
Proportions, pourcentages, évolutions successives, taux d'évolution réciproque, indices
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Résumé
L'information chiffrée, c'est la boîte à outils pour parler correctement des pourcentages et des évolutions — un domaine où l'intuition trompe souvent. Une proportion est un rapport entre une partie et un tout, toujours entre $0$ et $1$. Une évolution se mesure par un taux $t = \dfrac{V_2 - V_1}{V_1}$, qu'on traduit aussitôt en coefficient multiplicateur $CM = 1 + t$ : multiplier par $CM$, c'est appliquer l'évolution. La grande règle, contre-intuitive, est que les évolutions successives se multiplient (et ne s'additionnent pas) : $+10\,\%$ puis $-10\,\%$ ne ramène pas au point de départ. On apprend aussi à inverser une évolution (taux réciproque) et à comparer des données dans le temps grâce aux indices base 100.
Une proportion compare une sous-partie à un ensemble : c'est un nombre entre $0$ et $1$, qu'on exprime souvent en pourcentage en multipliant par $100$. Quand on prend une proportion d'une proportion (un sous-groupe d'un sous-groupe), on multiplie les proportions.
- Proportion : $p = \dfrac{\text{effectif partiel}}{\text{effectif total}}$, avec $0 \leq p \leq 1$.
- Pourcentage : $p$ exprimé sur $100$, soit $p \times 100\,\%$.
- Proportion de proportion : on multiplie les proportions ($p_1 \times p_2$).
- Réunion : $p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$.
Exemple
Dans un lycée, $60\,\%$ des élèves sont en voie générale, et parmi eux $25\,\%$ suivent la spécialité maths. La proportion d'élèves de tout le lycée concernés est $0{,}60 \times 0{,}25 = 0{,}15$, soit $15\,\%$.
Piège à éviter
Une proportion de proportion se multiplie, elle ne s'additionne pas : $25\,\%$ de $60\,\%$ donne $15\,\%$, pas $85\,\%$ ni $35\,\%$.
Pour passer d'une valeur $V_1$ à une valeur $V_2$, on calcule le taux d'évolution $t$. Mais l'outil vraiment efficace est le coefficient multiplicateur $CM = 1 + t$ : il transforme une évolution en une simple multiplication, ce qui rend les calculs bien plus rapides.
- Taux d'évolution : $t = \dfrac{V_2 - V_1}{V_1}$ (positif $=$ hausse, négatif $=$ baisse).
- Coefficient multiplicateur : $CM = 1 + t$, et $V_2 = V_1 \times CM$.
- Hausse de $p\,\%$ : $CM = 1 + \dfrac{p}{100}$ (ex. $+20\,\% \Rightarrow CM = 1{,}2$).
- Baisse de $p\,\%$ : $CM = 1 - \dfrac{p}{100}$ (ex. $-30\,\% \Rightarrow CM = 0{,}7$).
Exemple
Un article passe de $80$ € à $100$ €. Le taux vaut $t = \dfrac{100 - 80}{80} = \dfrac{20}{80} = 0{,}25$, soit une hausse de $+25\,\%$. Vérification : $80 \times 1{,}25 = 100$ €.
Piège à éviter
Le taux se calcule en divisant par la valeur de départ $V_1$, pas par la valeur d'arrivée. Passer de $80$ à $100$ donne $+25\,\%$ (et non $+20\,\%$, qui serait $\dfrac{20}{100}$).
Quand plusieurs évolutions s'enchaînent, on multiplie leurs coefficients pour obtenir le coefficient global. C'est ici que se cache le piège le plus célèbre : on ne peut pas additionner les pourcentages, car chaque évolution s'applique à une nouvelle base.
- Coefficient global : $CM_g = CM_1 \times CM_2 \times \dots$ (produit des coefficients).
- Taux global : $t_g = CM_g - 1$.
- On n'additionne jamais les pourcentages d'évolutions successives.
- Cas type : $+10\,\%$ puis $-10\,\%$ donne $1{,}1 \times 0{,}9 = 0{,}99$, soit $-1\,\%$ au total.
Exemple
Un prix subit trois hausses successives de $10\,\%$. Le coefficient global est $1{,}1^3 = 1{,}331$, soit une hausse totale de $+33{,}1\,\%$ — et non $+30\,\%$ comme le suggérerait une addition naïve.
Piège à éviter
$+20\,\%$ puis $-20\,\%$ ne ramène pas au prix initial : $1{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}96$, soit une baisse de $4\,\%$. Les évolutions se composent par produit, jamais par somme.
Le taux réciproque répond à la question « quelle évolution annule la précédente ? » : son coefficient est l'inverse du premier. Les indices base 100, eux, servent à suivre l'évolution d'une grandeur dans le temps, en partant d'une référence fixée à $100$.
- Coefficient réciproque : $CM' = \dfrac{1}{CM}$, de sorte que $CM \times CM' = 1$.
- Taux réciproque : $t' = \dfrac{-t}{1 + t}$, et $(1 + t)(1 + t') = 1$.
- Indice base 100 : $I(t) = \dfrac{V(t)}{V(t_0)} \times 100$ (la date de référence $t_0$ vaut $100$).
- Une variation en points d'indice n'est pas une variation en pourcentage.
Exemple
Un prix augmente de $50\,\%$ ($CM = 1{,}5$). Pour revenir au prix initial, il faut le coefficient réciproque $CM' = \dfrac{1}{1{,}5} \approx 0{,}667$, soit $t' \approx -33{,}3\,\%$ : une baisse d'environ un tiers.
Piège à éviter
Pour annuler une hausse de $50\,\%$, il ne faut pas une baisse de $50\,\%$ (qui donnerait $1{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}75$, soit $-25\,\%$ au final), mais une baisse d'environ $33{,}3\,\%$.
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Les points clés à retenir sur Information chiffrée, extraits du quiz de révision.
Un article passe de $80$ € à $100$ €. Le taux d'évolution est :
Réponse :
$+25\,\%$
$t = \dfrac{100 - 80}{80} = \dfrac{20}{80} = 0{,}25$, soit $+25\,\%$ (on divise par la valeur de départ).
Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de $30\,\%$ est :
Réponse :
$0{,}70$
$CM = 1 - \dfrac{30}{100} = 1 - 0{,}30 = 0{,}70$.
Dans une classe de $35$ élèves, $14$ sont des filles. La proportion de filles est :
Réponse :
$0{,}4$
$p = \dfrac{14}{35} = 0{,}4$, soit $40\,\%$.
Si $CM = 0{,}85$, le taux d'évolution est :
Réponse :
$-15\,\%$
$t = CM - 1 = 0{,}85 - 1 = -0{,}15$, soit $-15\,\%$.