Mathématiques — Géométrie
Géométrie repérée
Équation de droite, vecteur directeur, vecteur normal, projeté orthogonal, distance
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Cours de maths du tronc commun. Même notion dans une autre matière : Géométrie repérée — spé Maths
Résumé
La géométrie repérée traduit les figures en équations et en coordonnées : on calcule au lieu de tracer. Au cœur du chapitre, la droite, décrite soit par son équation réduite $y = mx + p$, soit par son équation cartésienne $ax + by + c = 0$. À chaque droite sont attachés deux vecteurs essentiels : un vecteur directeur $\vec{u}(-b\,;a)$, qui donne sa direction, et un vecteur normal $\vec{n}(a\,;b)$, qui lui est perpendiculaire. Avec eux et le produit scalaire, on teste en un calcul si deux droites sont parallèles ou perpendiculaires. On apprend enfin à projeter orthogonalement un point sur une droite et à mesurer la distance d'un point à une droite — des outils qui servent en géométrie, en optimisation et en physique.
Une droite non verticale se décrit par son équation réduite $y = mx + p$, où $m$ est la pente (coefficient directeur) et $p$ l'ordonnée à l'origine. Toute droite, y compris verticale, admet aussi une équation cartésienne $ax + by + c = 0$, plus générale.
- Équation réduite : $y = mx + p$ ($m$ $=$ pente, $p$ $=$ ordonnée à l'origine).
- Équation cartésienne : $ax + by + c = 0$ (avec $a$ ou $b$ non nul).
- Pente : $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ si $x_A \neq x_B$.
- Droite passant par $A(x_A\,;y_A)$ de pente $m$ : $y - y_A = m(x - x_A)$.
Exemple
Trouvons l'équation de la droite passant par $A(2\,;5)$ de pente $-3$. On écrit $y - 5 = -3(x - 2)$, soit $y = -3x + 6 + 5 = -3x + 11$.
Piège à éviter
Une droite verticale $x = c$ n'a pas de pente (le dénominateur $x_B - x_A$ serait nul) : elle ne s'écrit pas sous la forme $y = mx + p$, seulement en cartésienne.
Deux vecteurs résument la géométrie d'une droite $ax + by + c = 0$ : le vecteur directeur $\vec{u}(-b\,;a)$, qui pointe le long de la droite, et le vecteur normal $\vec{n}(a\,;b)$, qui lui est perpendiculaire. Repérer ces vecteurs est la clé de presque tous les exercices.
- Pour $ax + by + c = 0$ : vecteur directeur $\vec{u}(-b\,;a)$.
- Pour $ax + by + c = 0$ : vecteur normal $\vec{n}(a\,;b)$, perpendiculaire à la droite.
- Pour $y = mx + p$ : un vecteur directeur est $\vec{u}(1\,;m)$.
- Deux vecteurs $\vec{u}(x\,;y)$ et $\vec{v}(x'\,;y')$ sont colinéaires $\Leftrightarrow xy' - x'y = 0$.
Exemple
Pour la droite $3x - 2y + 5 = 0$ : $a = 3$, $b = -2$. Un vecteur directeur est $\vec{u}(-b\,;a) = \vec{u}(2\,;3)$ et un vecteur normal est $\vec{n}(a\,;b) = \vec{n}(3\,;-2)$.
Piège à éviter
Ne mélange pas les deux : le directeur est $\vec{u}(-b\,;a)$ (composantes croisées avec un signe), le normal est $\vec{n}(a\,;b)$ (les coefficients dans l'ordre). Les confondre fausse tous les tests de perpendicularité.
Deux droites sont parallèles quand leurs vecteurs directeurs sont colinéaires (même direction), et perpendiculaires quand leurs directions forment un angle droit. Pour la perpendicularité, l'outil décisif est le produit scalaire : il est nul exactement quand les vecteurs sont orthogonaux.
- Parallèles : vecteurs directeurs colinéaires, soit $m_1 = m_2$ (mêmes pentes).
- Perpendiculaires : $m_1 \times m_2 = -1$ (si les pentes existent).
- Produit scalaire en coordonnées : $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$.
- $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \Leftrightarrow \vec{u}$ et $\vec{v}$ sont perpendiculaires.
Exemple
Les droites de pentes $m_1 = 3$ et $m_2 = -\dfrac{1}{3}$ vérifient $m_1 \times m_2 = 3 \times \left(-\dfrac{1}{3}\right) = -1$ : elles sont perpendiculaires.
Piège à éviter
Pour la perpendicularité, le critère est $m_1 \times m_2 = -1$ (produit égal à $-1$), pas $m_1 = -m_2$. Deux pentes opposées comme $3$ et $-3$ ne donnent pas des droites perpendiculaires.
Le projeté orthogonal $H$ d'un point $M$ sur une droite est le point de la droite le plus proche de $M$ : le segment $[MH]$ est perpendiculaire à la droite. Sa longueur $MH$ est la distance du point à la droite, qui se calcule directement à partir de l'équation cartésienne.
Le projeté orthogonal $H$ de $M$ sur la droite : le segment $[MH]$ est perpendiculaire à la droite, et sa longueur est la distance de $M$ à la droite.
- $H$ $=$ projeté orthogonal de $M$ sur $(d)$ : $\overrightarrow{MH}$ est perpendiculaire à $(d)$.
- Distance point-droite : $d(M,d) = \dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ pour $M(x_0\,;y_0)$.
- Cette distance $MH$ est la plus courte entre $M$ et la droite.
- Médiatrice de $[AB]$ : ensemble des points équidistants de $A$ et $B$ (passe par le milieu, perpendiculaire à $(AB)$).
Exemple
Distance de $M(1\,;2)$ à la droite $3x + 4y - 5 = 0$ : $d = \dfrac{|3 \times 1 + 4 \times 2 - 5|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \dfrac{|6|}{\sqrt{25}} = \dfrac{6}{5} = 1{,}2$.
Piège à éviter
La formule de distance exige l'équation sous forme cartésienne $ax + by + c = 0$ (un membre nul) : si la droite est donnée par $y = mx + p$, ramène-la d'abord à $mx - y + p = 0$ avant d'appliquer la formule.
Quiz - Géométrie repérée
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Géométrie repérée, extraits du quiz de révision.
La pente de la droite passant par $A(1\,;3)$ et $B(4\,;9)$ est :
Réponse :
$2$
$m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{9 - 3}{4 - 1} = \dfrac{6}{3} = 2$.
Un vecteur directeur de la droite $3x - 2y + 5 = 0$ est :
Réponse :
$\vec{u}(2\,;3)$
Pour $ax + by + c = 0$, un vecteur directeur est $\vec{u}(-b\,;a) = \vec{u}(2\,;3)$.
Un vecteur normal à la droite $3x - 2y + 5 = 0$ est :
Réponse :
$\vec{n}(3\,;-2)$
Le vecteur normal est $\vec{n}(a\,;b) = \vec{n}(3\,;-2)$.
Le milieu de $[AB]$ avec $A(-2\,;4)$ et $B(6\,;0)$ est :
Réponse :
$(2\,;2)$
Milieu $= \left(\dfrac{-2 + 6}{2}\,;\dfrac{4 + 0}{2}\right) = (2\,;2)$.
L'équation réduite de $2x + 4y - 8 = 0$ est :
Réponse :
$y = -\dfrac{x}{2} + 2$
$4y = -2x + 8$, donc $y = -\dfrac{x}{2} + 2$.
L'équation de la droite passant par $A(2\,;5)$ de pente $-3$ est :
Réponse :
$y = -3x + 11$
$y - 5 = -3(x - 2)$, donc $y = -3x + 6 + 5 = -3x + 11$.
Deux droites de pentes $m_1 = 3$ et $m_2 = -\dfrac{1}{3}$ sont :
Réponse :
perpendiculaires
$m_1 \times m_2 = 3 \times \left(-\dfrac{1}{3}\right) = -1$ : les droites sont perpendiculaires.
Les vecteurs $\vec{u}(2\,;6)$ et $\vec{v}(1\,;3)$ sont :
Réponse :
colinéaires
$2 \times 3 - 6 \times 1 = 6 - 6 = 0$ : les vecteurs sont colinéaires (et $\vec{u} = 2\vec{v}$).
Les droites $y = 2x + 1$ et $y = 2x - 3$ sont :
Réponse :
parallèles non confondues
Même pente $m = 2$ mais ordonnées à l'origine différentes : ce sont des droites parallèles distinctes.
La distance du point $M(1\,;2)$ à la droite $3x + 4y - 5 = 0$ est :
Réponse :
$\dfrac{6}{5}$
$d = \dfrac{|3 \times 1 + 4 \times 2 - 5|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \dfrac{|6|}{5} = \dfrac{6}{5}$.