Maths (Spé) — Géométrie
Géométrie repérée
Équations de droites, vecteurs directeurs et normaux, parallélisme, perpendicularité
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
La **géométrie repérée** traduit les problèmes géométriques en langage algébrique grâce au **repère orthonormé**. Une droite du plan peut être décrite par une **équation cartésienne** $ax + by + c = 0$ ou une **équation réduite** $y = mx + p$ (si elle n'est pas verticale). Le **vecteur directeur** d'une droite $ax + by + c = 0$ est $\vec{u}(-b\,;a)$ et son **vecteur normal** est $\vec{n}(a\,;b)$. Deux droites sont **parallèles** si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont **colinéaires** ($\det = 0$), et **perpendiculaires** si et seulement si le produit scalaire de leurs vecteurs normaux (ou directeurs) est nul. Pour trouver l'**intersection** de deux droites, on résout le système formé par leurs équations. La **distance** d'un point $A(x_A\,;y_A)$ à une droite $d : ax + by + c = 0$ se calcule par $d(A, d) = \dfrac{|ax_A + by_A + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$. L'équation d'un **cercle** de centre $\Omega(\alpha\,;\beta)$ et de rayon $r$ est $(x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2 = r^2$. Ces outils permettent de démontrer rigoureusement des propriétés géométriques : alignement de points, nature de quadrilatères, intersection de droites, tangence à un cercle.
La **géométrie repérée** traduit les problèmes géométriques en équations. Maîtriser les différentes **formes d'équation de droite** est le point de départ indispensable de ce chapitre.
- **Équation cartésienne :** $ax + by + c = 0$ (avec $a$ et $b$ non tous deux nuls). Exemple : $2x - 3y + 6 = 0$.
- **Équation réduite :** $y = mx + p$, où $m$ est le **coefficient directeur** (pente) et $p$ l'**ordonnée à l'origine**.
- Passage cartésienne $\to$ réduite : **isoler** $y$. Exemple : $2x - 3y + 6 = 0$ donne $y = \dfrac{2}{3}x + 2$.
- Une droite **verticale** $x = k$ n'a pas d'équation réduite (pente infinie).
- Droite passant par $A(x_A\,;y_A)$ de pente $m$ : $y - y_A = m(x - x_A)$.
- Coefficient directeur entre deux points : $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ si $x_A \neq x_B$.
- Exemple complet : droite passant par $A(1\,;3)$ et $B(4\,;9)$ : $m = \dfrac{6}{3} = 2$, d'où $y = 2x + 1$.
Exemple
Trouver l'équation de la droite passant par $A(2\,;-1)$ et $B(5\,;3)$. Pente : $m = \dfrac{3 - (-1)}{5 - 2} = \dfrac{4}{3}$. Équation : $y - (-1) = \dfrac{4}{3}(x - 2)$, soit $y + 1 = \dfrac{4}{3}x - \dfrac{8}{3}$, donc $y = \dfrac{4}{3}x - \dfrac{11}{3}$. Forme cartésienne : $4x - 3y - 11 = 0$.
Piège à éviter
Une droite **verticale** (comme $x = 3$) n'a **pas** d'équation réduite $y = mx + p$ car sa pente est infinie. Elle s'écrit uniquement sous forme cartésienne : $x - 3 = 0$. N'essaie pas de calculer $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ si $x_A = x_B$ !
Les **vecteurs directeurs** et **normaux** sont les outils vectoriels qui caractérisent une droite. Ils permettent de passer facilement d'une équation à des **propriétés géométriques** (parallélisme, perpendicularité).
- **Vecteur directeur** de $ax + by + c = 0$ : $\vec{u}(-b\,;a)$. Il est **parallèle** à la droite.
- **Vecteur normal** de $ax + by + c = 0$ : $\vec{n}(a\,;b)$. Il est **perpendiculaire** à la droite.
- Exemple : droite $3x - 2y + 1 = 0$ donne $\vec{u}(2\,;3)$ et $\vec{n}(3\,;-2)$.
- Droite passant par $A$ de vecteur directeur $\vec{u}(\alpha\,;\beta)$ : $\beta x - \alpha y + (\alpha y_A - \beta x_A) = 0$.
- Droite passant par $A$ de vecteur normal $\vec{n}(a\,;b)$ : $a(x - x_A) + b(y - y_A) = 0$.
- Le vecteur directeur donne la **direction**, le vecteur normal donne la **perpendiculaire**.
- Tout vecteur **colinéaire** à $\vec{u}$ est aussi vecteur directeur de la même droite.
Exemple
Droite $d : 3x - 2y + 7 = 0$. Vecteur directeur : $\vec{u}(-(-2)\,;3) = \vec{u}(2\,;3)$. Vecteur normal : $\vec{n}(3\,;-2)$. Vérification : $\vec{u}\cdot\vec{n} = 2\times 3 + 3\times(-2) = 6 - 6 = 0$ (bien perpendiculaires). Le point $A(1\,;5)$ est-il sur $d$ ? $3(1) - 2(5) + 7 = 3 - 10 + 7 = 0$ : oui.
Piège à éviter
Ne confonds pas vecteur directeur et vecteur normal ! Pour $ax + by + c = 0$, le vecteur directeur est $\vec{u}(-b\,;a)$ et le normal est $\vec{n}(a\,;b)$. Astuce : le **vecteur normal** a les **mêmes** coefficients que l'équation ($a$ et $b$), le **directeur** les inverse avec un changement de signe.
Le **parallélisme** et la **perpendicularité** se vérifient algébriquement grâce aux vecteurs directeurs ou aux pentes. Ces critères sont indispensables pour démontrer des propriétés géométriques.
- Deux droites sont **parallèles** $\iff$ leurs vecteurs directeurs sont **colinéaires** ($\det = 0$).
- $\det(\vec{u}, \vec{u}') = \alpha\beta' - \beta\alpha' = 0 \implies$ droites parallèles.
- Deux droites sont **perpendiculaires** $\iff$ le produit scalaire des vecteurs directeurs est nul : $\vec{u}\cdot\vec{u}' = \alpha\alpha' + \beta\beta' = 0$.
- Avec les pentes : **parallèles** si $m = m'$ ; **perpendiculaires** si $m \times m' = -1$.
- Exemple : $y = 2x + 1$ et $y = -\dfrac{1}{2}x + 3$ sont perpendiculaires car $2 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -1$.
- Une droite **horizontale** ($m = 0$) est perpendiculaire à une droite **verticale**.
- Pour l'**intersection** : résoudre le système des deux équations (substitution ou combinaison).
Exemple
$d_1 : y = 2x + 1$ et $d_2 : y = -x + 7$. Parallèles ? $m_1 = 2$, $m_2 = -1$, donc $m_1 \neq m_2$ : **sécantes**. Perpendiculaires ? $m_1 \times m_2 = 2 \times (-1) = -2 \neq -1$ : non. Intersection : $2x + 1 = -x + 7 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2$, $y = 5$. Point $(2\,;5)$.
Piège à éviter
Pour la perpendicularité avec les pentes, la condition est $m \times m' = -1$, **pas** $m + m' = 0$. Exemple : $m = 3$ et $m' = -3$ ne sont **pas** perpendiculaires ($3 \times (-3) = -9 \neq -1$). La perpendiculaire à une droite de pente $3$ a pour pente $-\dfrac{1}{3}$.
La **distance** d'un point à une droite et l'**équation du cercle** sont des outils puissants pour résoudre les problèmes de position relative, de tangence et de lieux géométriques.
- **Distance** d'un point $A(x_A\,;y_A)$ à la droite $ax + by + c = 0$ : $d = \dfrac{|ax_A + by_A + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.
- Exemple : distance de $A(1\,;2)$ à $3x + 4y - 5 = 0$ : $d = \dfrac{|3 + 8 - 5|}{\sqrt{9 + 16}} = \dfrac{6}{5} = 1{,}2$.
- Équation du **cercle** de centre $\Omega(\alpha\,;\beta)$ et de rayon $r$ : $(x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2 = r^2$.
- Forme développée : $x^2 + y^2 - 2\alpha x - 2\beta y + \alpha^2 + \beta^2 - r^2 = 0$.
- Pour reconnaître un cercle : **compléter le carré** dans $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$.
- Centre : $\left(-\dfrac{D}{2}\,;-\dfrac{E}{2}\right)$, rayon : $\sqrt{\dfrac{D^2}{4} + \dfrac{E^2}{4} - F}$ (si le radicande est positif).
- **Tangente** au cercle en un point $M$ : la droite $(\Omega M)$ est perpendiculaire à la tangente.
Exemple
Cercle $\mathcal{C} : x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0$. On complète les carrés : $(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = 3 + 4 + 9 = 16$. Donc $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16$. Centre $\Omega(2\,;-3)$, rayon $r = 4$. Distance de $A(6\,;0)$ au centre : $d = \sqrt{(6-2)^2 + (0+3)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5 > 4$, donc $A$ est **extérieur** au cercle.
Piège à éviter
Pour reconnaître un cercle dans $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$, le rayon est $r = \sqrt{\dfrac{D^2}{4} + \dfrac{E^2}{4} - F}$. Si le radicande est **négatif**, ce n'est pas un cercle (ensemble vide). Vérifie toujours le signe avant de conclure.
Quiz - Géométrie repérée
10 questions
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Notions clés — Maths (Spé)
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Géométrie repérée, extraits du quiz de révision.
Le vecteur directeur de la droite $2x - 5y + 3 = 0$ est :
Réponse :
$(5\,;2)$
Pour $ax + by + c = 0$, le vecteur directeur est $\vec{u}(-b\,;a) = (-(-5)\,;2) = (5\,;2)$.
Deux droites de pentes $m = 3$ et $m' = -\dfrac{1}{3}$ sont :
Réponse :
Perpendiculaires
$m \times m' = 3 \times \left(-\dfrac{1}{3}\right) = -1$, donc les droites sont **perpendiculaires**.
L'équation réduite de $4x - 2y + 6 = 0$ est :
Réponse :
$y = 2x + 3$
$4x - 2y + 6 = 0 \Rightarrow 2y = 4x + 6 \Rightarrow y = 2x + 3$.
La distance du point $A(0\,;0)$ à la droite $3x + 4y - 10 = 0$ est :
Réponse :
$2$
$d = \dfrac{|3\times 0 + 4\times 0 - 10|}{\sqrt{9 + 16}} = \dfrac{10}{5} = 2$.