Maths (Spé) — Géométrie
Géométrie repérée
Équations de droites, vecteurs directeurs et normaux, parallélisme, perpendicularité
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Cours de spé Maths. Même notion dans une autre matière : Géométrie repérée — maths du tronc commun
Résumé
La géométrie repérée traduit les problèmes géométriques en langage algébrique grâce au repère orthonormé. Une droite du plan peut être décrite par une équation cartésienne $ax + by + c = 0$ ou une équation réduite $y = mx + p$ (si elle n'est pas verticale). Le vecteur directeur d'une droite $ax + by + c = 0$ est $\vec{u}(-b\,;a)$ et son vecteur normal est $\vec{n}(a\,;b)$. Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires ($\det = 0$), et perpendiculaires si et seulement si le produit scalaire de leurs vecteurs normaux (ou directeurs) est nul. Pour trouver l'intersection de deux droites, on résout le système formé par leurs équations. La distance d'un point $A(x_A\,;y_A)$ à une droite $d : ax + by + c = 0$ se calcule par $d(A, d) = \dfrac{|ax_A + by_A + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$. L'équation d'un cercle de centre $\Omega(\alpha\,;\beta)$ et de rayon $r$ est $(x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2 = r^2$. Ces outils permettent de démontrer rigoureusement des propriétés géométriques : alignement de points, nature de quadrilatères, intersection de droites, tangence à un cercle.
La géométrie repérée traduit les problèmes géométriques en équations. Maîtriser les différentes formes d'équation de droite est le point de départ indispensable de ce chapitre.
Une droite dans le plan : équation cartésienne, vecteur directeur et vecteur normal.
- Équation cartésienne : $ax + by + c = 0$ (avec $a$ et $b$ non tous deux nuls). Exemple : $2x - 3y + 6 = 0$.
- Équation réduite : $y = mx + p$, où $m$ est le coefficient directeur (pente) et $p$ l'ordonnée à l'origine.
- Passage cartésienne $\to$ réduite : isoler $y$. Exemple : $2x - 3y + 6 = 0$ donne $y = \dfrac{2}{3}x + 2$.
- Une droite verticale $x = k$ n'a pas d'équation réduite (pente infinie).
- Droite passant par $A(x_A\,;y_A)$ de pente $m$ : $y - y_A = m(x - x_A)$.
- Coefficient directeur entre deux points : $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ si $x_A \neq x_B$.
- Exemple complet : droite passant par $A(1\,;3)$ et $B(4\,;9)$ : $m = \dfrac{6}{3} = 2$, d'où $y = 2x + 1$.
Exemple
Trouver l'équation de la droite passant par $A(2\,;-1)$ et $B(5\,;3)$. Pente : $m = \dfrac{3 - (-1)}{5 - 2} = \dfrac{4}{3}$. Équation : $y - (-1) = \dfrac{4}{3}(x - 2)$, soit $y + 1 = \dfrac{4}{3}x - \dfrac{8}{3}$, donc $y = \dfrac{4}{3}x - \dfrac{11}{3}$. Forme cartésienne : $4x - 3y - 11 = 0$.
Piège à éviter
Une droite verticale (comme $x = 3$) n'a pas d'équation réduite $y = mx + p$ car sa pente est infinie. Elle s'écrit uniquement sous forme cartésienne : $x - 3 = 0$. N'essaie pas de calculer $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ si $x_A = x_B$ !
Les vecteurs directeurs et normaux sont les outils vectoriels qui caractérisent une droite. Ils permettent de passer facilement d'une équation à des propriétés géométriques (parallélisme, perpendicularité).
- Vecteur directeur de $ax + by + c = 0$ : $\vec{u}(-b\,;a)$. Il est parallèle à la droite.
- Vecteur normal de $ax + by + c = 0$ : $\vec{n}(a\,;b)$. Il est perpendiculaire à la droite.
- Exemple : droite $3x - 2y + 1 = 0$ donne $\vec{u}(2\,;3)$ et $\vec{n}(3\,;-2)$.
- Droite passant par $A$ de vecteur directeur $\vec{u}(\alpha\,;\beta)$ : $\beta x - \alpha y + (\alpha y_A - \beta x_A) = 0$.
- Droite passant par $A$ de vecteur normal $\vec{n}(a\,;b)$ : $a(x - x_A) + b(y - y_A) = 0$.
- Le vecteur directeur donne la direction, le vecteur normal donne la perpendiculaire.
- Tout vecteur colinéaire à $\vec{u}$ est aussi vecteur directeur de la même droite.
Exemple
Droite $d : 3x - 2y + 7 = 0$. Vecteur directeur : $\vec{u}(-(-2)\,;3) = \vec{u}(2\,;3)$. Vecteur normal : $\vec{n}(3\,;-2)$. Vérification : $\vec{u}\cdot\vec{n} = 2\times 3 + 3\times(-2) = 6 - 6 = 0$ (bien perpendiculaires). Le point $A(1\,;5)$ est-il sur $d$ ? $3(1) - 2(5) + 7 = 3 - 10 + 7 = 0$ : oui.
Piège à éviter
Ne confonds pas vecteur directeur et vecteur normal ! Pour $ax + by + c = 0$, le vecteur directeur est $\vec{u}(-b\,;a)$ et le normal est $\vec{n}(a\,;b)$. Astuce : le vecteur normal a les mêmes coefficients que l'équation ($a$ et $b$), le directeur les inverse avec un changement de signe.
Le parallélisme et la perpendicularité se vérifient algébriquement grâce aux vecteurs directeurs ou aux pentes. Ces critères sont indispensables pour démontrer des propriétés géométriques.
- Deux droites sont parallèles $\iff$ leurs vecteurs directeurs sont colinéaires ($\det = 0$).
- $\det(\vec{u}, \vec{u}') = \alpha\beta' - \beta\alpha' = 0 \implies$ droites parallèles.
- Deux droites sont perpendiculaires $\iff$ le produit scalaire des vecteurs directeurs est nul : $\vec{u}\cdot\vec{u}' = \alpha\alpha' + \beta\beta' = 0$.
- Avec les pentes : parallèles si $m = m'$ ; perpendiculaires si $m \times m' = -1$.
- Exemple : $y = 2x + 1$ et $y = -\dfrac{1}{2}x + 3$ sont perpendiculaires car $2 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -1$.
- Une droite horizontale ($m = 0$) est perpendiculaire à une droite verticale.
- Pour l'intersection : résoudre le système des deux équations (substitution ou combinaison).
Exemple
$d_1 : y = 2x + 1$ et $d_2 : y = -x + 7$. Parallèles ? $m_1 = 2$, $m_2 = -1$, donc $m_1 \neq m_2$ : sécantes. Perpendiculaires ? $m_1 \times m_2 = 2 \times (-1) = -2 \neq -1$ : non. Intersection : $2x + 1 = -x + 7 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2$, $y = 5$. Point $(2\,;5)$.
Piège à éviter
Pour la perpendicularité avec les pentes, la condition est $m \times m' = -1$, pas $m + m' = 0$. Exemple : $m = 3$ et $m' = -3$ ne sont pas perpendiculaires ($3 \times (-3) = -9 \neq -1$). La perpendiculaire à une droite de pente $3$ a pour pente $-\dfrac{1}{3}$.
La distance d'un point à une droite et l'équation du cercle sont des outils puissants pour résoudre les problèmes de position relative, de tangence et de lieux géométriques.
- Distance d'un point $A(x_A\,;y_A)$ à la droite $ax + by + c = 0$ : $d = \dfrac{|ax_A + by_A + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.
- Exemple : distance de $A(1\,;2)$ à $3x + 4y - 5 = 0$ : $d = \dfrac{|3 + 8 - 5|}{\sqrt{9 + 16}} = \dfrac{6}{5} = 1{,}2$.
- Équation du cercle de centre $\Omega(\alpha\,;\beta)$ et de rayon $r$ : $(x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2 = r^2$.
- Forme développée : $x^2 + y^2 - 2\alpha x - 2\beta y + \alpha^2 + \beta^2 - r^2 = 0$.
- Pour reconnaître un cercle : compléter le carré dans $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$.
- Centre : $\left(-\dfrac{D}{2}\,;-\dfrac{E}{2}\right)$, rayon : $\sqrt{\dfrac{D^2}{4} + \dfrac{E^2}{4} - F}$ (si le radicande est positif).
- Tangente au cercle en un point $M$ : la droite $(\Omega M)$ est perpendiculaire à la tangente.
Exemple
Cercle $\mathcal{C} : x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0$. On complète les carrés : $(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = 3 + 4 + 9 = 16$. Donc $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16$. Centre $\Omega(2\,;-3)$, rayon $r = 4$. Distance de $A(6\,;0)$ au centre : $d = \sqrt{(6-2)^2 + (0+3)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5 > 4$, donc $A$ est extérieur au cercle.
Piège à éviter
Pour reconnaître un cercle dans $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$, le rayon est $r = \sqrt{\dfrac{D^2}{4} + \dfrac{E^2}{4} - F}$. Si le radicande est négatif, ce n'est pas un cercle (ensemble vide). Vérifie toujours le signe avant de conclure.
Quiz - Géométrie repérée
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Notions clés — Maths (Spé)
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Géométrie repérée, extraits du quiz de révision.
Le vecteur directeur de la droite $2x - 5y + 3 = 0$ est :
Réponse :
$(5\,;2)$
Pour $ax + by + c = 0$, le vecteur directeur est $\vec{u}(-b\,;a) = (-(-5)\,;2) = (5\,;2)$.
Deux droites de pentes $m = 3$ et $m' = -\dfrac{1}{3}$ sont :
Réponse :
Perpendiculaires
$m \times m' = 3 \times \left(-\dfrac{1}{3}\right) = -1$, donc les droites sont perpendiculaires.
L'équation réduite de $4x - 2y + 6 = 0$ est :
Réponse :
$y = 2x + 3$
$4x - 2y + 6 = 0 \Rightarrow 2y = 4x + 6 \Rightarrow y = 2x + 3$.
La distance du point $A(0\,;0)$ à la droite $3x + 4y - 10 = 0$ est :
Réponse :
$2$
$d = \dfrac{|3\times 0 + 4\times 0 - 10|}{\sqrt{9 + 16}} = \dfrac{10}{5} = 2$.