Polynômes du second degré

Un polynôme du second degré est une fonction de la forme $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$. Sa courbe est une parabole ouverte vers le haut si $a > 0$, vers le bas si $a < 0$. La forme canonique $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ révèle le sommet $S(\alpha\,;\beta)$ de la parabole, avec $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$. Le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ détermine le nombre de racines réelles : si $\Delta > 0$, deux racines distinctes $x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ ; si $\Delta = 0$, une racine double $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ ; si $\Delta < 0$, aucune racine réelle. La factorisation dépend du signe de $\Delta$ : si $\Delta > 0$, $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ ; si $\Delta = 0$, $f(x) = a(x - x_0)^2$. Le signe du trinôme se déduit du signe de $a$ et des racines : si $\Delta > 0$, le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe opposé entre les racines. Ces résultats sont fondamentaux pour résoudre les inéquations, optimiser des fonctions et modéliser des situations concrètes (trajectoires, aires, profits).