Maths (Spé) — Algèbre
Polynômes du second degré
Discriminant, racines, signe, forme canonique, factorisation
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Un **polynôme du second degré** est une fonction de la forme $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$. Sa courbe est une **parabole** ouverte vers le haut si $a > 0$, vers le bas si $a < 0$. La **forme canonique** $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ révèle le **sommet** $S(\alpha\,;\beta)$ de la parabole, avec $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$. Le **discriminant** $\Delta = b^2 - 4ac$ détermine le nombre de racines réelles : si $\Delta > 0$, deux racines distinctes $x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ ; si $\Delta = 0$, une racine double $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ ; si $\Delta < 0$, aucune racine réelle. La **factorisation** dépend du signe de $\Delta$ : si $\Delta > 0$, $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ ; si $\Delta = 0$, $f(x) = a(x - x_0)^2$. Le **signe du trinôme** se déduit du signe de $a$ et des racines : si $\Delta > 0$, le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe opposé entre les racines. Ces résultats sont fondamentaux pour résoudre les inéquations, optimiser des fonctions et modéliser des situations concrètes (trajectoires, aires, profits).
La **forme canonique** révèle le **sommet** de la parabole et ses propriétés essentielles. C'est la première étape de l'étude de tout polynôme du second degré, avant même le calcul du discriminant.
- **Forme développée :** $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$.
- **Forme canonique :** $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ avec $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha) = -\dfrac{\Delta}{4a}$.
- Le **sommet** de la parabole est $S(\alpha\,;\beta)$ : c'est le **minimum** si $a > 0$, le **maximum** si $a < 0$.
- **Axe de symétrie :** la droite verticale $x = \alpha = -\dfrac{b}{2a}$.
- Exemple : $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$ donne $\alpha = \dfrac{8}{4} = 2$, $\beta = f(2) = 8 - 16 + 5 = -3$, d'où $f(x) = 2(x-2)^2 - 3$.
- Si $a > 0$ : parabole ouverte vers le **haut**, minimum atteint en $\beta$.
- Si $a < 0$ : parabole ouverte vers le **bas**, maximum atteint en $\beta$.
- **Application :** pour maximiser une aire ou un profit, chercher le **sommet** de la parabole.
Exemple
Pour $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$ : $\alpha = \dfrac{-(-8)}{2\times 2} = \dfrac{8}{4} = 2$. $\beta = f(2) = 2(4) - 8(2) + 5 = 8 - 16 + 5 = -3$. Forme canonique : $f(x) = 2(x - 2)^2 - 3$. Le sommet est $S(2\,;-3)$. Comme $a = 2 > 0$, c'est un **minimum**. L'axe de symétrie est $x = 2$.
Piège à éviter
$\alpha = -\dfrac{b}{2a}$, et non $-\dfrac{b}{2}a$ ! Si $a = -3$ et $b = 6$, alors $\alpha = \dfrac{-6}{2\times(-3)} = \dfrac{-6}{-6} = 1$, et **pas** $-\dfrac{6}{2}\times(-3) = -9$. Mets **toujours** des parenthèses autour de $2a$ au dénominateur.
Le **discriminant** $\Delta = b^2 - 4ac$ est la clé de tout le chapitre. Son **signe** détermine le nombre de racines et donc la factorisation possible. C'est LA formule à connaître par cœur.
- **Discriminant :** $\Delta = b^2 - 4ac$ — la formule clé du chapitre.
- Si $\Delta > 0$ : **deux racines distinctes** $x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.
- Si $\Delta = 0$ : **une racine double** $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ — la parabole est tangente à l'axe $Ox$.
- Si $\Delta < 0$ : **aucune racine réelle** — la parabole ne coupe pas l'axe $Ox$.
- Exemple : $x^2 - 5x + 6 = 0$ donne $\Delta = 25 - 24 = 1 > 0$, $x_1 = \dfrac{5-1}{2} = 2$, $x_2 = \dfrac{5+1}{2} = 3$.
- Exemple : $x^2 - 6x + 9 = 0$ donne $\Delta = 36 - 36 = 0$, $x_0 = 3$ (racine double).
- Exemple : $x^2 + x + 1 = 0$ donne $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$ : pas de solution réelle.
- Somme des racines : $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ ; produit : $x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a}$ (**relations de Viète**).
Exemple
Résoudre $2x^2 - 7x + 3 = 0$. $\Delta = (-7)^2 - 4(2)(3) = 49 - 24 = 25 > 0$. $\sqrt{\Delta} = 5$. $x_1 = \dfrac{7 - 5}{2\times 2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$, $x_2 = \dfrac{7 + 5}{4} = \dfrac{12}{4} = 3$. Vérification par Viète : $x_1 + x_2 = \dfrac{1}{2} + 3 = \dfrac{7}{2} = -\dfrac{b}{a}$, et $x_1 \times x_2 = \dfrac{3}{2} = \dfrac{c}{a}$.
Piège à éviter
Dans la formule des racines, le dénominateur est $2a$, **pas** $2$. Si $a = 3$, $b = -6$ et $\Delta = 36$, alors $x = \dfrac{6 \pm 6}{2\times 3} = \dfrac{6 \pm 6}{6}$, et non $\dfrac{6 \pm 6}{2}$ ! Beaucoup d'élèves oublient le $a$ au dénominateur quand $a \neq 1$.
La **factorisation** d'un trinôme découle directement du discriminant. C'est un outil essentiel pour résoudre des équations, étudier des signes ou simplifier des expressions.
- Si $\Delta > 0$ : $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ — factorisation complète.
- Si $\Delta = 0$ : $f(x) = a(x - x_0)^2$ — carré parfait.
- Si $\Delta < 0$ : pas de factorisation dans les réels.
- Exemple : $2x^2 - 10x + 12$ donne $\Delta = 100 - 96 = 4$, $x_1 = 2$, $x_2 = 3$, d'où $2(x-2)(x-3)$.
- **Vérification :** développer la forme factorisée pour retrouver la forme développée.
- La factorisation sert à résoudre $f(x) = 0$, étudier le signe, simplifier des fractions rationnelles.
- **Facteur commun :** vérifier d'abord si l'on peut mettre $a$ en facteur avant d'utiliser $\Delta$.
Exemple
Factoriser $3x^2 - 12x + 9$. On factorise d'abord par $3$ : $3(x^2 - 4x + 3)$. Pour $x^2 - 4x + 3$ : $\Delta = 16 - 12 = 4$, $x_1 = \dfrac{4-2}{2} = 1$, $x_2 = \dfrac{4+2}{2} = 3$. Donc $3(x^2 - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3)$. Vérification : $3(x-1)(x-3) = 3(x^2 - 4x + 3) = 3x^2 - 12x + 9$.
Piège à éviter
N'oublie pas le coefficient $a$ devant la factorisation ! Si $f(x) = 2x^2 - 10x + 12$, la factorisation est $2(x-2)(x-3)$, **pas** $(x-2)(x-3)$. Le $a = 2$ doit apparaître devant. Vérifie toujours en développant ton résultat.
Le **signe du trinôme** est l'une des questions les plus fréquentes sur ce chapitre. La règle est simple : le trinôme est **du signe de $a$ sauf entre les racines** (quand elles existent).
- **Règle fondamentale :** le trinôme est du signe de $a$ **sauf entre les racines** (si elles existent).
- Si $\Delta > 0$ : signe de $a$ sur $]-\infty\,;x_1[$ et $]x_2\,;+\infty[$, signe opposé sur $]x_1\,;x_2[$.
- Si $\Delta = 0$ : toujours du signe de $a$ (nul uniquement en $x_0$).
- Si $\Delta < 0$ : toujours du signe de $a$ (strictement, car jamais nul).
- Mnémotechnique : « le signe de $a$ à l'**extérieur** des racines, le signe contraire à l'**intérieur** ».
- **Application :** résoudre $ax^2 + bx + c \geq 0$ en trouvant les racines puis en dressant le **tableau de signes**.
- Exemple : $x^2 - 4 > 0$ a pour racines $-2$ et $2$ (avec $a = 1 > 0$), d'où la solution $]-\infty\,;-2[ \cup ]2\,;+\infty[$.
Exemple
Résoudre $-x^2 + 3x - 2 \geq 0$. Ici $a = -1$, $b = 3$, $c = -2$, donc $\Delta = 9 - 8 = 1$ et $\sqrt{\Delta} = 1$. Les racines sont $x_1 = \dfrac{-3 + 1}{2\times(-1)} = 1$ et $x_2 = \dfrac{-3 - 1}{2\times(-1)} = 2$. Comme $a = -1 < 0$, le trinôme est **négatif à l'extérieur** des racines et **positif entre elles**. Solution : $x \in [1\,;2]$.
Piège à éviter
Pense à bien **ordonner les racines** : $x_1 < x_2$. Si tu trouves $x_1 = 3$ et $x_2 = 1$, inverse-les ! Le signe du trinôme dans le tableau est « signe de $a$, signe opposé, signe de $a$ » avec les racines dans l'**ordre croissant**. Un tableau avec $x_1 > x_2$ est incohérent.
Quiz - Polynômes du second degré
10 questions
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Notions clés — Maths (Spé)
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Polynômes du second degré, extraits du quiz de révision.
Le discriminant de $x^2 - 3x + 2 = 0$ vaut :
Réponse :
$1$
$\Delta = (-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1$.
Les racines de $x^2 - 5x + 6 = 0$ sont :
Réponse :
$2$ et $3$
$\Delta = 25 - 24 = 1$. $x_1 = \dfrac{5-1}{2} = 2$, $x_2 = \dfrac{5+1}{2} = 3$.
Si $\Delta < 0$ et $a > 0$, alors $f(x)$ est :
Réponse :
Toujours positif
Si $\Delta < 0$, pas de racines : le trinôme garde le signe de $a$, donc strictement **positif** pour tout $x$.
Le sommet de $f(x) = -x^2 + 4x - 1$ est :
Réponse :
$(2\,;3)$
$\alpha = \dfrac{-4}{2\times(-1)} = 2$. $\beta = f(2) = -4 + 8 - 1 = 3$. Sommet $S(2\,;3)$.