Polynômes du second degré

Un polynôme du second degré est une fonction de la forme f(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0. Sa courbe est une parabole ouverte vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0. La forme canonique f(x) = a(x - α)² + β révèle le sommet S(α ; β) de la parabole, avec α = -b/(2a) et β = f(α). Le discriminant Δ = b² - 4ac détermine le nombre de racines réelles : si Δ > 0, deux racines distinctes x₁ = (-b - √Δ)/(2a) et x₂ = (-b + √Δ)/(2a) ; si Δ = 0, une racine double x₀ = -b/(2a) ; si Δ < 0, aucune racine réelle. La factorisation dépend du signe de Δ : si Δ > 0, f(x) = a(x - x₁)(x - x₂) ; si Δ = 0, f(x) = a(x - x₀)². Le signe du trinôme se déduit du signe de a et des racines : si Δ > 0, le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe opposé entre les racines. Ces résultats sont fondamentaux pour résoudre les inéquations, optimiser des fonctions et modéliser des situations concrètes (trajectoires, aires, profits).