Maths (Spé) — Analyse
Dérivées des fonctions usuelles et opérations
Dérivées de x^n, 1/x, √x et règles de calcul sur les dérivées
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Pour calculer la dérivée d'une fonction, on utilise un tableau de dérivées usuelles et des règles d'opérations. Les dérivées de base sont : si $f(x) = c$ (constante), $f'(x) = 0$ ; si $f(x) = x$, $f'(x) = 1$ ; si $f(x) = x^n$, $f'(x) = nx^{n-1}$ ; si $f(x) = \dfrac{1}{x}$, $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$ ; si $f(x) = \sqrt{x}$, $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$. Les règles d'opérations sont : $(u + v)' = u' + v'$ (somme), $(ku)' = ku'$ (multiplication par un réel), $(uv)' = u'v + uv'$ (produit). Par exemple, pour $f(x) = 3x^2 + 5x - 2$, on obtient $f'(x) = 6x + 5$. Ces outils permettent de dériver toute combinaison de fonctions polynômes et de fonctions usuelles, ce qui est indispensable pour étudier les variations d'une fonction.
Le tableau des dérivées usuelles est la boîte à outils de base. Le connaître par cœur est indispensable : chaque exercice de dérivation commence par l'identification de la fonction usuelle à dériver.
Les $5$ dérivées usuelles à connaître absolument en Première
- $f(x) = c$ (constante) $\to f'(x) = 0$. La pente d'une droite horizontale est nulle.
- $f(x) = x \to f'(x) = 1$. La pente de la droite $y = x$ est $1$.
- $f(x) = x^n$ ($n$ entier $\geq 1$) $\to f'(x) = nx^{n-1}$. Exemple : $(x^4)' = 4x^3$.
- $f(x) = \dfrac{1}{x}$ ($x \neq 0$) $\to f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$. Attention au signe négatif !
- $f(x) = \sqrt{x}$ ($x > 0$) $\to f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$. Exemple : $f'(4) = \dfrac{1}{2 \times 2} = \dfrac{1}{4}$.
- Moyen mnémotechnique pour $x^n$ : on descend l'exposant et on diminue de $1$. Exemple : $x^5 \to 5x^4$.
- Cas particuliers utiles : $(x^2)' = 2x$, $(x^3)' = 3x^2$.
Exemple
Dériver $f(x) = 4x^3$ : on reconnaît la forme $ax^n$. La dérivée de $x^3$ est $3x^2$, et le coefficient $4$ reste devant. Donc $f'(x) = 4 \times 3x^2 = 12x^2$. Vérification : $f'(1) = 12$ et $f(1{,}01) - f(1) \approx 4 \times 1{,}0303 - 4 = 0{,}1212 \approx 12 \times 0{,}01$.
Piège à éviter
Pour $f(x) = \dfrac{1}{x}$, la dérivée est $-\dfrac{1}{x^2}$, pas $\dfrac{1}{x^2}$. Le signe négatif est systématiquement oublié. Astuce : $\dfrac{1}{x}$ décroît pour $x > 0$, donc sa dérivée doit être négative. Si votre dérivée est positive, c'est qu'il manque le moins !
Les règles d'opérations permettent de dériver des combinaisons de fonctions. La somme et le produit par un réel sont simples, mais la formule du produit demande plus d'attention.
- Somme : $(u + v)' = u' + v'$. On dérive terme à terme.
- Multiplication par un réel : $(ku)' = ku'$. Le coefficient reste devant.
- Combinaison : $(au + bv)' = au' + bv'$ (linéarité de la dérivation).
- Exemple : $f(x) = 3x^2 - 7x + 4 \to f'(x) = 3 \times 2x - 7 \times 1 + 0 = 6x - 7$.
- Produit : $(uv)' = u'v + uv'$. Attention : on ne dérive pas terme à terme un produit !
- Exemple produit : $f(x) = x^2 \times \sqrt{x}$. $u = x^2$, $v = \sqrt{x}$. $f'(x) = 2x \times \sqrt{x} + x^2 \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = 2x\sqrt{x} + \dfrac{x^2}{2\sqrt{x}}$.
Exemple
Dériver $f(x) = (2x + 1)(x^2 - 3)$. On pose $u = 2x + 1$, $v = x^2 - 3$. Donc $u' = 2$, $v' = 2x$. Formule du produit : $f'(x) = u'v + uv' = 2(x^2 - 3) + (2x + 1)(2x) = 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x = 6x^2 + 2x - 6$.
Piège à éviter
L'erreur fatale : écrire $(uv)' = u' \times v'$. C'est faux. La bonne formule est $(uv)' = u'v + uv'$. Moyen mnémotechnique : « la dérivée du premier fois le second, plus le premier fois la dérivée du second ».
Les polynômes se dérivent terme à terme, ce qui en fait les fonctions les plus simples à dériver. C'est aussi un excellent exercice pour vérifier la maîtrise des formules de base.
- Un polynôme se dérive terme à terme : chaque monôme $ax^n$ donne $anx^{n-1}$.
- Exemple : $f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1 \to f'(x) = 6x^2 - 10x + 3$.
- Le terme constant disparaît toujours (sa dérivée vaut $0$).
- Le degré de $f'$ est le degré de $f$ diminué de $1$ (pour un polynôme de degré $\geq 1$).
- Vérification : $f(x) = x^2 + 1 \to f'(x) = 2x$. En $x = 0$, $f'(0) = 0$, cohérent avec le minimum de la parabole.
- Pour une fonction affine $f(x) = mx + p$, $f'(x) = m$ : la dérivée est le coefficient directeur.
Exemple
Dériver $f(x) = 2x^4 - 5x^3 + 3x^2 - 7x + 1$. Terme par terme : $(2x^4)' = 8x^3$, $(-5x^3)' = -15x^2$, $(3x^2)' = 6x$, $(-7x)' = -7$, $(1)' = 0$. Donc $f'(x) = 8x^3 - 15x^2 + 6x - 7$. Le polynôme de degré $4$ donne une dérivée de degré $3$.
Piège à éviter
Le terme constant disparaît toujours à la dérivation ! Si $f(x) = x^2 + 100$, alors $f'(x) = 2x$ (pas $2x + 100$). Inversement, si on connaît $f'(x) = 2x$, on ne peut pas retrouver la constante : $f(x) = x^2 + C$ pour n'importe quel $C$.
Voici les réflexes à acquérir et les erreurs à éviter pour réussir les exercices de dérivation. Prenez le temps de bien poser vos calculs étape par étape.
- Toujours réécrire la fonction sous une forme dérivable : $\dfrac{1}{x} = x^{-1}$, $\sqrt{x} = x^{1/2}$.
- Ne pas confondre $(2x)^2 = 4x^2$ et $2x^2$ : la dérivée de $4x^2$ est $8x$, celle de $2x^2$ est $4x$.
- Pour le produit, écrire séparément $u$, $v$, $u'$, $v'$ avant de remplacer dans $u'v + uv'$.
- Simplifier le résultat : factoriser ou réduire l'expression de $f'(x)$.
- Vérifier le résultat en testant une valeur numérique ou en vérifiant la cohérence avec le graphique.
Exemple
Dériver $f(x) = \dfrac{3}{x} + 2\sqrt{x}$. On réécrit : $f(x) = 3 \times \dfrac{1}{x} + 2 \times \sqrt{x}$. Donc $f'(x) = 3 \times \left(-\dfrac{1}{x^2}\right) + 2 \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = -\dfrac{3}{x^2} + \dfrac{1}{\sqrt{x}}$. En $x = 1$ : $f'(1) = -3 + 1 = -2$. Vérifions : $f(1) = 5$, $f(1{,}01) \approx 4{,}9803$, $\dfrac{4{,}9803-5}{0{,}01} \approx -1{,}97 \approx -2$.
Piège à éviter
Avant de dériver, toujours réécrire la fonction sous forme dérivable. Par exemple : $\dfrac{3}{x^2} = 3x^{-2}$ (dérivée : $-6x^{-3} = -\dfrac{6}{x^3}$). Si vous essayez de dériver $\dfrac{3}{x^2}$ directement sans réécrire, vous risquez de mélanger les formules.
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Dérivées des fonctions usuelles et opérations, extraits du quiz de révision.
La dérivée de $f(x) = x^5$ est :
Réponse :
$5x^4$
On applique la formule $(x^n)' = nx^{n-1}$ : $(x^5)' = 5x^4$.
La dérivée de $f(x) = 3x^2 + 2x - 7$ est :
Réponse :
$6x + 2$
$f'(x) = 3 \times 2x + 2 \times 1 - 0 = 6x + 2$.
La dérivée de $f(x) = \dfrac{1}{x}$ est :
Réponse :
$-\dfrac{1}{x^2}$
$\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$. Le signe négatif est essentiel.
La dérivée de $f(x) = \sqrt{x}$ est :
Réponse :
$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$. En $x = 1$, $f'(1) = \dfrac{1}{2}$.