Maths (Spé) — Analyse
Dérivation : nombre dérivé et tangente
Taux de variation, nombre dérivé, équation de la tangente à une courbe
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Le taux de variation d'une fonction $f$ entre $a$ et $a+h$ est le quotient $\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$ : il mesure la pente moyenne de la courbe entre ces deux points. Le nombre dérivé $f'(a)$ est la limite de ce taux de variation quand $h$ tend vers $0$. Géométriquement, $f'(a)$ représente la pente de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$. L'équation de cette tangente est $y = f'(a)(x - a) + f(a)$. Par exemple, pour $f(x) = x^2$, on a $f'(a) = 2a$, donc la tangente en $a = 3$ a pour équation $y = 6(x - 3) + 9 = 6x - 9$. La tangente est la meilleure approximation affine de $f$ au voisinage de $a$ : pour $x$ proche de $a$, $f(x) \approx f'(a)(x - a) + f(a)$.
La dérivation est le concept central de l'analyse en Première. Elle part d'une idée simple : mesurer la vitesse de variation d'une fonction. Le taux de variation est le point de départ.
Du taux de variation au nombre dérivé : la sécante devient tangente quand $h \to 0$
- Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ est $\tau = \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$ (avec $h \neq 0$).
- On l'écrit aussi $\tau = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$ entre les points d'abscisses $a$ et $b$.
- Interprétation graphique : c'est la pente de la sécante passant par les points $(a\,;f(a))$ et $(a+h\,;f(a+h))$.
- Exemple : $f(x) = x^2$, $\tau$ entre $1$ et $3$ : $\dfrac{9 - 1}{3 - 1} = \dfrac{8}{2} = 4$.
- Ce quotient mesure la variation moyenne de $f$ sur l'intervalle $[a\,;a+h]$.
Exemple
Pour $f(x) = x^2$, calculons le taux de variation entre $a = 2$ et $a+h$ avec $h = 1\,;\ 0{,}1\,;\ 0{,}01$ : $\tau(1) = \dfrac{9-4}{1} = 5$, $\tau(0{,}1) = \dfrac{4{,}41-4}{0{,}1} = 4{,}1$, $\tau(0{,}01) = \dfrac{4{,}0401-4}{0{,}01} = 4{,}01$. On voit que $\tau \to 4$ quand $h \to 0$ : c'est le nombre dérivé $f'(2) = 4$.
Piège à éviter
Le taux de variation a un signe : positif si $f$ augmente entre $a$ et $a+h$, négatif si $f$ diminue. Ne le confondez pas avec la valeur absolue de la pente. Un taux de $-3$ signifie que $f$ décroît avec une pente de $3$.
Le nombre dérivé est la limite du taux de variation quand $h$ tend vers $0$. C'est la pente instantanée de la courbe — le concept fondamental de toute l'analyse.
- Le nombre dérivé de $f$ en $a$ est $f'(a) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$ (si cette limite existe).
- $f$ est dite dérivable en $a$ si cette limite est un nombre réel fini.
- Exemple : $f(x) = x^2$, $f'(a) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{(a+h)^2 - a^2}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{2ah + h^2}{h} = \lim\limits_{h \to 0} (2a + h) = 2a$.
- Donc pour $f(x) = x^2$, $f'(3) = 6$ : la pente de la tangente en $x = 3$ est $6$.
- Si $f$ est dérivable en $a$, alors $f$ est continue en $a$ (mais la réciproque est fausse).
- Exemple de non-dérivabilité : $f(x) = |x|$ en $x = 0$ (point anguleux, pas de tangente unique).
Exemple
Pour $f(x) = x^2$, calculons $f'(3)$ par la définition : $f'(3) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{(3+h)^2 - 9}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{9 + 6h + h^2 - 9}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{6h + h^2}{h} = \lim\limits_{h \to 0} (6 + h) = 6$. La pente de la tangente en $x = 3$ vaut $6$.
Piège à éviter
$f$ dérivable en $a$ implique $f$ continue en $a$, mais la réciproque est fausse ! La fonction $f(x) = |x|$ est continue en $0$ mais pas dérivable (le taux de variation tend vers $+1$ à droite et $-1$ à gauche). Point anguleux $=$ pas de tangente unique.
L'équation de la tangente est l'application directe du nombre dérivé. C'est une question incontournable au Bac : savoir l'écrire et l'utiliser pour des approximations.
- Équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.
- C'est une droite de pente $f'(a)$ passant par le point $(a\,;f(a))$.
- Méthode : 1) calculer $f(a)$ ; 2) calculer $f'(a)$ ; 3) écrire $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ et développer.
- Exemple : $f(x) = x^3$ en $a = 1$. $f(1) = 1$, $f'(x) = 3x^2$ donc $f'(1) = 3$. Tangente : $y = 3(x-1) + 1 = 3x - 2$.
- Si $f'(a) = 0$, la tangente est horizontale : $y = f(a)$. C'est le cas aux extremums locaux.
- Approximation affine : pour $x$ proche de $a$, $f(x) \approx f'(a)(x - a) + f(a)$.
Exemple
Pour $f(x) = x^3$ en $a = 1$ : $f(1) = 1$, $f'(x) = 3x^2$ donc $f'(1) = 3$. Tangente : $y = 3(x - 1) + 1 = 3x - 3 + 1 = 3x - 2$. Vérification : en $x = 1$, $y = 3 \times 1 - 2 = 1 = f(1)$. Approximation : $f(1{,}02) \approx 3 \times 1{,}02 - 2 = 1{,}06$ (valeur exacte : $1{,}061208$).
Piège à éviter
L'erreur n°1 est d'oublier le terme $+\,f(a)$ dans la formule. La tangente passe par le point $(a\,;f(a))$, donc $y = f'(a)(x - a) + f(a)$, pas $y = f'(a)(x - a)$. Vérifiez toujours qu'en remplaçant $x$ par $a$, vous retrouvez bien $y = f(a)$.
Au Bac, on demande souvent de lire graphiquement le nombre dérivé ou de tracer une tangente. Savoir passer du graphique au calcul (et inversement) est une compétence clé.
- La pente de la tangente en un point donne directement $f'(a)$.
- Tangente montante (pente positive) $\to f'(a) > 0$ ; tangente descendante $\to f'(a) < 0$.
- Tangente horizontale $\to f'(a) = 0$ (candidat pour un extremum).
- Plus la tangente est raide, plus $|f'(a)|$ est grand.
- Pour estimer $f'(a)$ graphiquement : tracer la tangente et calculer sa pente avec deux points lisibles.
Exemple
Sur un graphique, la tangente en $x = 2$ passe par les points $(2\,;3)$ et $(4\,;7)$. La pente est $\dfrac{7 - 3}{4 - 2} = \dfrac{4}{2} = 2$, donc $f'(2) = 2$. En $x = 5$, la tangente est horizontale : $f'(5) = 0$, ce qui signifie un extremum local possible.
Piège à éviter
Une tangente horizontale ($f'(a) = 0$) ne signifie pas toujours un extremum ! Exemple : pour $f(x) = x^3$, $f'(0) = 0$ mais la fonction est croissante avant et après $0$. Il faut vérifier le changement de signe de $f'$.
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Dérivation : nombre dérivé et tangente, extraits du quiz de révision.
Le taux de variation de $f(x) = x^2$ entre $x = 1$ et $x = 4$ est :
Réponse :
$5$
$\tau = \dfrac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \dfrac{16 - 1}{3} = \dfrac{15}{3} = 5$.
Le nombre dérivé de $f(x) = x^2$ en $a = 3$ est :
Réponse :
$6$
$f'(x) = 2x$, donc $f'(3) = 2 \times 3 = 6$.
L'équation de la tangente à $f(x) = x^2$ au point d'abscisse $2$ est :
Réponse :
$y = 4x - 4$
$f(2) = 4$ et $f'(2) = 4$. Tangente : $y = 4(x - 2) + 4 = 4x - 8 + 4 = 4x - 4$.
Si $f'(a) = 0$, la tangente en $a$ est :
Réponse :
Horizontale
Si $f'(a) = 0$, la tangente a une pente nulle : elle est horizontale, d'équation $y = f(a)$.