Physique-Chimie (Spé) — Ondes et signaux
La lumière : modèle ondulatoire
Spectre électromagnétique, diffraction, interférences, loi de Snell-Descartes
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Résumé
La lumière est une onde électromagnétique qui, contrairement aux ondes mécaniques, se propage dans le vide à la vitesse $c = 3{,}00 \times 10^{8}\ \mathrm{m/s}$. Le spectre électromagnétique s'étend des ondes radio (grandes longueurs d'onde) aux rayons gamma (très courtes longueurs d'onde). La lumière visible n'en occupe qu'une petite portion : de $400\ \mathrm{nm}$ (violet) à $800\ \mathrm{nm}$ (rouge). La relation $\lambda = \dfrac{c}{f}$ relie longueur d'onde et fréquence. Lors d'un changement de milieu, la lumière peut être réfractée : elle change de direction selon la loi de Snell-Descartes $n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)$, où $n$ est l'indice de réfraction du milieu ($n = \dfrac{c}{v}$). La diffraction se produit quand la lumière passe par une ouverture de taille comparable à sa longueur d'onde : le faisceau s'élargit. L'angle de diffraction $\theta \approx \dfrac{\lambda}{a}$, où $a$ est la largeur de la fente. Plus la fente est petite, plus la diffraction est importante. Ce phénomène prouve la nature ondulatoire de la lumière, confirmée également par les interférences (expérience des fentes de Young) : quand deux ondes lumineuses se superposent, elles créent des franges brillantes (interférences constructives) et sombres (interférences destructives).
La lumière visible n'est qu'une toute petite partie du spectre électromagnétique, qui s'étend des ondes radio aux rayons gamma. Toutes ces ondes se propagent à la même vitesse dans le vide : $c = 3{,}00 \times 10^{8}\ \mathrm{m/s}$.
La loi de Snell-Descartes $n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)$ décrit la déviation de la lumière lors d'un changement de milieu.
- La lumière est une onde électromagnétique : elle n'a pas besoin de milieu matériel pour se propager.
- Vitesse dans le vide : $c = 3{,}00 \times 10^{8}\ \mathrm{m/s}$ (constante universelle).
- Relation : $\lambda = \dfrac{c}{f}$ (dans le vide) ou $\lambda = \dfrac{v}{f}$ (dans un milieu).
- Spectre visible : violet ($\approx 400\ \mathrm{nm}$) $\rightarrow$ bleu $\rightarrow$ vert $\rightarrow$ jaune $\rightarrow$ orange $\rightarrow$ rouge ($\approx 800\ \mathrm{nm}$).
- Au-delà du visible : UV ($< 400\ \mathrm{nm}$), rayons X, rayons $\gamma$ (dangereux, très énergétiques).
- En deçà du visible : infrarouge ($> 800\ \mathrm{nm}$), micro-ondes, ondes radio (peu énergétiques).
- Énergie d'un photon : $E = h\,f = \dfrac{h\,c}{\lambda}$ (avec $h = 6{,}63 \times 10^{-34}\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{s}$, constante de Planck).
- Plus la longueur d'onde est courte, plus l'énergie est élevée (UV et rayons X sont dangereux).
Exemple
La lumière rouge ($\lambda = 650\ \mathrm{nm} = 650 \times 10^{-9}\ \mathrm{m}$) a pour fréquence $f = \dfrac{c}{\lambda} = \dfrac{3{,}00 \times 10^{8}}{650 \times 10^{-9}} = 4{,}62 \times 10^{14}\ \mathrm{Hz}$. Son énergie : $E = h\,f = 6{,}63 \times 10^{-34} \times 4{,}62 \times 10^{14} = 3{,}06 \times 10^{-19}\ \mathrm{J}$. La lumière bleue ($\lambda = 450\ \mathrm{nm}$) a $E = 4{,}42 \times 10^{-19}\ \mathrm{J}$, soit $1{,}4$ fois plus d'énergie.
Piège à éviter
La longueur d'onde visible est souvent donnée en nm (nanomètres). $1\ \mathrm{nm} = 10^{-9}\ \mathrm{m}$. Oublier de convertir en mètres avant d'utiliser $c = \lambda \times f$ est une erreur fréquente.
Quand la lumière passe d'un milieu à un autre (air $\rightarrow$ eau, par exemple), elle change de direction : c'est la réfraction. La loi de Snell-Descartes permet de calculer exactement cet angle de déviation.
- Réfraction : changement de direction de la lumière quand elle passe d'un milieu à un autre.
- Indice de réfraction : $n = \dfrac{c}{v}$ (rapport de la vitesse dans le vide sur la vitesse dans le milieu).
- $n_{\text{vide}} = 1$, $n_{\text{air}} \approx 1{,}00$, $n_{\text{eau}} = 1{,}33$, $n_{\text{verre}} \approx 1{,}5$, $n_{\text{diamant}} = 2{,}42$.
- Loi de Snell-Descartes : $n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)$.
- $\theta_1$ = angle d'incidence, $\theta_2$ = angle de réfraction (mesurés par rapport à la normale).
- Si $n_2 > n_1$ : le rayon se rapproche de la normale (ex : air $\rightarrow$ eau).
- Si $n_2 < n_1$ : le rayon s'éloigne de la normale (ex : eau $\rightarrow$ air).
- Réflexion totale : au-delà de l'angle critique, la lumière ne traverse plus (fibres optiques).
- Dispersion : l'indice $n$ dépend de $\lambda$ $\rightarrow$ un prisme décompose la lumière blanche en spectre (arc-en-ciel).
Exemple
Un rayon lumineux passe de l'air ($n_1 = 1{,}00$) au verre ($n_2 = 1{,}50$) avec un angle d'incidence $\theta_1 = 45^\circ$. Par Snell-Descartes : $\sin(\theta_2) = \dfrac{n_1 \sin(\theta_1)}{n_2} = \dfrac{1{,}00 \times \sin(45^\circ)}{1{,}50} = \dfrac{0{,}707}{1{,}50} = 0{,}471$. Donc $\theta_2 = \arcsin(0{,}471) \approx 28^\circ$. Le rayon se rapproche de la normale ($n_2 > n_1$).
Piège à éviter
Les angles $\theta_1$ et $\theta_2$ dans la loi de Snell-Descartes sont mesurés par rapport à la normale (perpendiculaire à la surface), pas par rapport à la surface elle-même. Confondre les deux est une erreur classique au Bac.
Approfondissement : la diffraction est au programme de Terminale spécialité ; elle est présentée ici en avance. La diffraction prouve que la lumière est une onde : quand elle passe par une fente très fine, le faisceau s'élargit au lieu de rester étroit. Plus la fente est petite, plus l'étalement est important.
- La diffraction se produit quand une onde passe par une ouverture ou contourne un obstacle.
- Condition : la taille de l'ouverture $a$ doit être du même ordre de grandeur que $\lambda$.
- Angle de diffraction : $\theta \approx \dfrac{\lambda}{a}$ (en radians, pour le premier minimum).
- Plus la fente est petite ($a$ diminue), plus la diffraction est grande ($\theta$ augmente).
- Plus la longueur d'onde est grande ($\lambda$ augmente), plus la diffraction est grande.
- Avec un laser et une fente fine : on observe une tache centrale brillante élargie et des taches secondaires.
- Largeur de la tache centrale : $L = \dfrac{2\,\lambda\,D}{a}$ (avec $D$ = distance fente-écran).
- La diffraction prouve que la lumière a un comportement ondulatoire.
Exemple
Un laser rouge ($\lambda = 633\ \mathrm{nm}$) éclaire une fente de largeur $a = 0{,}1\ \mathrm{mm}$. L'écran est à $D = 2\ \mathrm{m}$. Largeur de la tache centrale : $L = \dfrac{2\,\lambda\,D}{a} = \dfrac{2 \times 633 \times 10^{-9} \times 2}{0{,}1 \times 10^{-3}} = 2{,}53 \times 10^{-2}\ \mathrm{m} = 2{,}53\ \mathrm{cm}$. Avec une fente deux fois plus fine ($a = 0{,}05\ \mathrm{mm}$), $L$ double : $5{,}06\ \mathrm{cm}$.
Piège à éviter
$\theta \approx \dfrac{\lambda}{a}$ n'est valable qu'en radians (pas en degrés). Si l'exercice demande l'angle en degrés, il faut convertir : $\theta_{\text{degrés}} = \theta_{\text{radians}} \times \dfrac{180}{\pi}$. Oublier cette conversion est un piège fréquent.
Approfondissement : les interférences sont au programme de Terminale spécialité ; elles sont présentées ici en avance. L'expérience des fentes de Young ($1801$) est l'une des plus belles de la physique : en faisant passer la lumière par deux fentes, on observe des franges alternativement brillantes et sombres, preuve irréfutable que la lumière est une onde.
- Interférences : superposition de deux ondes cohérentes (même fréquence, déphasage constant).
- Expérience de Young ($1801$) : un faisceau lumineux passe par deux fentes fines parallèles.
- Sur l'écran, on observe des franges alternativement brillantes et sombres.
- Interférence constructive : les deux ondes arrivent en phase $\rightarrow$ amplitude doublée $\rightarrow$ frange brillante.
- Interférence destructive : les deux ondes arrivent en opposition de phase $\rightarrow$ amplitude nulle $\rightarrow$ frange sombre.
- Interfrange : $i = \dfrac{\lambda D}{a}$ (distance entre deux franges brillantes consécutives).
- Cette expérience a prouvé la nature ondulatoire de la lumière (Newton pensait que c'étaient des particules).
- Dualité onde-corpuscule : la lumière se comporte comme une onde ET comme des particules (photons).
Exemple
Fentes de Young avec un laser vert ($\lambda = 532\ \mathrm{nm}$), écartement des fentes $a = 0{,}2\ \mathrm{mm}$, distance à l'écran $D = 1{,}5\ \mathrm{m}$. Interfrange : $i = \dfrac{\lambda D}{a} = \dfrac{532 \times 10^{-9} \times 1{,}5}{0{,}2 \times 10^{-3}} = 3{,}99 \times 10^{-3}\ \mathrm{m} \approx 4\ \mathrm{mm}$. On observe des franges brillantes espacées de $4\ \mathrm{mm}$.
Piège à éviter
Ne pas confondre diffraction (UNE fente $\rightarrow$ tache centrale élargie) et interférences (DEUX fentes $\rightarrow$ franges alternées). Les deux phénomènes prouvent la nature ondulatoire de la lumière, mais les figures obtenues sont différentes.
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur La lumière : modèle ondulatoire, extraits du quiz de révision.
La vitesse de la lumière dans le vide est :
Réponse :
$3 \times 10^{8}\ \mathrm{m/s}$
$c = 3{,}00 \times 10^{8}\ \mathrm{m/s}$ dans le vide : c'est une constante universelle fondamentale.
Selon Snell-Descartes, quand la lumière passe de l'air ($n = 1$) au verre ($n = 1{,}5$) :
Réponse :
Elle se rapproche de la normale
$n_2 > n_1$ $\rightarrow$ le rayon se rapproche de la normale. La lumière ralentit dans le verre ($v = \dfrac{c}{n}$).
La diffraction est d'autant plus marquée que :
Réponse :
La fente est petite par rapport à $\lambda$
(Notion de Terminale.) $\theta \approx \dfrac{\lambda}{a}$ : plus la fente est petite ($a$ diminue), plus l'angle de diffraction est grand.
Une frange sombre dans l'expérience de Young correspond à :
Réponse :
Une interférence destructive
(Notion de Terminale.) Les franges sombres résultent d'interférences destructives : les deux ondes s'annulent.