Maths expertes — Nombres complexes
Nombres complexes : forme trigonométrique et exponentielle
Argument, forme trigonométrique, notation exponentielle, formule de Moivre, racines n-ièmes
Résumé synthétiqueFiche en 5 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
La forme algébrique $z = a + bi$ est parfaite pour additionner, mais pénible pour multiplier ou élever à une puissance. La géométrie suggère mieux : un complexe non nul est entièrement décrit par sa **longueur** (le module $r = |z|$) et sa **direction** (l'**argument** $\theta$, l'angle avec l'axe réel). On écrit alors $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$, ou, de façon plus compacte, $z = r\,e^{i\theta}$. Le miracle : multiplier deux complexes revient à **multiplier les modules** et **additionner les arguments**. Les puissances deviennent triviales (formule de Moivre), et les **racines $n$-ièmes** de l'unité se placent régulièrement sur le cercle, formant des polygones réguliers. C'est l'outil idéal des rotations et de la trigonométrie.
Pour un complexe non nul, l'**argument** est l'angle orienté $(\,\vec{u}\,;\vec{OM}\,)$ entre l'axe réel positif et le vecteur $\vec{OM}$. Avec le module, il donne la position exacte de $M$ : module pour la distance, argument pour la direction.
- L'argument de $z \neq 0$, noté $\arg(z)$, est l'angle (en radians) entre l'axe réel positif et $\vec{OM}$.
- $\arg(z)$ est défini **modulo $2\pi$** ; on choisit souvent l'argument principal dans $\left]-\pi\,;\pi\right]$.
- **Produit et quotient :** $\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)\ [2\pi]$ et $\arg\!\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1) - \arg(z_2)\ [2\pi]$.
- **Symétries :** $\arg(\overline{z}) = -\arg(z)\ [2\pi]$ et $\arg(-z) = \arg(z) + \pi\ [2\pi]$.
- Pour $z = a + bi$ avec $a > 0$ : $\arg(z)$ est l'angle tel que $\tan\theta = \dfrac{b}{a}$.
Exemple
Pour $z = 1 + i$ : $r = |z| = \sqrt{2}$, $\cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ et $\sin\theta = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$, donc $\theta = \dfrac{\pi}{4}$. Ainsi $\arg(1 + i) = \dfrac{\pi}{4}$.
Piège à éviter
$\tan\theta = \dfrac{b}{a}$ ne suffit pas à fixer $\theta$ : la tangente ne distingue pas un angle de son opposé décalé de $\pi$. Repère toujours le **quadrant** (signes de $a$ et $b$) pour choisir le bon argument.
Une fois module et argument connus, on assemble le complexe sous forme **trigonométrique** $r(\cos\theta + i\sin\theta)$, abrégée en **exponentielle** $r\,e^{i\theta}$ grâce à la formule d'Euler $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$.
- **Forme trigonométrique :** $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ avec $r = |z| \geq 0$ et $\theta = \arg(z)$.
- **Notation exponentielle (Euler) :** $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$, donc $z = r\,e^{i\theta}$.
- **Algébrique vers trigo :** $r = \sqrt{a^2 + b^2}$, $\ \cos\theta = \dfrac{a}{r}$, $\ \sin\theta = \dfrac{b}{r}$.
- **Trigo vers algébrique :** $a = r\cos\theta$ et $b = r\sin\theta$.
- **Valeurs remarquables :** $e^{i\pi} = -1$ (identité d'Euler), $\ e^{i\pi/2} = i$, $\ e^{i \cdot 0} = 1$.
Exemple
Mettons $z = -1 + i\sqrt{3}$ sous forme exponentielle : $r = \sqrt{1 + 3} = 2$, $\cos\theta = -\dfrac{1}{2}$, $\sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, donc $\theta = \dfrac{2\pi}{3}$. Ainsi $z = 2\,e^{\,i \cdot 2\pi/3}$.
Piège à éviter
Dans $r\,e^{i\theta}$, le module $r$ doit être **positif**. Un résultat comme $-2\,e^{i\theta}$ n'est pas une forme exponentielle correcte : utilise $-1 = e^{i\pi}$ pour écrire $2\,e^{\,i(\theta + \pi)}$.
C'est ici que la forme exponentielle écrase la forme algébrique. Multiplier, diviser, élever à une puissance se font sur le module et l'argument séparément. Et multiplier par $e^{i\alpha}$ s'interprète comme une **rotation**.
- **Produit :** $z_1 z_2 = r_1 r_2\,e^{\,i(\theta_1 + \theta_2)}$ — on multiplie les modules, on additionne les arguments.
- **Quotient :** $\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2}\,e^{\,i(\theta_1 - \theta_2)}$ — on divise les modules, on soustrait les arguments.
- **Puissance :** $z^n = r^n\,e^{\,in\theta}$.
- **Rotation :** multiplier par $e^{i\alpha}$ effectue une rotation d'angle $\alpha$ autour de l'origine $O$.
- **Similitude :** multiplier par $r\,e^{i\alpha}$ combine une rotation d'angle $\alpha$ et un agrandissement de rapport $r$.
Exemple
Avec $z_1 = 2\,e^{i\pi/3}$ et $z_2 = 3\,e^{i\pi/6}$ : $z_1 z_2 = 6\,e^{\,i(\pi/3 + \pi/6)} = 6\,e^{i\pi/2} = 6i$. Les modules se multiplient ($2 \times 3 = 6$), les arguments s'ajoutent ($\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2}$).
Piège à éviter
Pour un **produit**, on **additionne** les arguments ; ne les multiplie pas. C'est seulement pour une **puissance** $z^n$ que l'argument est **multiplié** par $n$.
En écrivant $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = (e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$, on obtient la **formule de Moivre**. Couplée aux formules d'Euler, elle devient une machine à fabriquer des identités trigonométriques.
- **Formule de Moivre :** $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$.
- **Formules d'Euler :** $\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$ et $\sin\theta = \dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$.
- **Linéarisation :** $\cos^2\theta = \dfrac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ et $\sin^2\theta = \dfrac{1 - \cos(2\theta)}{2}$ (utile pour intégrer).
- **Angles multiples :** en développant $(\cos\theta + i\sin\theta)^3$, on obtient $\cos(3\theta) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ et $\sin(3\theta) = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$.
Exemple
Calculons $\cos(2\theta)$ par Moivre : $(\cos\theta + i\sin\theta)^2 = \cos^2\theta - \sin^2\theta + 2i\sin\theta\cos\theta$. En identifiant la partie réelle à $\cos(2\theta)$ : $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta$.
Piège à éviter
La formule de Moivre porte sur $(\cos\theta + i\sin\theta)^n$, **pas** sur $\cos^n\theta + i\sin^n\theta$. On élève le **bloc entier** à la puissance $n$, pas le cosinus et le sinus séparément.
Résoudre $z^n = 1$ dans $\mathbb{C}$ donne exactement $n$ solutions, les **racines $n$-ièmes de l'unité**. Elles se rangent à intervalles réguliers sur le cercle de rayon $1$ et dessinent un polygone régulier à $n$ côtés.
- Les racines $n$-ièmes de $1$ sont $\omega_k = e^{\,2ik\pi/n}$ pour $k = 0, 1, \dots, n-1$.
- Elles forment un **polygone régulier** à $n$ côtés inscrit dans le cercle de rayon $1$.
- **Exemples :** racines carrées $\pm 1$ ; racines cubiques $1,\ e^{2i\pi/3},\ e^{4i\pi/3}$ ; racines quatrièmes $1,\ i,\ -1,\ -i$.
- **Somme nulle :** la somme des $n$ racines $n$-ièmes de $1$ vaut $0$ (dès que $n \geq 2$).
- **Racines de $z_0 = r_0\,e^{i\theta_0}$ :** $w_k = r_0^{1/n}\,e^{\,i(\theta_0 + 2k\pi)/n}$ pour $k = 0, \dots, n-1$.
Exemple
Les racines cubiques de $1$ : $\omega_0 = e^{0} = 1$, $\ \omega_1 = e^{2i\pi/3} = -\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\ \omega_2 = e^{4i\pi/3} = -\dfrac{1}{2} - i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Leur somme : $1 - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} = 0$.
Piège à éviter
L'équation $z^n = 1$ a exactement $n$ solutions dans $\mathbb{C}$, pas une seule. Ne réponds pas « $z = 1$ » : il faut balayer $k = 0$ jusqu'à $n - 1$.
Quiz - Nombres complexes : forme trigonométrique et exponentielle
10 questions
Articles utiles
Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Nombres complexes : forme trigonométrique et exponentielle, extraits du quiz de révision.
La forme exponentielle de $z = 1 + i$ est :
Réponse :
$\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$
$|z| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ et $\arg(z) = \dfrac{\pi}{4}$ (vecteur $(1\,;1)$). Donc $z = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$.
Que vaut $e^{i\pi}$ ?
Réponse :
$-1$
Identité d'Euler : $e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi = -1 + 0 = -1$.
Si $z_1 = 2\,e^{i\pi/3}$ et $z_2 = 3\,e^{i\pi/6}$, alors $z_1 z_2$ vaut :
Réponse :
$6\,e^{i\pi/2}$
$z_1 z_2 = (2 \times 3)\,e^{\,i(\pi/3 + \pi/6)} = 6\,e^{i\pi/2} = 6i$. Modules multipliés, arguments additionnés.
La formule de Moivre affirme que $(\cos\theta + i\sin\theta)^n$ vaut :
Réponse :
$\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$
$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = (e^{i\theta})^n = e^{in\theta} = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$.