Maths expertes — Nombres complexes
Nombres complexes : forme trigonométrique et exponentielle
Argument, forme trigonométrique, notation exponentielle, formule de Moivre, racines n-ièmes
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Cours de Maths expertes. Même notion dans une autre matière : Nombres complexes — spé Maths
Résumé
La forme algébrique $z = a + bi$ est parfaite pour additionner, mais pénible pour multiplier ou élever à une puissance. La géométrie suggère mieux : un complexe non nul est entièrement décrit par sa longueur (le module $r = |z|$) et sa direction (l'argument $\theta$, l'angle avec l'axe réel). On écrit alors $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$, ou, de façon plus compacte, $z = r\,e^{i\theta}$. Le miracle : multiplier deux complexes revient à multiplier les modules et additionner les arguments. Les puissances deviennent triviales (formule de Moivre), et les racines $n$-ièmes de l'unité se placent régulièrement sur le cercle, formant des polygones réguliers. C'est l'outil idéal des rotations et de la trigonométrie.
Pour un complexe non nul, l'argument est l'angle orienté $(\,\vec{u}\,;\vec{OM}\,)$ entre l'axe réel positif et le vecteur $\vec{OM}$. Avec le module, il donne la position exacte de $M$ : module pour la distance, argument pour la direction.
- L'argument de $z \neq 0$, noté $\arg(z)$, est l'angle (en radians) entre l'axe réel positif et $\vec{OM}$.
- $\arg(z)$ est défini modulo $2\pi$ ; on choisit souvent l'argument principal dans $\left]-\pi\,;\pi\right]$.
- Produit et quotient : $\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)\ [2\pi]$ et $\arg\!\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1) - \arg(z_2)\ [2\pi]$.
- Symétries : $\arg(\overline{z}) = -\arg(z)\ [2\pi]$ et $\arg(-z) = \arg(z) + \pi\ [2\pi]$.
- Pour $z = a + bi$ avec $a > 0$ : $\arg(z)$ est l'angle tel que $\tan\theta = \dfrac{b}{a}$.
Exemple
Pour $z = 1 + i$ : $r = |z| = \sqrt{2}$, $\cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ et $\sin\theta = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$, donc $\theta = \dfrac{\pi}{4}$. Ainsi $\arg(1 + i) = \dfrac{\pi}{4}$.
Piège à éviter
$\tan\theta = \dfrac{b}{a}$ ne suffit pas à fixer $\theta$ : la tangente ne distingue pas $\theta$ de $\theta + \pi$. Repère toujours le quadrant (signes de $a$ et $b$) pour choisir le bon argument.
Une fois module et argument connus, on assemble le complexe sous forme trigonométrique $r(\cos\theta + i\sin\theta)$, abrégée en exponentielle $r\,e^{i\theta}$ grâce à la formule d'Euler $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$.
- Forme trigonométrique : $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ avec $r = |z| \geq 0$ et $\theta = \arg(z)$.
- Notation exponentielle (Euler) : $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$, donc $z = r\,e^{i\theta}$.
- Algébrique vers trigo : $r = \sqrt{a^2 + b^2}$, $\ \cos\theta = \dfrac{a}{r}$, $\ \sin\theta = \dfrac{b}{r}$.
- Trigo vers algébrique : $a = r\cos\theta$ et $b = r\sin\theta$.
- Valeurs remarquables : $e^{i\pi} = -1$ (identité d'Euler), $\ e^{i\pi/2} = i$, $\ e^{i \cdot 0} = 1$.
Exemple
Mettons $z = -1 + i\sqrt{3}$ sous forme exponentielle : $r = \sqrt{1 + 3} = 2$, $\cos\theta = -\dfrac{1}{2}$, $\sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, donc $\theta = \dfrac{2\pi}{3}$. Ainsi $z = 2\,e^{\,i \cdot 2\pi/3}$.
Piège à éviter
Dans $r\,e^{i\theta}$, le module $r$ doit être positif. Un résultat comme $-2\,e^{i\theta}$ n'est pas une forme exponentielle correcte : utilise $-1 = e^{i\pi}$ pour écrire $2\,e^{\,i(\theta + \pi)}$.
C'est ici que la forme exponentielle écrase la forme algébrique. Multiplier, diviser, élever à une puissance se font sur le module et l'argument séparément. Et multiplier par $e^{i\alpha}$ s'interprète comme une rotation.
- Produit : $z_1 z_2 = r_1 r_2\,e^{\,i(\theta_1 + \theta_2)}$ — on multiplie les modules, on additionne les arguments.
- Quotient : $\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2}\,e^{\,i(\theta_1 - \theta_2)}$ — on divise les modules, on soustrait les arguments.
- Puissance : $z^n = r^n\,e^{\,in\theta}$.
- Rotation : multiplier par $e^{i\alpha}$ effectue une rotation d'angle $\alpha$ autour de l'origine $O$.
- Similitude : multiplier par $r\,e^{i\alpha}$ combine une rotation d'angle $\alpha$ et un agrandissement de rapport $r$.
Exemple
Avec $z_1 = 2\,e^{i\pi/3}$ et $z_2 = 3\,e^{i\pi/6}$ : $z_1 z_2 = 6\,e^{\,i(\pi/3 + \pi/6)} = 6\,e^{i\pi/2} = 6i$. Les modules se multiplient ($2 \times 3 = 6$), les arguments s'ajoutent ($\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2}$).
Piège à éviter
Pour un produit, on additionne les arguments ; ne les multiplie pas. C'est seulement pour une puissance $z^n$ que l'argument est multiplié par $n$.
En écrivant $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = (e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$, on obtient la formule de Moivre. Couplée aux formules d'Euler, elle devient une machine à fabriquer des identités trigonométriques.
- Formule de Moivre : $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$.
- Formules d'Euler : $\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$ et $\sin\theta = \dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$.
- Linéarisation : $\cos^2\theta = \dfrac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ et $\sin^2\theta = \dfrac{1 - \cos(2\theta)}{2}$ (utile pour intégrer).
- Angles multiples : en développant $(\cos\theta + i\sin\theta)^3$, on obtient $\cos(3\theta) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ et $\sin(3\theta) = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$.
Exemple
Calculons $\cos(2\theta)$ par Moivre : $(\cos\theta + i\sin\theta)^2 = \cos^2\theta - \sin^2\theta + 2i\sin\theta\cos\theta$. En identifiant la partie réelle à $\cos(2\theta)$ : $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta$.
Piège à éviter
La formule de Moivre porte sur $(\cos\theta + i\sin\theta)^n$, pas sur $\cos^n\theta + i\sin^n\theta$. On élève le bloc entier à la puissance $n$, pas le cosinus et le sinus séparément.
Résoudre $z^n = 1$ dans $\mathbb{C}$ donne exactement $n$ solutions, les racines $n$-ièmes de l'unité. Elles se rangent à intervalles réguliers sur le cercle de rayon $1$ et dessinent un polygone régulier à $n$ côtés.
Les racines cubiques de $1$ — soit $1$, $e^{2i\pi/3}$, $e^{4i\pi/3}$ — forment un triangle équilatéral inscrit dans le cercle unité.
- Les racines $n$-ièmes de $1$ sont $\omega_k = e^{\,2ik\pi/n}$ pour $k = 0, 1, \dots, n-1$.
- Elles forment un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle de rayon $1$.
- Exemples : racines carrées $\pm 1$ ; racines cubiques $1,\ e^{2i\pi/3},\ e^{4i\pi/3}$ ; racines quatrièmes $1,\ i,\ -1,\ -i$.
- Somme nulle : la somme des $n$ racines $n$-ièmes de $1$ vaut $0$ (dès que $n \geq 2$).
- Racines de $z_0 = r_0\,e^{i\theta_0}$ : $w_k = r_0^{1/n}\,e^{\,i(\theta_0 + 2k\pi)/n}$ pour $k = 0, \dots, n-1$.
Exemple
Les racines cubiques de $1$ : $\omega_0 = e^{0} = 1$, $\ \omega_1 = e^{2i\pi/3} = -\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\ \omega_2 = e^{4i\pi/3} = -\dfrac{1}{2} - i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Leur somme : $1 - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} = 0$.
Piège à éviter
L'équation $z^n = 1$ a exactement $n$ solutions dans $\mathbb{C}$, pas une seule. Ne réponds pas « $z = 1$ » : il faut balayer $k = 0$ jusqu'à $n - 1$.
Quiz - Nombres complexes : forme trigonométrique et exponentielle
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Nombres complexes : forme trigonométrique et exponentielle, extraits du quiz de révision.
La forme exponentielle de $z = 1 + i$ est :
Réponse :
$\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$
$|z| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ et $\arg(z) = \dfrac{\pi}{4}$ (vecteur $(1\,;1)$). Donc $z = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$.
Que vaut $e^{i\pi}$ ?
Réponse :
$-1$
Identité d'Euler : $e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi = -1 + 0 = -1$.
Si $z_1 = 2\,e^{i\pi/3}$ et $z_2 = 3\,e^{i\pi/6}$, alors $z_1 z_2$ vaut :
Réponse :
$6\,e^{i\pi/2}$
$z_1 z_2 = (2 \times 3)\,e^{\,i(\pi/3 + \pi/6)} = 6\,e^{i\pi/2} = 6i$. Modules multipliés, arguments additionnés.
La formule de Moivre affirme que $(\cos\theta + i\sin\theta)^n$ vaut :
Réponse :
$\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$
$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = (e^{i\theta})^n = e^{in\theta} = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$.