Maths expertes — Nombres complexes
Nombres complexes : forme algébrique et géométrie
Nombre imaginaire i, forme algébrique, conjugué, module, interprétation géométrique
Résumé synthétiqueFiche en 5 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Cours de Maths expertes. Même notion dans une autre matière : Nombres complexes — spé Maths
Résumé
Les nombres réels ne suffisent pas : l'équation $x^2 = -1$ n'a aucune solution dans $\mathbb{R}$. On invente alors un nombre imaginaire $i$ tel que $i^2 = -1$, et tout un monde s'ouvre. Un nombre complexe s'écrit $z = a + bi$ avec $a$ et $b$ réels : $a$ est sa partie réelle, $b$ sa partie imaginaire. À chaque complexe correspond un point $M(a\,;b)$ du plan, dont il est l'affixe : l'algèbre devient géométrie. On y mesure une distance à l'origine (le module $|z|$), on y lit une symétrie (le conjugué $\overline{z}$), et surtout, toute équation du second degré y trouve ses solutions. Ce chapitre pose les bases : calculer en forme algébrique, conjuguer, mesurer un module et résoudre dans $\mathbb{C}$.
On élargit l'ensemble $\mathbb{R}$ en ajoutant un nombre imaginaire $i$ vérifiant $i^2 = -1$. L'ensemble obtenu, noté $\mathbb{C}$, contient tous les nombres de la forme $a + bi$. Les réels en font partie (ce sont les complexes de partie imaginaire nulle) : on a donc $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$.
- $i$ est le nombre imaginaire défini par $i^2 = -1$.
- Forme algébrique : tout complexe s'écrit de façon unique $z = a + bi$ avec $a, b \in \mathbb{R}$. On note $a = \mathrm{Re}(z)$ et $b = \mathrm{Im}(z)$.
- Égalité : $z = z'$ si et seulement si $\mathrm{Re}(z) = \mathrm{Re}(z')$ et $\mathrm{Im}(z) = \mathrm{Im}(z')$.
- Réel : un complexe est réel quand $b = 0$ ; ainsi $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$.
- Imaginaire pur : un complexe est imaginaire pur quand $a = 0$, soit $z = bi$.
Exemple
Pour $z = 3 - 5i$ : $\mathrm{Re}(z) = 3$ et $\mathrm{Im}(z) = -5$. Le nombre $z = 4$ est réel ($b = 0$) ; le nombre $z = 2i$ est imaginaire pur ($a = 0$).
Piège à éviter
La partie imaginaire de $z = a + bi$ est le réel $b$, pas $bi$. Écrire $\mathrm{Im}(3 - 5i) = -5i$ est une erreur classique : c'est $-5$.
On calcule avec les complexes comme avec des expressions algébriques ordinaires, avec une seule règle supplémentaire : chaque fois qu'apparaît $i^2$, on le remplace par $-1$. Addition et multiplication se ramènent ainsi à des calculs réels.
- Addition : $(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$.
- Multiplication : $(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$ — on développe puis on utilise $i^2 = -1$.
- Puissances de $i$ : $i^0 = 1$, $i^1 = i$, $i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$, puis cycle de période $4$.
- Division : on multiplie haut et bas par le conjugué du dénominateur : $\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{z_1\,\overline{z_2}}{|z_2|^2}$.
Exemple
$(2 + i)(3 - 2i) = 6 - 4i + 3i - 2i^2 = 6 - i + 2 = 8 - i$.
Division : $\dfrac{3 + 2i}{1 + i} = \dfrac{(3 + 2i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \dfrac{5 - i}{2} = \dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{2}i$.
Division : $\dfrac{3 + 2i}{1 + i} = \dfrac{(3 + 2i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \dfrac{5 - i}{2} = \dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{2}i$.
Piège à éviter
Pour diviser, ne « barre » jamais les $i$ : multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur. Alors $(c + di)(c - di) = c^2 + d^2$ devient réel.
Deux nombres résument l'essentiel d'un complexe vu comme point du plan : le conjugué $\overline{z}$ (son symétrique par rapport à l'axe réel) et le module $|z|$ (sa distance à l'origine). Le lien entre les deux : $z\,\overline{z} = |z|^2$.
Le module $|z|$ est la longueur $OM$ ; le conjugué $\overline{z}$ est le symétrique de $M$ par rapport à l'axe réel.
- Conjugué : $\overline{z} = a - bi$. Géométriquement, c'est le symétrique de $M$ par rapport à l'axe réel.
- Relations utiles : $z + \overline{z} = 2\,\mathrm{Re}(z)$, $\ z - \overline{z} = 2i\,\mathrm{Im}(z)$, $\ z\,\overline{z} = a^2 + b^2 = |z|^2$.
- Conjugué et opérations : $\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$ et $\overline{z_1 z_2} = \overline{z_1}\,\overline{z_2}$.
- Module : $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ ; c'est la distance $OM$, toujours positive ou nulle.
- Module et opérations : $|z_1 z_2| = |z_1|\,|z_2|$, $\ \left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|}$, et inégalité triangulaire $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$.
Exemple
Pour $z = 3 + 4i$ : $\overline{z} = 3 - 4i$ et $|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$. Vérification : $z\,\overline{z} = (3 + 4i)(3 - 4i) = 9 + 16 = 25 = |z|^2$.
Piège à éviter
Le module n'est pas $a + b$ ni $\sqrt{a + b}$ : c'est $\sqrt{a^2 + b^2}$. Et $|z|$ est toujours un réel positif, jamais un complexe.
Le plan complexe transforme les calculs en figures. Un complexe $z = a + bi$ se lit comme le point $M(a\,;b)$ — dont il est l'affixe — ou comme le vecteur $\vec{OM}$. Distances et ensembles de points (cercles, médiatrices) se traduisent alors en conditions sur les modules.
- $z = a + bi$ correspond au point $M(a\,;b)$ : $z$ est l'affixe de $M$ ; l'abscisse est l'axe réel, l'ordonnée l'axe imaginaire.
- Distance : $|z_B - z_A|$ est la distance entre les points d'affixes $z_A$ et $z_B$.
- Cercle : l'ensemble des $z$ tels que $|z - z_0| = r$ est le cercle de centre le point d'affixe $z_0$ et de rayon $r$.
- Affixe du milieu de $[AB]$ : $\dfrac{z_A + z_B}{2}$. Translation de vecteur d'affixe $w$ : $z \mapsto z + w$.
Exemple
L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z - (1 + 2i)| = 3$ est le cercle de centre $\Omega(1\,;2)$ et de rayon $3$. Le point d'affixe $4 + 2i$ en fait partie car $|4 + 2i - (1 + 2i)| = |3| = 3$.
Piège à éviter
$|z - z_0| = r$ donne un cercle (le bord) ; $|z - z_0| \leq r$ donne un disque (l'intérieur plein). Ne confonds pas les deux.
La grande force de $\mathbb{C}$ : toute équation du second degré y admet des solutions, même quand le discriminant est négatif. La méthode du réel se prolonge, à ceci près que $\sqrt{\Delta}$ devient imaginaire.
- Pour $az^2 + bz + c = 0$ ($a \neq 0$, coefficients réels), on calcule $\Delta = b^2 - 4ac$.
- Si $\Delta > 0$ : deux racines réelles $\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$. Si $\Delta = 0$ : une racine double $\dfrac{-b}{2a}$.
- Si $\Delta < 0$ : deux racines complexes conjuguées $z = \dfrac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$.
- Théorème fondamental de l'algèbre : tout polynôme de degré $n$ admet exactement $n$ racines dans $\mathbb{C}$ (comptées avec leur multiplicité).
Exemple
Résolvons $z^2 - 2z + 5 = 0$ : $\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times 5 = 4 - 20 = -16 < 0$. Alors $\sqrt{|\Delta|} = 4$ et $z = \dfrac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i$. Les solutions $1 + 2i$ et $1 - 2i$ sont conjuguées.
Piège à éviter
Quand $\Delta < 0$, n'écris pas « pas de solution » : c'est vrai dans $\mathbb{R}$, faux dans $\mathbb{C}$. Pense à $\sqrt{|\Delta|}$ (valeur absolue sous la racine), multiplié par $i$.
Quiz - Nombres complexes : forme algébrique
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Nombres complexes : forme algébrique et géométrie, extraits du quiz de révision.
Que vaut $i^2$ ?
Réponse :
$-1$
Par définition, $i$ est le nombre tel que $i^2 = -1$. C'est la propriété fondatrice des complexes ; tout le calcul en découle.
La partie imaginaire de $z = 3 - 5i$ est :
Réponse :
$-5$
$z = a + bi$ avec $a = 3$ et $b = -5$. La partie imaginaire est le réel $b = -5$, et non $-5i$.
Le conjugué de $z = 2 + 3i$ est :
Réponse :
$2 - 3i$
On change le signe de la partie imaginaire : $\overline{a + bi} = a - bi$, donc $\overline{z} = 2 - 3i$.
Le module de $z = 3 + 4i$ vaut :
Réponse :
$5$
$|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$. Erreur fréquente : confondre $|z|$ et $a + b = 7$.