Sciences de l'ingénieur (Spé) — Mécanique
Dynamique des systèmes : PFD, théorème de l'énergie cinétique
Principe fondamental de la dynamique en translation et rotation, théorème de l'énergie cinétique, application aux systèmes mécaniques
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Résumé
La dynamique relie les forces appliquées à un système à son mouvement. Pierre angulaire : le Principe Fondamental de la Dynamique (PFD), la deuxième loi de Newton, qui s'écrit en translation $\sum \vec{F}_{ext} = m\,\vec{a}_G$, où $m$ est la masse et $\vec{a}_G$ l'accélération du centre de gravité. Un chariot de $50\ \mathrm{kg}$ poussé par $200\ \mathrm{N}$ contre un frottement de $50\ \mathrm{N}$ accélère à $a = \dfrac{200 - 50}{50} = 3\ \mathrm{m/s^2}$. En rotation autour d'un axe fixe, le PFD devient $\sum M_\Delta = J_\Delta\,\alpha$, où $J_\Delta$ est le moment d'inertie et $\alpha$ l'accélération angulaire. Quand on cherche une vitesse ou un travail sans passer par l'accélération, le théorème de l'énergie cinétique (TEC) est plus direct : $\Delta E_c = \sum W(\vec{F}_{ext})$. Pour arrêter une voiture de $1000\ \mathrm{kg}$ roulant à $20\ \mathrm{m/s}$, le freinage doit dissiper $\tfrac12 m v^2 = 200\ \mathrm{kJ}$. Choisir entre PFD et TEC selon la question posée : voilà tout l'art de la dynamique.
Le PFD en translation est la deuxième loi de Newton : la somme des forces extérieures égale la masse fois l'accélération du centre de gravité. C'est une équation vectorielle que l'on projette sur des axes pour obtenir des équations scalaires résolubles. Avant tout calcul, on dresse le bilan des forces appliquées au système isolé.
PFD : $\sum \vec{F}_{ext} = m\,\vec{a}_G$. Sur l'axe horizontal, $F - f = m\,a$ ; sur l'axe vertical, $N - P = 0$.
- PFD : $\sum \vec{F}_{ext} = m\,\vec{a}_G$, où $m$ est la masse et $\vec{a}_G$ l'accélération du centre de gravité $G$.
- Équation vectorielle : on la projette sur les axes du repère pour obtenir des équations scalaires.
- Le poids $\vec{P} = m\,\vec{g}$ est dirigé vers le bas, avec $g \approx 9{,}81\ \mathrm{m/s^2}$.
- Le frottement s'oppose au mouvement : $f = \mu\,N$, où $\mu$ est le coefficient de frottement et $N$ la réaction normale.
- Le PFD n'est valable que dans un référentiel galiléen (le référentiel terrestre, en première approximation).
- Si $\sum \vec{F}_{ext} = \vec{0}$, alors $\vec{a}_G = \vec{0}$ : c'est le principe d'inertie (mouvement rectiligne uniforme ou repos).
Exemple
Un ascenseur de $m = 800\ \mathrm{kg}$ accélère vers le haut à $a = 1{,}5\ \mathrm{m/s^2}$. Sur l'axe vertical (orienté vers le haut), le PFD donne $T - P = m\,a$, donc la tension du câble vaut $T = m(g + a) = 800 \times (9{,}81 + 1{,}5) \approx 9048\ \mathrm{N}$. La tension dépasse le poids ($800 \times 9{,}81 = 7848\ \mathrm{N}$) car il faut en plus accélérer la cabine.
Piège à éviter
N'écris jamais $\sum \vec{F} = m\,\vec{v}$ : le PFD relie les forces à l'accélération $\vec{a}$, pas à la vitesse. Un objet peut aller très vite avec une accélération nulle (vitesse constante) et donc une résultante des forces nulle.
Pour un solide tournant autour d'un axe fixe $\Delta$, le PFD prend une forme analogue, où le moment d'inertie $J_\Delta$ joue le rôle de la masse et l'accélération angulaire $\alpha$ celui de l'accélération. Ce sont les moments des forces (et non les forces elles-mêmes) qui mettent en rotation.
- PFD en rotation : $\sum M_\Delta(\vec{F}_{ext}) = J_\Delta\,\alpha$, où $J_\Delta$ est le moment d'inertie autour de $\Delta$ et $\alpha$ l'accélération angulaire en $\mathrm{rad/s^2}$.
- Le moment d'inertie dépend de la répartition des masses : disque $J = \tfrac12 m R^2$, barre (axe central) $J = \tfrac{1}{12} m L^2$.
- Moment d'une force : $M_\Delta(\vec{F}) = F \times d$, où $d$ est le bras de levier (distance perpendiculaire de l'axe à la ligne d'action).
- Un couple moteur $C$ provoque, sans frottement, l'accélération angulaire $\alpha = \dfrac{C}{J_\Delta}$.
- Théorème de Huygens : pour un axe parallèle à celui passant par $G$, $J_\Delta = J_G + m\,d^2$.
- Analogie avec la translation : $\vec{F} \leftrightarrow M_\Delta$, $m \leftrightarrow J_\Delta$, $\vec{a} \leftrightarrow \alpha$.
Exemple
Un volant d'inertie de $J_\Delta = 0{,}5\ \mathrm{kg{\cdot}m^2}$ reçoit un couple moteur $C = 2\ \mathrm{N{\cdot}m}$. Son accélération angulaire vaut $\alpha = \dfrac{C}{J_\Delta} = \dfrac{2}{0{,}5} = 4\ \mathrm{rad/s^2}$. Partant du repos, il atteint $\omega = 100\ \mathrm{rad/s}$ en $t = \dfrac{\omega}{\alpha} = \dfrac{100}{4} = 25\ \mathrm{s}$.
Piège à éviter
Le moment d'inertie $J$ n'est pas la masse : un même solide a un $J$ différent selon l'axe choisi. Appliquer $J = \tfrac12 m R^2$ (axe central du disque) à un axe décalé est faux : il faut alors le théorème de Huygens $J_\Delta = J_G + m\,d^2$.
Le TEC offre une voie énergétique : la variation d'énergie cinétique d'un système égale la somme des travaux des forces extérieures. Grand avantage : c'est une équation scalaire, sans projection vectorielle, idéale pour trouver une vitesse ou un travail directement.
- TEC : $\Delta E_c = E_{c,\text{finale}} - E_{c,\text{initiale}} = \sum W(\vec{F}_{ext})$.
- Énergie cinétique de translation : $E_c = \tfrac12 m v^2$ ; de rotation : $E_c = \tfrac12 J \omega^2$.
- Travail d'une force constante : $W(\vec{F}) = F \times d \times \cos\alpha$, où $\alpha$ est l'angle entre $\vec{F}$ et le déplacement.
- Travail du poids : $W(\vec{P}) = m\,g\,(z_A - z_B) = m\,g\,\Delta h$, positif en descente, négatif en montée.
- Une force perpendiculaire au déplacement ne travaille pas ($\cos 90^\circ = 0$) : c'est le cas de la réaction normale.
- Le TEC étant scalaire, il évite la projection sur des axes : un atout pour les plans inclinés et les distances de freinage.
Exemple
Une caisse part du repos en haut d'un plan incliné, $h = 5\ \mathrm{m}$ de dénivelé, frottements négligés. Le TEC s'écrit $\tfrac12 m v^2 - 0 = m\,g\,h$, d'où $v = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 \times 9{,}81 \times 5} \approx 9{,}9\ \mathrm{m/s}$. La masse n'intervient pas : la vitesse en bas ne dépend que de la hauteur.
Piège à éviter
Dans $W(\vec{F}) = F\,d\cos\alpha$, $\alpha$ est l'angle entre la force et le déplacement, pas l'angle du plan incliné. Oublier le $\cos\alpha$ (ou prendre le mauvais angle) est l'erreur la plus fréquente du calcul de travail.
Face à un problème de dynamique, le bon réflexe est de choisir l'outil adapté à la grandeur cherchée : le PFD pour une accélération ou une force, le TEC pour une vitesse ou un travail. Une méthode rigoureuse évite la plupart des erreurs.
- Étape 1 : isoler le système, préciser le référentiel galiléen, faire le bilan des forces extérieures.
- Étape 2 : choisir la méthode — PFD si on cherche $\vec{a}$ ou une force, TEC si on cherche une vitesse ou un travail.
- Étape 3 (PFD) : projeter $\sum \vec{F} = m\,\vec{a}$ sur les axes pertinents et résoudre le système d'équations.
- Étape 3 (TEC) : calculer $E_{c,i}$, $E_{c,f}$ et le travail de chaque force, puis appliquer $\Delta E_c = \sum W$.
- Vérifier l'homogénéité : forces en $\mathrm{N}$, moments en $\mathrm{N{\cdot}m}$, énergie en $\mathrm{J}$, puissance en $\mathrm{W}$.
- Vérifier la cohérence : signe de l'accélération, ordre de grandeur du résultat — a-t-il un sens physique ?
Exemple
Distance de freinage d'une voiture de $m = 1000\ \mathrm{kg}$ à $v = 20\ \mathrm{m/s}$, force de freinage $F = 5000\ \mathrm{N}$. On cherche une distance : le TEC s'impose. $0 - \tfrac12 m v^2 = -F \times d$, donc $d = \dfrac{m v^2}{2F} = \dfrac{1000 \times 20^2}{2 \times 5000} = 40\ \mathrm{m}$. L'énergie dissipée est $\tfrac12 m v^2 = 200\ \mathrm{kJ}$.
Piège à éviter
Ne mélange pas les deux méthodes au sein d'une même équation. Le PFD donne une accélération (en $\mathrm{m/s^2}$), le TEC une énergie (en $\mathrm{J}$) : écrire $\Delta E_c = m\,a$ est dimensionnellement faux. Choisis une méthode et va au bout.
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Dynamique des systèmes : PFD, théorème de l'énergie cinétique, extraits du quiz de révision.
Quelle est l'expression du PFD en translation ?
Réponse :
$\sum \vec{F}_{ext} = m\,\vec{a}_G$
Le PFD (deuxième loi de Newton) en translation s'écrit $\sum \vec{F}_{ext} = m\,\vec{a}_G$ : la somme vectorielle des forces extérieures égale la masse fois l'accélération du centre de gravité. Il relie les forces à l'accélération, jamais à la vitesse.
Quel est le moment d'inertie d'un disque plein de masse $m$ et de rayon $R$ par rapport à son axe ?
Réponse :
$\tfrac12 m R^2$
Le moment d'inertie d'un disque plein homogène par rapport à son axe de symétrie vaut $J = \tfrac12 m R^2$. La formule $\tfrac{2}{5} m R^2$ correspond à une sphère pleine, et $\tfrac{1}{12} m L^2$ à une barre autour de son centre.
Le théorème de l'énergie cinétique s'écrit :
Réponse :
$\Delta E_c = \sum W(\vec{F}_{ext})$
Le TEC énonce que la variation d'énergie cinétique $\Delta E_c$ égale la somme des travaux de toutes les forces extérieures. C'est une équation scalaire, très efficace pour trouver une vitesse.
Un objet de $2\ \mathrm{kg}$ passe de $0$ à $10\ \mathrm{m/s}$. Quelle est la variation de son énergie cinétique ?
Réponse :
$100\ \mathrm{J}$
$\Delta E_c = \tfrac12 m v^2 - 0 = \tfrac12 \times 2 \times 10^2 = 100\ \mathrm{J}$. Attention à élever la vitesse au carré : doubler la vitesse quadruple l'énergie cinétique.