Sciences de l'ingénieur (Spé) — Mécanique
Cinématique : translation, rotation et composition de mouvements
Mouvement de translation rectiligne et circulaire, rotation autour d'un axe fixe, composition de mouvements, torseur cinématique
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
La cinématique décrit les mouvements sans se soucier des forces qui les causent : positions, vitesses, accélérations. En translation rectiligne, tous les points du solide ont la même vitesse et suivent des droites parallèles (un tiroir dans sa glissière). En rotation autour d'un axe fixe, chaque point décrit un cercle, et sa vitesse vaut $v = R\,\omega$, où $\omega$ est la vitesse angulaire en $\mathrm{rad/s}$ : le bout d'une pale d'éolienne de $40\ \mathrm{m}$ tournant à $2\ \mathrm{rad/s}$ file à $80\ \mathrm{m/s}$. La composition des mouvements s'applique quand un solide se déplace par rapport à un autre lui-même en mouvement : $\vec{V}(M \in S_1/R_0) = \vec{V}(M \in S_1/S_2) + \vec{V}(M \in S_2/R_0)$ — comme un passager marchant dans un train. Enfin, le centre instantané de rotation (CIR), point de vitesse nulle à un instant donné, permet de reconstruire graphiquement toutes les vitesses d'un solide en mouvement plan. La cinématique, c'est la grammaire du mouvement, préalable à toute dynamique.
Un solide est en translation quand le vecteur reliant deux de ses points reste constant au cours du temps : tous les points ont, à chaque instant, le même vecteur vitesse. La trajectoire peut être une droite (translation rectiligne) ou une courbe (translation curviligne), mais elle est identique pour tous les points.
- En translation, le vecteur $\overrightarrow{AB}$ entre deux points du solide reste constant : même vitesse pour tous les points.
- Mouvement rectiligne uniforme (MRU) : $v = \text{cte}$, $a = 0$, et $x(t) = x_0 + v\,t$.
- Mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA) : $a = \text{cte}$, $v(t) = v_0 + a\,t$, $x(t) = x_0 + v_0 t + \tfrac12 a t^2$.
- Formule sans le temps : $v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)$, qui relie directement vitesse et position.
- Translation curviligne : trajectoire courbe, mais tous les points décrivent la même courbe (ex : nacelle d'une grande roue, qui reste horizontale).
Exemple
Une voiture passe de $v_0 = 10\ \mathrm{m/s}$ à $v = 30\ \mathrm{m/s}$ avec $a = 2\ \mathrm{m/s^2}$. Distance parcourue, sans calculer le temps : $v^2 = v_0^2 + 2a\,\Delta x$, d'où $\Delta x = \dfrac{v^2 - v_0^2}{2a} = \dfrac{30^2 - 10^2}{2 \times 2} = \dfrac{800}{4} = 200\ \mathrm{m}$.
Piège à éviter
Translation ne veut pas dire rectiligne : la nacelle d'une grande roue est en translation curviligne (elle ne tourne pas sur elle-même) bien que sa trajectoire soit un cercle. Ce qui définit la translation, c'est que $\overrightarrow{AB}$ reste constant, pas la forme de la trajectoire.
Dans une rotation autour d'un axe fixe, chaque point décrit un cercle centré sur l'axe. La grandeur clé est la vitesse angulaire $\omega$, commune à tous les points ; la vitesse linéaire d'un point, elle, croît avec son éloignement de l'axe selon $v = R\,\omega$.
La vitesse $\vec{v}$ est tangente au cercle et perpendiculaire au rayon ; sa norme vaut $v = R\,\omega$, donc plus $R$ est grand, plus $v$ est élevée.
- Chaque point décrit un cercle centré sur l'axe, dans un plan perpendiculaire à celui-ci.
- Position angulaire $\theta(t)$ en $\mathrm{rad}$, vitesse angulaire $\omega = \dfrac{d\theta}{dt}$ en $\mathrm{rad/s}$, accélération angulaire $\alpha = \dfrac{d\omega}{dt}$ en $\mathrm{rad/s^2}$.
- Vitesse d'un point à distance $R$ de l'axe : $v = R\,\omega$, tangente au cercle.
- Accélération tangentielle $a_t = R\,\alpha$ ; accélération normale (centripète) $a_n = R\,\omega^2 = \dfrac{v^2}{R}$.
- Rotation uniforme : $\omega = \text{cte}$, $\theta(t) = \theta_0 + \omega t$ ; période $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$, fréquence $f = \dfrac{1}{T}$.
- Conversion fréquente : $N$ en $\mathrm{tr/min}$ vers $\omega$ en $\mathrm{rad/s}$ par $\omega = \dfrac{2\pi N}{60}$.
Exemple
Un moteur tourne à $N = 3000\ \mathrm{tr/min}$. En $\mathrm{rad/s}$ : $\omega = \dfrac{2\pi N}{60} = \dfrac{2\pi \times 3000}{60} = 100\pi \approx 314\ \mathrm{rad/s}$. Un point situé à $R = 0{,}05\ \mathrm{m}$ de l'axe a une vitesse $v = R\,\omega = 0{,}05 \times 314 \approx 15{,}7\ \mathrm{m/s}$.
Piège à éviter
Dans $v = R\,\omega$, l'angle doit être en radians et $\omega$ en $\mathrm{rad/s}$. Si la vitesse est donnée en $\mathrm{tr/min}$, convertis d'abord par $\omega = \dfrac{2\pi N}{60}$ : appliquer la formule avec des $\mathrm{tr/min}$ donne un résultat faux d'un facteur $\dfrac{2\pi}{60}$.
Quand un mobile se déplace par rapport à un support lui-même en mouvement, sa vitesse par rapport au sol s'obtient en additionnant la vitesse relative et la vitesse d'entraînement. C'est la loi de composition des vitesses, essentielle pour les mécanismes à plusieurs étages.
- Loi de composition : $\vec{V}(M \in S_1/R_0) = \vec{V}(M \in S_1/S_2) + \vec{V}(M \in S_2/R_0)$.
- $\vec{V}(M \in S_1/S_2)$ est la vitesse relative, $\vec{V}(M \in S_2/R_0)$ la vitesse d'entraînement.
- C'est une somme vectorielle : on tient compte des directions, pas seulement des normes.
- Elle se généralise à $n$ solides : $\vec{V}(M/R_0) = \vec{V}(M/S_1) + \vec{V}(S_1/S_2) + \dots + \vec{V}(S_n/R_0)$.
- Pour les accélérations, un terme supplémentaire de Coriolis apparaît en cas de rotation du repère intermédiaire.
- Loi fondamentale pour analyser les réducteurs, bras articulés et tout mécanisme à étages cinématiques.
Exemple
Un passager marche à $\vec{V}(M/\text{train}) = 1{,}5\ \mathrm{m/s}$ vers l'avant d'un train roulant à $\vec{V}(\text{train}/\text{sol}) = 30\ \mathrm{m/s}$. Les deux vitesses étant colinéaires et de même sens, $V(M/\text{sol}) = 1{,}5 + 30 = 31{,}5\ \mathrm{m/s}$. S'il marchait vers l'arrière, on aurait $30 - 1{,}5 = 28{,}5\ \mathrm{m/s}$.
Piège à éviter
La composition des vitesses est une somme vectorielle, pas une simple addition de nombres. Si les vitesses ne sont pas colinéaires (passager traversant le wagon), il faut additionner les vecteurs (Pythagore ou projection), pas leurs normes.
En mouvement plan, à chaque instant il existe un point particulier de vitesse nulle : le centre instantané de rotation (CIR). Tout se passe, à cet instant, comme si le solide tournait autour de lui — ce qui permet de construire graphiquement les vitesses de tous les points.
- Le CIR est le point du plan ayant une vitesse nulle à l'instant considéré.
- Tous les vecteurs vitesse du solide sont perpendiculaires à la droite joignant chaque point au CIR.
- Roulement sans glissement d'une roue sur le sol : le CIR est le point de contact roue/sol (vitesse nulle car pas de glissement).
- Le CIR permet de déterminer graphiquement la direction et la norme des vitesses : $v_M = \omega \times (\text{distance } M\text{–CIR})$.
- Si le CIR est rejeté à l'infini, toutes les vitesses sont parallèles et égales : le mouvement instantané est une translation pure.
Exemple
Une roue de rayon $R = 0{,}3\ \mathrm{m}$ roule sans glisser à $\omega = 10\ \mathrm{rad/s}$. Le CIR est le point de contact $I$. Le centre de la roue, à distance $R$ du CIR, a pour vitesse $v_O = \omega \times R = 10 \times 0{,}3 = 3\ \mathrm{m/s}$. Le sommet de la roue, à distance $2R$ du CIR, va deux fois plus vite : $v = 6\ \mathrm{m/s}$.
Piège à éviter
Le CIR n'est pas le centre de gravité ni le centre géométrique : c'est le point de vitesse nulle, qui peut être hors du solide et qui change de position à chaque instant. Pour une roue qui roule, il est au point de contact, pas au centre.
Quiz - Cinématique : translation, rotation, composition
10 questions
S'entraîner
- Quiz : Cinématique : translation, rotation et composition de mouvements10 questions corrigées sur ce chapitre
- Bac 2026 Sciences de l'ingénieur – MétropoleSujet officiel
- Bac 2025 Sciences de l'ingénieur – MétropoleSujet officiel
- Bac 2024 Sciences de l'ingénieur – MétropoleSujet officiel
- Annales du bac de Sciences de l'ingénieurTous les sujets officiels, par année
Ce thème dans une autre classe
Articles utiles
Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Cinématique : translation, rotation et composition de mouvements, extraits du quiz de révision.
En translation, quelle propriété est caractéristique ?
Réponse :
Le vecteur reliant deux points quelconques du solide reste constant
En translation, le vecteur $\overrightarrow{AB}$ reliant deux points du solide ne change ni de direction ni de norme : tous les points ont le même vecteur vitesse à chaque instant. La trajectoire peut être rectiligne ou curviligne.
La vitesse d'un point situé à $0{,}5\ \mathrm{m}$ de l'axe d'un moteur tournant à $100\ \mathrm{rad/s}$ vaut :
Réponse :
$50\ \mathrm{m/s}$
$v = R\,\omega = 0{,}5 \times 100 = 50\ \mathrm{m/s}$. La vitesse linéaire croît proportionnellement à la distance à l'axe : un point deux fois plus loin irait deux fois plus vite.
Comment convertir $N = 3000\ \mathrm{tr/min}$ en $\mathrm{rad/s}$ ?
Réponse :
$\omega = \dfrac{2\pi \times 3000}{60}$
La conversion se fait par $\omega = \dfrac{2\pi N}{60}$, soit $\omega = \dfrac{2\pi \times 3000}{60} = 100\pi \approx 314\ \mathrm{rad/s}$. Le $2\pi$ convertit les tours en radians, le $60$ les minutes en secondes.
Dans un MRUA, quelle formule relie $v$, $v_0$, $a$ et $x$ sans le temps ?
Réponse :
$v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)$
La relation $v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)$ relie directement la vitesse à la position sans faire intervenir le temps : idéale quand on cherche une distance d'accélération ou de freinage.