Sciences de l'ingénieur (Spé) — Mécanique
Cinématique : translation, rotation et composition de mouvements
Mouvement de translation rectiligne et circulaire, rotation autour d'un axe fixe, composition de mouvements, torseur cinématique
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
La **cinématique** décrit les mouvements **sans se soucier des forces** qui les causent : positions, vitesses, accélérations. En **translation rectiligne**, tous les points du solide ont la même vitesse et suivent des droites parallèles (un tiroir dans sa glissière). En **rotation** autour d'un axe fixe, chaque point décrit un cercle, et sa vitesse vaut $v = R\,\omega$, où $\omega$ est la vitesse angulaire en $\mathrm{rad/s}$ : le bout d'une pale d'éolienne de $40\ \mathrm{m}$ tournant à $2\ \mathrm{rad/s}$ file à $80\ \mathrm{m/s}$. La **composition des mouvements** s'applique quand un solide se déplace par rapport à un autre lui-même en mouvement : $\vec{V}(M \in S_1/R_0) = \vec{V}(M \in S_1/S_2) + \vec{V}(M \in S_2/R_0)$ — comme un passager marchant dans un train. Enfin, le **centre instantané de rotation** (CIR), point de vitesse nulle à un instant donné, permet de reconstruire graphiquement toutes les vitesses d'un solide en mouvement plan. La cinématique, c'est la grammaire du mouvement, préalable à toute dynamique.
Un solide est en **translation** quand le **vecteur reliant deux de ses points reste constant** au cours du temps : tous les points ont, à chaque instant, le **même vecteur vitesse**. La trajectoire peut être une droite (translation rectiligne) ou une courbe (translation curviligne), mais elle est **identique** pour tous les points.
- En translation, le vecteur $\overrightarrow{AB}$ entre deux points du solide reste **constant** : même vitesse pour tous les points.
- **Mouvement rectiligne uniforme** (MRU) : $v = \text{cte}$, $a = 0$, et $x(t) = x_0 + v\,t$.
- **Mouvement rectiligne uniformément accéléré** (MRUA) : $a = \text{cte}$, $v(t) = v_0 + a\,t$, $x(t) = x_0 + v_0 t + \tfrac12 a t^2$.
- Formule **sans le temps** : $v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)$, qui relie directement vitesse et position.
- **Translation curviligne** : trajectoire courbe, mais tous les points décrivent la **même** courbe (ex : nacelle d'une grande roue, qui reste horizontale).
Exemple
Une voiture passe de $v_0 = 10\ \mathrm{m/s}$ à $v = 30\ \mathrm{m/s}$ avec $a = 2\ \mathrm{m/s^2}$. Distance parcourue, sans calculer le temps : $v^2 = v_0^2 + 2a\,\Delta x$, d'où $\Delta x = \dfrac{v^2 - v_0^2}{2a} = \dfrac{30^2 - 10^2}{2 \times 2} = \dfrac{800}{4} = 200\ \mathrm{m}$.
Piège à éviter
Translation ne veut pas dire rectiligne : la nacelle d'une grande roue est en **translation curviligne** (elle ne tourne pas sur elle-même) bien que sa trajectoire soit un cercle. Ce qui définit la translation, c'est que $\overrightarrow{AB}$ reste constant, pas la forme de la trajectoire.
Dans une **rotation** autour d'un axe fixe, chaque point décrit un **cercle** centré sur l'axe. La grandeur clé est la **vitesse angulaire** $\omega$, commune à tous les points ; la vitesse linéaire d'un point, elle, **croît avec son éloignement** de l'axe selon $v = R\,\omega$.
- Chaque point décrit un **cercle** centré sur l'axe, dans un plan perpendiculaire à celui-ci.
- Position angulaire $\theta(t)$ en $\mathrm{rad}$, vitesse angulaire $\omega = \dfrac{d\theta}{dt}$ en $\mathrm{rad/s}$, accélération angulaire $\alpha = \dfrac{d\omega}{dt}$ en $\mathrm{rad/s^2}$.
- **Vitesse d'un point** à distance $R$ de l'axe : $v = R\,\omega$, **tangente** au cercle.
- Accélération **tangentielle** $a_t = R\,\alpha$ ; accélération **normale** (centripète) $a_n = R\,\omega^2 = \dfrac{v^2}{R}$.
- **Rotation uniforme** : $\omega = \text{cte}$, $\theta(t) = \theta_0 + \omega t$ ; période $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$, fréquence $f = \dfrac{1}{T}$.
- Conversion **fréquente** : $N$ en $\mathrm{tr/min}$ vers $\omega$ en $\mathrm{rad/s}$ par $\omega = \dfrac{2\pi N}{60}$.
Exemple
Un moteur tourne à $N = 3000\ \mathrm{tr/min}$. En $\mathrm{rad/s}$ : $\omega = \dfrac{2\pi N}{60} = \dfrac{2\pi \times 3000}{60} = 100\pi \approx 314\ \mathrm{rad/s}$. Un point situé à $R = 0{,}05\ \mathrm{m}$ de l'axe a une vitesse $v = R\,\omega = 0{,}05 \times 314 \approx 15{,}7\ \mathrm{m/s}$.
Piège à éviter
Dans $v = R\,\omega$, l'angle doit être en **radians** et $\omega$ en $\mathrm{rad/s}$. Si la vitesse est donnée en $\mathrm{tr/min}$, convertis **d'abord** par $\omega = \dfrac{2\pi N}{60}$ : appliquer la formule avec des $\mathrm{tr/min}$ donne un résultat faux d'un facteur $\dfrac{2\pi}{60}$.
Quand un mobile se déplace **par rapport à un support lui-même en mouvement**, sa vitesse par rapport au sol s'obtient en **additionnant** la vitesse relative et la vitesse d'entraînement. C'est la **loi de composition des vitesses**, essentielle pour les mécanismes à plusieurs étages.
- **Loi de composition** : $\vec{V}(M \in S_1/R_0) = \vec{V}(M \in S_1/S_2) + \vec{V}(M \in S_2/R_0)$.
- $\vec{V}(M \in S_1/S_2)$ est la **vitesse relative**, $\vec{V}(M \in S_2/R_0)$ la **vitesse d'entraînement**.
- C'est une **somme vectorielle** : on tient compte des directions, pas seulement des normes.
- Elle se **généralise** à $n$ solides : $\vec{V}(M/R_0) = \vec{V}(M/S_1) + \vec{V}(S_1/S_2) + \dots + \vec{V}(S_n/R_0)$.
- Pour les **accélérations**, un terme supplémentaire de **Coriolis** apparaît en cas de rotation du repère intermédiaire.
- Loi fondamentale pour analyser les **réducteurs**, **bras articulés** et tout mécanisme à étages cinématiques.
Exemple
Un passager marche à $\vec{V}(M/\text{train}) = 1{,}5\ \mathrm{m/s}$ vers l'avant d'un train roulant à $\vec{V}(\text{train}/\text{sol}) = 30\ \mathrm{m/s}$. Les deux vitesses étant **colinéaires et de même sens**, $V(M/\text{sol}) = 1{,}5 + 30 = 31{,}5\ \mathrm{m/s}$. S'il marchait vers l'arrière, on aurait $30 - 1{,}5 = 28{,}5\ \mathrm{m/s}$.
Piège à éviter
La composition des vitesses est une **somme vectorielle**, pas une simple addition de nombres. Si les vitesses ne sont pas colinéaires (passager traversant le wagon), il faut additionner les **vecteurs** (Pythagore ou projection), pas leurs normes.
En **mouvement plan**, à chaque instant il existe un point particulier de **vitesse nulle** : le **centre instantané de rotation** (CIR). Tout se passe, à cet instant, comme si le solide tournait autour de lui — ce qui permet de **construire graphiquement** les vitesses de tous les points.
- Le **CIR** est le point du plan ayant une **vitesse nulle** à l'instant considéré.
- Tous les vecteurs vitesse du solide sont **perpendiculaires** à la droite joignant chaque point au CIR.
- **Roulement sans glissement** d'une roue sur le sol : le CIR est le **point de contact** roue/sol (vitesse nulle car pas de glissement).
- Le CIR permet de déterminer **graphiquement** la direction et la norme des vitesses : $v_M = \omega \times (\text{distance } M\text{–CIR})$.
- Si le CIR est **rejeté à l'infini**, toutes les vitesses sont parallèles et égales : le mouvement instantané est une **translation pure**.
Exemple
Une roue de rayon $R = 0{,}3\ \mathrm{m}$ roule sans glisser à $\omega = 10\ \mathrm{rad/s}$. Le CIR est le point de contact $I$. Le centre de la roue, à distance $R$ du CIR, a pour vitesse $v_O = \omega \times R = 10 \times 0{,}3 = 3\ \mathrm{m/s}$. Le sommet de la roue, à distance $2R$ du CIR, va deux fois plus vite : $v = 6\ \mathrm{m/s}$.
Piège à éviter
Le CIR n'est **pas** le centre de gravité ni le centre géométrique : c'est le point de **vitesse nulle**, qui peut être **hors** du solide et qui **change de position** à chaque instant. Pour une roue qui roule, il est au point de contact, pas au centre.
Quiz - Cinématique : translation, rotation, composition
10 questions
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Cinématique : translation, rotation et composition de mouvements, extraits du quiz de révision.
En translation, quelle propriété est caractéristique ?
Réponse :
Le vecteur reliant deux points quelconques du solide reste constant
En translation, le vecteur $\overrightarrow{AB}$ reliant deux points du solide ne change ni de direction ni de norme : tous les points ont le **même vecteur vitesse** à chaque instant. La trajectoire peut être rectiligne ou curviligne.
La vitesse d'un point situé à $0{,}5\ \mathrm{m}$ de l'axe d'un moteur tournant à $100\ \mathrm{rad/s}$ vaut :
Réponse :
$50\ \mathrm{m/s}$
$v = R\,\omega = 0{,}5 \times 100 = 50\ \mathrm{m/s}$. La vitesse linéaire croît proportionnellement à la distance à l'axe : un point deux fois plus loin irait deux fois plus vite.
Comment convertir $N = 3000\ \mathrm{tr/min}$ en $\mathrm{rad/s}$ ?
Réponse :
$\omega = \dfrac{2\pi \times 3000}{60}$
La conversion se fait par $\omega = \dfrac{2\pi N}{60}$, soit $\omega = \dfrac{2\pi \times 3000}{60} = 100\pi \approx 314\ \mathrm{rad/s}$. Le $2\pi$ convertit les tours en radians, le $60$ les minutes en secondes.
Dans un MRUA, quelle formule relie $v$, $v_0$, $a$ et $x$ sans le temps ?
Réponse :
$v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)$
La relation $v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)$ relie directement la vitesse à la position sans faire intervenir le temps : idéale quand on cherche une distance d'accélération ou de freinage.