Sciences de l'ingénieur (Spé) — Mécanique
Statique : PFS, modélisation des liaisons, résolution graphique et analytique
Principe fondamental de la statique, torseur statique des liaisons, résolution par méthode graphique (funiculaire, dynamique) et analytique
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
La **statique** étudie les conditions d'**équilibre** d'un système soumis à des forces. Le **Principe Fondamental de la Statique** (PFS) énonce qu'un solide est en équilibre si la **résultante des forces** extérieures est nulle, $\sum \vec{F}_{ext} = \vec{0}$, **et** si la **somme des moments** en un point quelconque est nulle, $\sum \vec{M}_A(\vec{F}_{ext}) = \vec{0}$. Cela donne $3$ équations scalaires en plan, $6$ en espace, pour trouver les inconnues. Les **liaisons mécaniques** (pivot, glissière, encastrement, rotule…) se modélisent par les composantes qu'elles **transmettent** : une pivot d'axe $z$ laisse libre la rotation autour de $z$ et transmet $5$ composantes. Pour une poutre encastrée à gauche et chargée par $\vec{F}$ à droite, le PFS donne une réaction $R = F$ et un moment d'encastrement $M = F \times L$. On résout soit **analytiquement** (projection sur les axes), soit **graphiquement** : pour un solide sous **3 forces**, celles-ci sont **concourantes** et leur **triangle des forces** se ferme. La statique est la base du dimensionnement des structures et des mécanismes.
Un solide est en **équilibre** quand il ne se déplace ni ne tourne. Le **PFS** traduit cela par **deux conditions** : la **résultante** des forces extérieures est nulle (pas de translation) **et** le **moment résultant** est nul (pas de rotation). Ces deux conditions fournissent les équations qui déterminent les actions inconnues.
- **Condition d'équilibre** : $\sum \vec{F}_{ext} = \vec{0}$ (résultante nulle) **et** $\sum \vec{M}_A(\vec{F}_{ext}) = \vec{0}$ (moment nul en tout point $A$).
- En **2D** (problème plan) : $3$ équations scalaires — $\sum F_x = 0$, $\sum F_y = 0$, $\sum M_A = 0$.
- En **3D** : $6$ équations scalaires — $3$ de forces et $3$ de moments.
- Problème **isostatique** : nombre d'inconnues $\leq$ nombre d'équations, donc résoluble par le seul PFS.
- Problème **hyperstatique** : plus d'inconnues que d'équations ; il faut des conditions supplémentaires (déformations, RDM).
- **Méthode** : isoler le système, faire le **bilan** des actions mécaniques extérieures, puis appliquer le PFS.
Exemple
Une poutre horizontale de longueur $L = 2\ \mathrm{m}$ est **encastrée** à gauche et supporte une charge $F = 300\ \mathrm{N}$ à son extrémité droite. Le PFS donne, sur l'axe vertical, une réaction $R = F = 300\ \mathrm{N}$ ; l'équation des moments à l'encastrement donne le **moment d'encastrement** $M = F \times L = 300 \times 2 = 600\ \mathrm{N{\cdot}m}$.
Piège à éviter
L'équilibre des **forces** ne suffit pas : un solide peut avoir $\sum \vec{F} = \vec{0}$ et **tourner** quand même (cas d'un **couple** de forces). Il faut **toujours** écrire aussi l'équation des **moments** $\sum \vec{M}_A = \vec{0}$.
Chaque **liaison** entre deux pièces autorise certains mouvements (**degrés de liberté**) et en bloque d'autres. Aux mouvements **bloqués** correspondent les **actions transmissibles** : c'est le principe de **dualité** liaison/effort. Connaître le tableau des liaisons normalisées permet d'identifier les inconnues statiques.
- Chaque liaison a un **torseur d'actions transmissibles** défini par ses degrés de liberté : ce qui est **libre** ne transmet pas d'effort, ce qui est **bloqué** en transmet un.
- **Pivot** (axe $z$) : laisse libre la rotation $R_z$, transmet $5$ composantes ($F_x$, $F_y$, $F_z$, $M_x$, $M_y$).
- **Glissière** (axe $x$) : laisse libre la translation $T_x$, transmet $5$ composantes ($F_y$, $F_z$, $M_x$, $M_y$, $M_z$).
- **Rotule** (sphérique) : laisse libres les $3$ rotations, transmet $3$ forces ($F_x$, $F_y$, $F_z$) et **aucun moment**.
- **Encastrement** : aucun degré de liberté, transmet les $6$ composantes ($3$ forces et $3$ moments).
- **Appui plan** : laisse libres $T_x$, $T_z$ et $R_y$, transmet $3$ composantes ($F_y$, $M_x$, $M_z$).
Exemple
Une porte montée sur deux **pivots** (gonds) d'axe vertical $z$ : chaque pivot laisse libre la rotation autour de $z$ (la porte s'ouvre) et transmet les efforts qui maintiennent la porte (poids, traction). Une **rotule** de bras robotisé, elle, autorise les $3$ rotations et ne transmet donc **aucun moment**, seulement des forces.
Piège à éviter
Plus une liaison a de **degrés de liberté**, **moins** elle transmet de composantes : libertés et efforts transmis sont **complémentaires** (leur somme fait $6$). Une rotule (3 libertés) transmet $6 - 3 = 3$ composantes ; un encastrement (0 liberté) en transmet $6$. Inverser cette logique est l'erreur classique.
La méthode **analytique** projette les équations du PFS sur les axes et résout le système obtenu. Sa force réside dans le **choix astucieux du point** où calculer les moments : bien choisi, il **élimine** des inconnues et simplifie radicalement les calculs.
- Projeter $\sum \vec{F} = \vec{0}$ sur les axes $x$, $y$ (et $z$ en 3D) pour obtenir les équations en **forces**.
- Écrire $\sum \vec{M}_A = \vec{0}$ en choisissant le point $A$ pour **éliminer** un maximum d'inconnues.
- **Moment d'une force** : $\vec{M}_A(\vec{F}) = \overrightarrow{AM} \wedge \vec{F}$ (produit vectoriel), ou en plan $M = F \times d$ avec $d$ le **bras de levier**.
- Choisir $A$ **sur la ligne d'action** d'une force inconnue annule son moment ($d = 0$) : une inconnue de moins.
- **Vérification** : une fois les inconnues trouvées, les contrôler avec une équation **non utilisée**.
- **Convention de signe** : un moment est positif dans le sens **trigonométrique** (anti-horaire), négatif dans le sens horaire.
Exemple
Une barre horizontale repose sur deux appuis $A$ et $B$ distants de $L = 3\ \mathrm{m}$ ; une charge $P = 600\ \mathrm{N}$ est appliquée à $1\ \mathrm{m}$ de $A$. Moments en $A$ (pour éliminer $R_A$) : $R_B \times 3 - 600 \times 1 = 0$, d'où $R_B = 200\ \mathrm{N}$. Puis $\sum F_y = 0$ : $R_A + R_B = 600$, donc $R_A = 400\ \mathrm{N}$.
Piège à éviter
Le **bras de levier** $d$ est la distance **perpendiculaire** entre la ligne d'action de la force et le point, **pas** la distance jusqu'au point d'application. Prendre la mauvaise distance (oblique au lieu de perpendiculaire) fausse le moment $M = F \times d$.
Quand un solide n'est soumis qu'à **trois forces**, une méthode **graphique** élégante existe : les trois forces sont **concourantes** et leur **triangle des forces** se ferme à l'équilibre. Rapide et visuelle, elle est idéale pour vérifier un résultat ou traiter un cas simple.
- Solide sous **3 forces** non parallèles : elles sont nécessairement **concourantes** (lignes d'action passant par un même point).
- **Dynamique des forces** : on trace les vecteurs forces **bout à bout** ; à l'équilibre, le polygone se **ferme** ($\sum \vec{F} = \vec{0}$).
- **Méthode pour 3 forces concourantes** : trouver le point de concours de $2$ forces connues, en déduire la direction de la $3^e$, puis fermer le triangle.
- L'**échelle des forces** doit être précisée (ex : $1\ \mathrm{cm} \leftrightarrow 100\ \mathrm{N}$) pour mesurer les normes inconnues.
- Méthode **rapide mais moins précise** que l'analytique ; précieuse pour **vérifier** un calcul ou visualiser l'équilibre.
- Pour **plus de 3 forces**, on emploie le **funiculaire** (épure de Cremona).
Exemple
Une échelle appuyée contre un mur lisse subit $3$ forces : son poids $\vec{P}$ (vertical, vers le bas), la réaction du **mur** $\vec{N_1}$ (horizontale) et la réaction du **sol** $\vec{N_2}$ (oblique). Comme elles sont $3$, elles sont **concourantes** : on trace $\vec{P}$ à l'échelle, puis les directions de $\vec{N_1}$ et $\vec{N_2}$ ferment le triangle, ce qui donne leurs normes par mesure.
Piège à éviter
La méthode des $3$ forces concourantes **ne s'applique qu'à exactement 3 forces** non parallèles. Avec $4$ forces ou plus, ou des forces parallèles, le point de concours n'existe pas : il faut alors la résolution **analytique** ou le **funiculaire**.
Quiz - Statique : PFS et résolution
10 questions
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Statique : PFS, modélisation des liaisons, résolution graphique et analytique, extraits du quiz de révision.
Le PFS en 2D donne combien d'équations scalaires ?
Réponse :
$3$
En problème plan (2D), le PFS fournit $3$ équations : $\sum F_x = 0$, $\sum F_y = 0$ et $\sum M_A = 0$. En 3D, on en obtient $6$ ($3$ forces et $3$ moments).
Combien de degrés de liberté possède une liaison pivot ?
Réponse :
$1$
Une liaison **pivot** ne laisse qu'**un** degré de liberté : la rotation autour de son axe. Elle transmet donc $6 - 1 = 5$ composantes d'effort.
Quelle liaison transmet les 6 composantes du torseur statique ?
Réponse :
Encastrement
L'**encastrement** bloque tous les mouvements ($0$ degré de liberté) et transmet donc les $6$ composantes : $3$ forces et $3$ moments. C'est la liaison la plus « rigide ».
Pour un solide en équilibre sous 3 forces non parallèles, ces forces sont :
Réponse :
Concourantes en un même point
Trois forces non parallèles à l'équilibre sont nécessairement **concourantes** : leurs lignes d'action passent par un même point. De plus, leur triangle des forces se ferme ($\sum \vec{F} = \vec{0}$).