Sciences de l'ingénieur (Spé) — Mécanique
Statique : PFS, modélisation des liaisons, résolution graphique et analytique
Principe fondamental de la statique, torseur statique des liaisons, résolution par méthode graphique (funiculaire, dynamique) et analytique
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
La statique étudie les conditions d'équilibre d'un système soumis à des forces. Le Principe Fondamental de la Statique (PFS) énonce qu'un solide est en équilibre si la résultante des forces extérieures est nulle, $\sum \vec{F}_{ext} = \vec{0}$, et si la somme des moments en un point quelconque est nulle, $\sum \vec{M}_A(\vec{F}_{ext}) = \vec{0}$. Cela donne $3$ équations scalaires en plan, $6$ en espace, pour trouver les inconnues. Les liaisons mécaniques (pivot, glissière, encastrement, rotule…) se modélisent par les composantes qu'elles transmettent : une liaison pivot d'axe $z$ laisse libre la rotation autour de $z$ et transmet $5$ composantes. Pour une poutre encastrée à gauche et chargée par $\vec{F}$ à droite, le PFS donne une réaction $R = F$ et un moment d'encastrement $M = F \times L$. On résout soit analytiquement (projection sur les axes), soit graphiquement : pour un solide sous 3 forces, celles-ci sont concourantes et leur triangle des forces se ferme. La statique est la base du dimensionnement des structures et des mécanismes.
Un solide est en équilibre quand il ne se déplace ni ne tourne. Le PFS traduit cela par deux conditions : la résultante des forces extérieures est nulle (pas de translation) et le moment résultant est nul (pas de rotation). Ces deux conditions fournissent les équations qui déterminent les actions inconnues.
- Condition d'équilibre : $\sum \vec{F}_{ext} = \vec{0}$ (résultante nulle) et $\sum \vec{M}_A(\vec{F}_{ext}) = \vec{0}$ (moment nul en tout point $A$).
- En 2D (problème plan) : $3$ équations scalaires — $\sum F_x = 0$, $\sum F_y = 0$, $\sum M_A = 0$.
- En 3D : $6$ équations scalaires — $3$ de forces et $3$ de moments.
- Problème isostatique : nombre d'inconnues statiques égal au nombre d'équations indépendantes du PFS (degré d'hyperstatisme nul), donc résoluble par le seul PFS. Avec moins d'inconnues que d'équations, le mécanisme est mobile : l'équilibre n'est en général pas possible.
- Problème hyperstatique : plus d'inconnues que d'équations ; il faut des conditions supplémentaires (déformations, RDM).
- Méthode : isoler le système, faire le bilan des actions mécaniques extérieures, puis appliquer le PFS.
Exemple
Une poutre horizontale de longueur $L = 2\ \mathrm{m}$ est encastrée à gauche et supporte une charge $F = 300\ \mathrm{N}$ à son extrémité droite. Le PFS donne, sur l'axe vertical, une réaction $R = F = 300\ \mathrm{N}$ ; l'équation des moments à l'encastrement donne le moment d'encastrement $M = F \times L = 300 \times 2 = 600\ \mathrm{N{\cdot}m}$.
Piège à éviter
L'équilibre des forces ne suffit pas : un solide peut avoir $\sum \vec{F} = \vec{0}$ et tourner quand même (cas d'un couple de forces). Il faut toujours écrire aussi l'équation des moments $\sum \vec{M}_A = \vec{0}$.
Chaque liaison entre deux pièces autorise certains mouvements (degrés de liberté) et en bloque d'autres. Aux mouvements bloqués correspondent les actions transmissibles : c'est le principe de dualité liaison/effort. Connaître le tableau des liaisons normalisées permet d'identifier les inconnues statiques.
- Chaque liaison a un torseur d'actions transmissibles défini par ses degrés de liberté : ce qui est libre ne transmet pas d'effort, ce qui est bloqué en transmet un.
- Pivot (axe $z$) : laisse libre la rotation $R_z$, transmet $5$ composantes ($F_x$, $F_y$, $F_z$, $M_x$, $M_y$).
- Glissière (axe $x$) : laisse libre la translation $T_x$, transmet $5$ composantes ($F_y$, $F_z$, $M_x$, $M_y$, $M_z$).
- Rotule (sphérique) : laisse libres les $3$ rotations, transmet $3$ forces ($F_x$, $F_y$, $F_z$) et aucun moment.
- Encastrement : aucun degré de liberté, transmet les $6$ composantes ($3$ forces et $3$ moments).
- Appui plan : laisse libres $T_x$, $T_z$ et $R_y$, transmet $3$ composantes ($F_y$, $M_x$, $M_z$).
Exemple
Une porte montée sur deux pivots (gonds) d'axe vertical $z$ : chaque pivot laisse libre la rotation autour de $z$ (la porte s'ouvre) et transmet les efforts qui maintiennent la porte (poids, traction). Une rotule de bras robotisé, elle, autorise les $3$ rotations et ne transmet donc aucun moment, seulement des forces.
Piège à éviter
Plus une liaison a de degrés de liberté, moins elle transmet de composantes : libertés et efforts transmis sont complémentaires (leur somme fait $6$). Une rotule (3 libertés) transmet $6 - 3 = 3$ composantes ; un encastrement (0 liberté) en transmet $6$. Inverser cette logique est l'erreur classique.
La méthode analytique projette les équations du PFS sur les axes et résout le système obtenu. Sa force réside dans le choix astucieux du point où calculer les moments : bien choisi, il élimine des inconnues et simplifie radicalement les calculs.
- Projeter $\sum \vec{F} = \vec{0}$ sur les axes $x$, $y$ (et $z$ en 3D) pour obtenir les équations en forces.
- Écrire $\sum \vec{M}_A = \vec{0}$ en choisissant le point $A$ pour éliminer un maximum d'inconnues.
- Moment d'une force : $\vec{M}_A(\vec{F}) = \overrightarrow{AM} \wedge \vec{F}$ (produit vectoriel), ou en plan $M = F \times d$ avec $d$ le bras de levier.
- Choisir $A$ sur la ligne d'action d'une force inconnue annule son moment ($d = 0$) : une inconnue de moins.
- Vérification : une fois les inconnues trouvées, les contrôler avec une équation non utilisée.
- Convention de signe : un moment est positif dans le sens trigonométrique (anti-horaire), négatif dans le sens horaire.
Exemple
Une barre horizontale repose sur deux appuis $A$ et $B$ distants de $L = 3\ \mathrm{m}$ ; une charge $P = 600\ \mathrm{N}$ est appliquée à $1\ \mathrm{m}$ de $A$. Moments en $A$ (pour éliminer $R_A$) : $R_B \times 3 - 600 \times 1 = 0$, d'où $R_B = 200\ \mathrm{N}$. Puis $\sum F_y = 0$ : $R_A + R_B = 600$, donc $R_A = 400\ \mathrm{N}$.
Piège à éviter
Le bras de levier $d$ est la distance perpendiculaire entre la ligne d'action de la force et le point, pas la distance jusqu'au point d'application. Prendre la mauvaise distance (oblique au lieu de perpendiculaire) fausse le moment $M = F \times d$.
Quand un solide n'est soumis qu'à trois forces, une méthode graphique élégante existe : les trois forces sont concourantes et leur triangle des forces se ferme à l'équilibre. Rapide et visuelle, elle est idéale pour vérifier un résultat ou traiter un cas simple.
À l'équilibre sous $3$ forces : leurs lignes d'action sont concourantes (gauche) et le triangle des forces est fermé (droite), traduisant $\sum \vec{F} = \vec{0}$.
- Solide sous 3 forces non parallèles : elles sont nécessairement concourantes (lignes d'action passant par un même point).
- Dynamique des forces : on trace les vecteurs forces bout à bout ; à l'équilibre, le polygone se ferme ($\sum \vec{F} = \vec{0}$).
- Méthode pour 3 forces concourantes : trouver le point de concours de $2$ forces connues, en déduire la direction de la $3^e$, puis fermer le triangle.
- L'échelle des forces doit être précisée (ex : $1\ \mathrm{cm} \leftrightarrow 100\ \mathrm{N}$) pour mesurer les normes inconnues.
- Méthode rapide mais moins précise que l'analytique ; précieuse pour vérifier un calcul ou visualiser l'équilibre.
- Pour plus de 3 forces, on emploie le polygone funiculaire, associé au dynamique des forces.
Exemple
Une échelle appuyée contre un mur lisse subit $3$ forces : son poids $\vec{P}$ (vertical, vers le bas), la réaction du mur $\vec{N_1}$ (horizontale) et la réaction du sol $\vec{N_2}$ (oblique). Comme elles sont $3$, elles sont concourantes : on trace $\vec{P}$ à l'échelle, puis les directions de $\vec{N_1}$ et $\vec{N_2}$ ferment le triangle, ce qui donne leurs normes par mesure.
Piège à éviter
La méthode des $3$ forces concourantes ne s'applique qu'à exactement 3 forces non parallèles. Avec $4$ forces ou plus, ou des forces parallèles, le point de concours n'existe pas : il faut alors la résolution analytique ou le funiculaire.
Quiz - Statique : PFS et résolution
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Statique : PFS, modélisation des liaisons, résolution graphique et analytique, extraits du quiz de révision.
Le PFS en 2D donne combien d'équations scalaires ?
Réponse :
$3$
En problème plan (2D), le PFS fournit $3$ équations : $\sum F_x = 0$, $\sum F_y = 0$ et $\sum M_A = 0$. En 3D, on en obtient $6$ ($3$ forces et $3$ moments).
Combien de degrés de liberté possède une liaison pivot ?
Réponse :
$1$
Une liaison pivot ne laisse qu'un degré de liberté : la rotation autour de son axe. Elle transmet donc $6 - 1 = 5$ composantes d'effort.
Quelle liaison transmet les 6 composantes du torseur statique ?
Réponse :
Encastrement
L'encastrement bloque tous les mouvements ($0$ degré de liberté) et transmet donc les $6$ composantes : $3$ forces et $3$ moments. C'est la liaison la plus « rigide ».
Pour un solide en équilibre sous 3 forces non parallèles, ces forces sont :
Réponse :
Concourantes en un même point
Trois forces non parallèles à l'équilibre sont nécessairement concourantes : leurs lignes d'action passent par un même point. De plus, leur triangle des forces se ferme ($\sum \vec{F} = \vec{0}$).