Physique-Chimie (Spé) — L'énergie : conversions et transferts
Circuit RC
Charge et décharge d'un condensateur, constante de temps τ, équation différentielle
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Résumé
Un circuit RC est constitué d'une résistance $R$ et d'un condensateur de capacité $C$ en série. Le condensateur stocke de l'énergie sous forme électrique : $E = \dfrac{1}{2}C U^2$. Lors de la charge, la tension aux bornes du condensateur croît exponentiellement vers $E$ (f.é.m. du générateur) : $u_C(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$. Lors de la décharge, elle décroît : $u_C(t) = E\,e^{-t/\tau}$. La constante de temps $\tau = RC$ (en $\mathrm{s}$) caractérise la rapidité du processus. Après $5\tau$, le régime permanent est atteint (charge à $99\,\%$). L'équation différentielle du circuit en charge est $\tau\,\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + u_C = E$, obtenue par la loi des mailles et les relations $u_R = Ri$ et $i = C\,\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}$.
Le condensateur stocke de l'énergie sous forme électrique, comme un petit « réservoir de charges ». C'est un composant clé des circuits RC étudiés au Bac.
- Un condensateur est constitué de deux armatures conductrices séparées par un isolant (diélectrique).
- Il stocke des charges : $q = C\,u_C$, avec $C$ la capacité en farads ($\mathrm{F}$) et $u_C$ la tension.
- Énergie stockée : $E_C = \dfrac{1}{2}\,C\,u_C^2$ (en $\mathrm{J}$).
- L'intensité du courant est liée à la tension par : $i = C\,\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}$.
- Ordres de grandeur : $\mu\mathrm{F}$ (microfarad), $\mathrm{nF}$ (nanofarad), $\mathrm{pF}$ (picofarad).
- Un condensateur chargé se comporte comme un circuit ouvert en régime permanent ($i = 0$).
Exemple
Condensateur $C = 100\ \mu\mathrm{F}$ chargé sous $u_C = 12\ \mathrm{V}$. Énergie stockée : $E = \dfrac{1}{2}\times 100\times 10^{-6}\times 12^2 = 7{,}2\times 10^{-3}\ \mathrm{J} = 7{,}2\ \mathrm{mJ}$. Charge stockée : $q = 100\times 10^{-6}\times 12 = 1{,}2\times 10^{-3}\ \mathrm{C} = 1{,}2\ \mathrm{mC}$.
Piège à éviter
$i = C\,\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}$ signifie qu'un courant ne traverse le condensateur que si sa tension varie. En régime permanent ($u_C$ constante), $i = 0$ : le condensateur se comporte comme un circuit ouvert.
Lors de la charge, la tension aux bornes du condensateur monte progressivement vers $E$ selon une exponentielle croissante. Le courant, lui, part de $\dfrac{E}{R}$ et décroît vers $0$.
Charge : $u_C$ monte vers $E$. Décharge : $u_C$ descend vers $0$. La constante $\tau = RC$ fixe la vitesse.
- Circuit : générateur (f.é.m. $E$) $+$ résistance $R$ $+$ condensateur $C$ en série.
- Loi des mailles : $E = u_R + u_C = Ri + u_C$.
- Avec $i = C\,\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}$ : $\tau\,\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + u_C = E$ (équation différentielle du 1er ordre).
- Solution : $u_C(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$ — croissance exponentielle vers $E$.
- Le courant : $i(t) = \dfrac{E}{R}\,e^{-t/\tau}$ — il est maximal à $t = 0$ et décroît vers $0$.
- À $t = \tau$ : $u_C = E\left(1 - e^{-1}\right) \approx 0{,}63\,E$ ($63\,\%$ de la tension finale).
Exemple
$R = 10\ \mathrm{k\Omega}$, $C = 47\ \mu\mathrm{F}$, $E = 5\ \mathrm{V}$. $\tau = RC = 10^{4}\times 47\times 10^{-6} = 0{,}47\ \mathrm{s}$. À $t = \tau = 0{,}47\ \mathrm{s}$ : $u_C = 5\times 0{,}63 = 3{,}15\ \mathrm{V}$. À $t = 5\tau = 2{,}35\ \mathrm{s}$ : $u_C \approx 5\times 0{,}993 = 4{,}97\ \mathrm{V}$ (charge quasi-complète).
Piège à éviter
L'équation différentielle $\tau\,\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + u_C = E$ n'est valable qu'en charge (avec le générateur). En décharge, le second membre est $0$, pas $E$.
En décharge, le condensateur restitue son énergie à travers la résistance. La tension décroît exponentiellement vers $0$ — c'est la courbe « miroir » de la charge.
- On retire le générateur et on ferme le circuit $R$-$C$.
- Équation différentielle : $\tau\,\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + u_C = 0$.
- Solution : $u_C(t) = E\,e^{-t/\tau}$ — décroissance exponentielle vers $0$.
- Le courant : $i(t) = -\dfrac{E}{R}\,e^{-t/\tau}$ (négatif car il circule en sens inverse).
- À $t = \tau$ : $u_C = E\,e^{-1} \approx 0{,}37\,E$ ($37\,\%$ de la tension initiale).
- L'énergie stockée est dissipée par effet Joule dans la résistance.
Exemple
Condensateur chargé à $E = 10\ \mathrm{V}$, $R = 1\ \mathrm{k\Omega}$, $C = 220\ \mu\mathrm{F}$. $\tau = 1000\times 220\times 10^{-6} = 0{,}22\ \mathrm{s}$. À $t = 0{,}22\ \mathrm{s}$ : $u_C = 10\times 0{,}37 = 3{,}7\ \mathrm{V}$. À $t = 1{,}1\ \mathrm{s}$ ($5\tau$) : $u_C \approx 10\times 0{,}007 = 0{,}07\ \mathrm{V} \approx 0$.
Piège à éviter
Le signe $-$ dans $i(t) = -\dfrac{E}{R}\,e^{-t/\tau}$ indique que le courant circule en sens inverse par rapport à la charge. Le condensateur se décharge : il fournit le courant au lieu de le recevoir.
La constante de temps $\tau = RC$ est le paramètre clé du circuit RC. Elle fixe la vitesse de charge et de décharge : plus $\tau$ est grand, plus c'est lent.
- $\tau = R\times C$ en secondes ($R$ en $\mathrm{\Omega}$, $C$ en $\mathrm{F}$).
- $\tau$ caractérise la rapidité de la charge/décharge : plus $\tau$ est petit, plus c'est rapide.
- Après $5\tau$, le processus est terminé à $99\,\%$ (régime permanent).
- Détermination graphique de $\tau$ : la tangente à l'origine coupe l'asymptote à $t = \tau$.
- Exemple : $R = 10\ \mathrm{k\Omega}$, $C = 100\ \mu\mathrm{F}$ $\rightarrow$ $\tau = 10^{4}\times 10^{-4} = 1\ \mathrm{s}$.
- Vérification dimensionnelle : $[R\times C] = \mathrm{\Omega}\times\mathrm{F} = \dfrac{\mathrm{V}}{\mathrm{A}}\times\dfrac{\mathrm{C}}{\mathrm{V}} = \dfrac{\mathrm{C}}{\mathrm{A}} = \mathrm{s}$.
Exemple
On veut que la charge dure moins de $0{,}5\ \mathrm{s}$ ($5\tau < 0{,}5\ \mathrm{s} \rightarrow \tau < 0{,}1\ \mathrm{s}$). Avec $C = 10\ \mu\mathrm{F}$ : $R < \dfrac{\tau}{C} = \dfrac{0{,}1}{10\times 10^{-6}} = 10\,000\ \mathrm{\Omega} = 10\ \mathrm{k\Omega}$. On choisit $R = 4{,}7\ \mathrm{k\Omega}$ $\rightarrow$ $\tau = 47\ \mathrm{ms}$, charge complète en $\approx 235\ \mathrm{ms}$.
Piège à éviter
Pour déterminer $\tau$ graphiquement, la tangente à l'origine doit couper l'asymptote ($y = E$ en charge, $y = 0$ en décharge). L'abscisse de cette intersection donne $t = \tau$. Autre méthode équivalente : $\tau$ est l'abscisse du point où $u_C = 0{,}63\,E$ (charge) ou $u_C = 0{,}37\,E$ (décharge).
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Circuit RC, extraits du quiz de révision.
La constante de temps d'un circuit RC est :
Réponse :
$\tau = R\times C$
$\tau = R\times C$ en secondes. Plus $R$ ou $C$ est grand, plus la charge/décharge est lente.
Lors de la charge d'un condensateur, $u_C(t)$ :
Réponse :
Croît exponentiellement vers $E$
$u_C(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$ : la tension croît depuis $0$ vers la valeur finale $E$ selon une exponentielle croissante.
Après $5\tau$, le condensateur est chargé à environ :
Réponse :
$99\,\%$
$u_C(5\tau) = E\left(1 - e^{-5}\right) \approx E\times 0{,}993 \approx 99\,\%$. On considère que le régime permanent est atteint après $5\tau$.
L'énergie stockée dans un condensateur est :
Réponse :
$E = \dfrac{1}{2}CU^2$
$E_C = \dfrac{1}{2}\,C\,u_C^2$. L'énergie dépend du carré de la tension : doubler la tension quadruple l'énergie stockée.