Maths expertes — Matrices
Matrices : opérations et propriétés
Définition, addition, multiplication, matrice identité, inverse, déterminant 2×2
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Résumé
Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres : un outil qui range et transforme des données. Une matrice de taille $m \times n$ a $m$ lignes et $n$ colonnes, et on note $a_{ij}$ son coefficient ligne $i$, colonne $j$. On les additionne terme à terme, on les multiplie par un nombre, et surtout on les multiplie entre elles selon une règle « ligne par colonne » qui encode la composition de transformations. Attention : ce produit n'est pas commutatif, $AB \neq BA$ en général — c'est la grande surprise du chapitre. La matrice identité $I_n$ joue le rôle du $1$, et certaines matrices carrées admettent une inverse $A^{-1}$. Pour les matrices $2 \times 2$, tout se lit dans un seul nombre, le déterminant $ad - bc$ : nul, pas d'inverse ; non nul, une inverse explicite.
Avant de calculer, il faut nommer : taille, coefficients, matrices remarquables. Une matrice est entièrement décrite par ses dimensions et ses coefficients $a_{ij}$.
- Une matrice $m \times n$ a $m$ lignes et $n$ colonnes ; notation $A = (a_{ij})$ avec $1 \leq i \leq m$ et $1 \leq j \leq n$.
- Matrice carrée : $m = n$. Matrice colonne : $n = 1$. Matrice ligne : $m = 1$.
- Matrice nulle : tous les coefficients valent $0$.
- Matrice identité $I_n$ : des $1$ sur la diagonale, des $0$ ailleurs. Par exemple $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
- Matrice diagonale : tous les coefficients hors de la diagonale sont nuls.
Exemple
$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ est une matrice $2 \times 3$. Son coefficient $a_{23}$ (ligne $2$, colonne $3$) vaut $6$.
Piège à éviter
L'ordre des indices compte : $a_{ij}$ désigne la ligne $i$ puis la colonne $j$. Et une matrice $2 \times 3$ n'est pas une matrice $3 \times 2$ : on annonce toujours les lignes d'abord.
Ces deux opérations sont les plus simples : tout se fait terme à terme. Elles ne mélangent jamais les coefficients entre eux, contrairement au produit matriciel.
- Somme : $A + B$ se calcule terme à terme, donc $(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ (matrices de même taille).
- Multiple : $\lambda A$ multiplie chaque coefficient par $\lambda$ : $(\lambda A)_{ij} = \lambda\,a_{ij}$.
- Propriétés : $A + B = B + A$, l'addition est associative, la matrice nulle est l'élément neutre.
- $A - B = A + (-1)B$, et $\lambda(A + B) = \lambda A + \lambda B$.
Exemple
Avec $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 5 & -2 \end{pmatrix}$ : $A + B = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 8 & 2 \end{pmatrix}$ et $2A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}$.
Piège à éviter
On ne peut additionner que des matrices de même taille. Une $2 \times 2$ et une $2 \times 3$ ne s'additionnent pas : la somme n'existe tout simplement pas.
Le produit matriciel est le cœur du chapitre. Le coefficient $(i\,;j)$ du produit s'obtient en combinant la ligne $i$ de $A$ avec la colonne $j$ de $B$ — d'où une condition de compatibilité sur les tailles.
- $AB$ est défini si le nombre de colonnes de $A$ égale le nombre de lignes de $B$.
- Si $A$ est $m \times n$ et $B$ est $n \times p$, alors $AB$ est $m \times p$.
- Coefficient : $(AB)_{ij} = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{kj}$ (ligne $i$ de $A$ « contre » colonne $j$ de $B$).
- Non commutatif : en général $AB \neq BA$.
- Mais : associativité $(AB)C = A(BC)$, distributivité $A(B + C) = AB + AC$, et $A I_n = I_m A = A$.
Exemple
$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$. Le coefficient $(1\,;1)$ de $AB$ vaut $1 \times 5 + 2 \times 7 = 19$ ; au final $AB = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$.
Piège à éviter
$AB \neq BA$ en général : on ne peut pas réorganiser un produit de matrices comme un produit de nombres. Vérifie aussi la compatibilité des tailles avant de te lancer.
Pour les matrices $2 \times 2$, un unique nombre, le déterminant, décide de tout : il dit si la matrice est inversible et fournit, le cas échéant, une formule directe de l'inverse.
- Pour $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ : $\det(A) = ad - bc$.
- $A$ est inversible si et seulement si $\det(A) \neq 0$.
- Inverse : $A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ (on échange les coefficients diagonaux, on change le signe de l'antidiagonale).
- Par construction, $A A^{-1} = A^{-1} A = I_2$.
Exemple
Pour $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$ : $\det(A) = 2 \times 3 - 1 \times 5 = 1 \neq 0$. Donc $A^{-1} = \dfrac{1}{1} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}$.
Piège à éviter
Si $\det(A) = 0$, la matrice n'a pas d'inverse : on ne peut pas diviser par $0$ dans la formule. Vérifie toujours le déterminant avant de chercher $A^{-1}$.
Élever une matrice à une puissance sert à itérer une transformation (suites couplées, chaînes de Markov). Le cas diagonal est immédiat ; le cas général passe par la diagonalisation.
- $A^2 = A \times A$, $\ A^3 = A^2 \times A$, etc. ($A$ doit être carrée).
- Convention : $A^0 = I_n$.
- En général $(AB)^2 \neq A^2 B^2$, car $AB \neq BA$.
- Cas diagonal : si $D$ est diagonale, $D^n$ a pour diagonale les puissances $n$-ièmes des termes diagonaux.
- Diagonalisation : si $A = PDP^{-1}$ avec $D$ diagonale, alors $A^n = PD^n P^{-1}$.
Exemple
Pour $D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$ : $D^3 = \begin{pmatrix} 2^3 & 0 \\ 0 & 5^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 0 \\ 0 & 125 \end{pmatrix}$.
Piège à éviter
$(AB)^2 = ABAB$, pas $A^2 B^2$ : sans commutativité, on ne peut pas regrouper. La simplification $A^n = PD^n P^{-1}$ ne marche que parce que les $P^{-1}P$ intermédiaires se simplifient.
Quiz - Matrices : opérations et propriétés
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Matrices : opérations et propriétés, extraits du quiz de révision.
Le produit d'une matrice $2 \times 3$ par une matrice $3 \times 4$ a pour taille :
Réponse :
$2 \times 4$
Les dimensions intérieures coïncident ($3 = 3$), le produit est défini et a pour taille (lignes de $A$) $\times$ (colonnes de $B$), soit $2 \times 4$.
La multiplication des matrices est-elle commutative ?
Réponse :
Non, en général $AB \neq BA$
$AB \neq BA$ en général, même pour des matrices carrées : la multiplication matricielle n'est pas commutative.
Le déterminant de $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ vaut :
Réponse :
$10$
$\det(A) = ad - bc = 3 \times 4 - 1 \times 2 = 12 - 2 = 10$.
La matrice identité $I_2$ est :
Réponse :
$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
$I_2$ porte des $1$ sur la diagonale et des $0$ ailleurs ; c'est l'élément neutre du produit : $A I_2 = A$.