L'inverse de $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$ est :

$\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}$

Pour que le produit $AB$ soit défini, il faut que :

Le nombre de colonnes de $A$ égale le nombre de lignes de $B$

Si $D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$, alors $D^3$ vaut :

$\begin{pmatrix} 8 & 0 \\ 0 & 125 \end{pmatrix}$

Pour A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, quel est le coefficient (1\,;2) de A^2 ?

10. Coefficient (1\,;2) de A^2 : ligne 1 de A contre colonne 2 de A, soit 1 \times 2 + 2 \times 4 = 10.

L'inverse de A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} est :

\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}. \det(A) = 6 - 5 = 1, donc A^{-1} = \dfrac{1}{1}\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}.

Si \det(A) = 0, alors :

A n'est pas inversible. Une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. \det(A) = 0 signifie pas d'inverse.

Pour que le produit AB soit défini, il faut que :

Le nombre de colonnes de A égale le nombre de lignes de B. Le produit AB existe lorsque le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B.

Si D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}, alors D^3 vaut :

\begin{pmatrix} 8 & 0 \\ 0 & 125 \end{pmatrix}. Pour une matrice diagonale, D^n élève chaque terme diagonal à la puissance n : D^3 = \begin{pmatrix} 2^3 & 0 \\ 0 & 5^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 0 \\ 0 & 125 \end{pmatrix}.

L'expression A(B + C) est égale à :

AB + AC. Le produit matriciel est distributif à gauche : A(B + C) = AB + AC (l'ordre des facteurs doit être respecté).

Maths expertes — Matrices

Matrices : opérations et propriétés

Q: Le produit d'une matrice 2 \times 3 par une matrice 3 \times 4 a pour taille :

2 \times 4. Les dimensions intérieures coïncident (3 = 3), le produit est défini et a pour taille (lignes de A) \times (colonnes de B), soit 2 \times 4.

Q: La multiplication des matrices est-elle commutative ?

Non, en général AB \neq BA. AB \neq BA en général, même pour des matrices carrées : la multiplication matricielle n'est pas commutative.

Q: Le déterminant de A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} vaut :

10. \det(A) = ad - bc = 3 \times 4 - 1 \times 2 = 12 - 2 = 10.

Q: La matrice identité I_2 est :

\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. I_2 porte des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs ; c'est l'élément neutre du produit : A I_2 = A.

Définition, addition, multiplication, matrice identité, inverse, déterminant 2×2

Résumé synthétiqueFiche en 5 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub

Résumé

Une **matrice** est un tableau rectangulaire de nombres : un outil qui range et transforme des données. Une matrice de taille $m \times n$ a $m$ lignes et $n$ colonnes, et on note $a_{ij}$ son coefficient ligne $i$, colonne $j$. On les additionne terme à terme, on les multiplie par un nombre, et surtout on les **multiplie entre elles** selon une règle « ligne par colonne » qui encode la composition de transformations. Attention : ce produit n'est **pas commutatif**, $AB \neq BA$ en général — c'est la grande surprise du chapitre. La matrice **identité** $I_n$ joue le rôle du $1$, et certaines matrices carrées admettent une **inverse** $A^{-1}$. Pour les matrices $2 \times 2$, tout se lit dans un seul nombre, le **déterminant** $ad - bc$ : nul, pas d'inverse ; non nul, une inverse explicite.

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Les points clés à retenir sur Matrices : opérations et propriétés, extraits du quiz de révision.

Le produit d'une matrice $2 \times 3$ par une matrice $3 \times 4$ a pour taille :

Réponse :

$2 \times 4$

Les dimensions intérieures coïncident ($3 = 3$), le produit est défini et a pour taille (lignes de $A$) $\times$ (colonnes de $B$), soit $2 \times 4$.

La multiplication des matrices est-elle commutative ?

Réponse :

Non, en général $AB \neq BA$

$AB \neq BA$ en général, même pour des matrices carrées : la multiplication matricielle n'est pas commutative.

Le déterminant de $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ vaut :

Réponse :

$10$

$\det(A) = ad - bc = 3 \times 4 - 1 \times 2 = 12 - 2 = 10$.

La matrice identité $I_2$ est :

Réponse :

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$I_2$ porte des $1$ sur la diagonale et des $0$ ailleurs ; c'est l'élément neutre du produit : $A I_2 = A$.

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Le produit d'une matrice $2 \times 3$ par une matrice $3 \times 4$ a pour taille :

Réponse :

$2 \times 4$

Les dimensions intérieures coïncident ($3 = 3$), le produit est défini et a pour taille (lignes de $A$) $\times$ (colonnes de $B$), soit $2 \times 4$.

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Non, en général $AB \neq BA$

$AB \neq BA$ en général, même pour des matrices carrées : la multiplication matricielle n'est pas commutative.

Le déterminant de $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ vaut :

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$10$

$\det(A) = ad - bc = 3 \times 4 - 1 \times 2 = 12 - 2 = 10$.

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$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

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Déterminant et inverse d'une matrice 2×2

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