Matrices : applications

Les matrices trouvent de nombreuses applications en modélisation. Un système linéaire de deux équations à deux inconnues s'écrit AX = B et se résout par X = A⁻¹B si A est inversible. Les suites définies par récurrence matricielle Uₙ₊₁ = AUₙ permettent d'étudier des systèmes couplés : par exemple deux populations en interaction. Si A = PDP⁻¹ (diagonalisation), alors Aⁿ = PDⁿP⁻¹ et on obtient une formule explicite pour Uₙ. Les matrices d'adjacence encodent les graphes : si M est la matrice d'adjacence d'un graphe, le coefficient (i,j) de Mⁿ donne le nombre de chemins de longueur n du sommet i au sommet j. En économie, le modèle de Leontief utilise des matrices pour modéliser les échanges entre secteurs. Les chaînes de Markov utilisent des matrices stochastiques pour modéliser l'évolution d'un système au cours du temps.