Dans une matrice d'adjacence, le coefficient $(i\,;j)$ de $M^2$ représente :

Le nombre de chemins de longueur $2$ de $i$ à $j$

Une matrice de transition stochastique en colonne vérifie :

La somme de chaque colonne vaut $1$

Les formules de Cramer permettent de résoudre :

Un système linéaire dont le déterminant est non nul

Le système \begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - y = 2 \end{cases} a pour solution :

x = 3,\ y = 1. \det(A) = 2 \times (-1) - 1 \times 1 = -3. Cramer : x = \dfrac{7 \times (-1) - 1 \times 2}{-3} = 3 et y = \dfrac{2 \times 2 - 7 \times 1}{-3} = 1.

Si U_{n+1} = A U_n et U_0 est donné, alors U_n vaut :

A^n U_0. Par récurrence : U_1 = A U_0, \ U_2 = A^2 U_0, ..., U_n = A^n U_0.

Dans une matrice d'adjacence, le coefficient (i\,;j) de M^2 représente :

Le nombre de chemins de longueur 2 de i à j. Le coefficient (i\,;j) de M^n donne le nombre de chemins de longueur n de i à j ; pour M^2, c'est la longueur 2.

Une matrice de transition stochastique en colonne vérifie :

La somme de chaque colonne vaut 1. Chaque colonne représente une distribution de probabilités : ses coefficients sont positifs et somment à 1.

Pour résoudre AX = B avec A inversible, on calcule :

X = A^{-1}B. On multiplie à gauche par A^{-1} : A^{-1}(AX) = A^{-1}B, soit X = A^{-1}B (l'ordre compte, A^{-1} à gauche).

L'état stable \pi d'une chaîne de Markov vérifie :

T\pi = \pi. L'état stable est un point fixe de la transition : T\pi = \pi (vecteur propre pour la valeur propre 1).

Si A = PDP^{-1}, alors A^5 vaut :

PD^5 P^{-1}. A^2 = (PDP^{-1})(PDP^{-1}) = PD^2 P^{-1} (les P^{-1}P se simplifient). Par récurrence, A^n = PD^n P^{-1}.

Dans le modèle de Leontief X = AX + D, la production X vaut :

(I - A)^{-1} D. X - AX = D, soit (I - A)X = D, donc X = (I - A)^{-1}D si I - A est inversible.

La matrice d'adjacence d'un graphe non orienté est :

Symétrique. Dans un graphe non orienté, si i est relié à j alors j est relié à i : m_{ij} = m_{ji}, la matrice est symétrique.

Les formules de Cramer permettent de résoudre :

Un système linéaire dont le déterminant est non nul. Les formules de Cramer donnent la solution unique d'un système AX = B lorsque \det(A) \neq 0.

Matrices : applications — Maths expertes (Terminale)

Un système de deux équations à deux inconnues se met sous forme matricielle $AX = B$. Si $A$ est inversible, la solution est unique et s'obtient en une multiplication : $X = A^{-1}B$.

Le système $\begin{cases} ax + by = e \\ cx + dy = f \end{cases}$ s'écrit $AX = B$ avec $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, $X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} e \\ f \end{pmatrix}$.
Si $\det(A) \neq 0$ : solution **unique** $X = A^{-1}B$.
**Formules de Cramer :** $x = \dfrac{ed - bf}{\det(A)}$ et $y = \dfrac{af - ce}{\det(A)}$.
Si $\det(A) = 0$ : soit **aucune** solution (système incompatible), soit une **infinité**.

Exemple

Résolvons $\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x + 3y = 10 \end{cases}$. Ici $\det(A) = 2 \times 3 - 1 \times 1 = 5 \neq 0$. Par Cramer : $x = \dfrac{5 \times 3 - 1 \times 10}{5} = 1$ et $y = \dfrac{2 \times 10 - 1 \times 5}{5} = 3$.

Piège à éviter

Avant d'écrire $X = A^{-1}B$, vérifie que $\det(A) \neq 0$. Si le déterminant est nul, le système n'a pas de solution unique : ne cherche pas d'inverse.

Quand deux quantités évoluent en s'influençant mutuellement, on les empile dans un vecteur $U_n$ et la règle d'évolution devient $U_{n+1} = A U_n$. La puissance $A^n$ donne directement l'état au rang $n$.

Suite définie par $U_{n+1} = A U_n$ et $U_0$ donné : $U_n = A^n U_0$.
**Exemples :** suite de Fibonacci, populations couplées proies–prédateurs, parts de marché.
Si $A$ est diagonalisable ($A = PDP^{-1}$), alors $A^n = PD^n P^{-1}$ donne une **formule explicite** pour $U_n$.
**État stationnaire :** si $U_n \to L$, alors $L = AL$, donc $(A - I)L = 0$.

Exemple

Deux villes A et B échangent des habitants : $U_{n+1} = A U_n$ avec $A = \begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}2 \\ 0{,}1 & 0{,}8 \end{pmatrix}$. Partant de $U_0 = \begin{pmatrix} 1000 \\ 0 \end{pmatrix}$, on a $U_1 = A U_0 = \begin{pmatrix} 900 \\ 100 \end{pmatrix}$, puis $U_2 = A U_1 = \begin{pmatrix} 830 \\ 170 \end{pmatrix}$.

Piège à éviter

Dans $U_n = A^n U_0$, c'est $A$ qui est élevée à la puissance $n$, **pas** $U_0$. Et l'ordre $A U_n$ compte : le vecteur se place **à droite** de la matrice.

Un graphe se résume dans une **matrice d'adjacence** $M$ : un $1$ si deux sommets sont reliés, un $0$ sinon. Sa puissance $M^n$ révèle une information cachée : le nombre de chemins de longueur $n$ entre deux sommets.

Matrice d'adjacence $M$ : $m_{ij} = 1$ si les sommets $i$ et $j$ sont reliés, $0$ sinon.
Pour un graphe **non orienté**, $M$ est **symétrique** ($m_{ij} = m_{ji}$).
Le coefficient $(i\,;j)$ de $M^n$ donne le **nombre de chemins de longueur $n$** de $i$ à $j$.
La somme des coefficients de la ligne $i$ donne le **degré** du sommet $i$.

Exemple

Pour un triangle (sommets reliés deux à deux), $M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$. Le coefficient $(1\,;1)$ de $M^2$ vaut $0^2 + 1 + 1 = 2$ : il existe $2$ chemins de longueur $2$ revenant en $1$ (par le sommet $2$, puis par le sommet $3$).

Piège à éviter

Le coefficient $(i\,;j)$ de $M^n$ compte les chemins de longueur **exactement $n$**, pas « au plus $n$ », et ces chemins peuvent repasser par un même sommet.

Une **chaîne de Markov** décrit un système qui passe d'un état à l'autre selon des probabilités fixes. La matrice de transition encode ces probabilités ; ses puissances donnent l'évolution, souvent vers un **état stable**.

**Matrice de transition** $T$ : $t_{ij}$ est la probabilité de passer de l'état $j$ à l'état $i$.
**Stochastique en colonne :** la somme de chaque colonne vaut $1$.
**État au temps $n$ :** $P_n = T^n P_0$, où $P_0$ est la distribution initiale.
**État stable** $\pi$ : il vérifie $T\pi = \pi$ (vecteur propre associé à la valeur propre $1$).

Exemple

Météo : s'il fait beau, $80\,\%$ de chance que demain soit beau ; s'il pleut, $40\,\%$ de chance de beau. Avec $T = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}4 \\ 0{,}2 & 0{,}6 \end{pmatrix}$, l'état stable $\pi$ vérifie $T\pi = \pi$ : on trouve $\pi = \begin{pmatrix} \tfrac{2}{3} \\ \tfrac{1}{3} \end{pmatrix}$, soit $\tfrac{2}{3}$ de jours beaux à long terme.

Piège à éviter

Vérifie la convention : ici $T$ est stochastique **en colonne** (colonnes de somme $1$) et l'état est un vecteur **colonne** placé à droite. Avec une convention en ligne, tout est transposé.

Le **modèle de Leontief** décrit une économie où chaque secteur consomme la production des autres. Les matrices permettent de calculer la production totale nécessaire pour satisfaire une demande donnée.

**Équation de Leontief :** $X = AX + D$, où $X$ est la production, $A$ la matrice des consommations intermédiaires, $D$ la demande finale.
**Solution :** $X = (I - A)^{-1} D$ (si $I - A$ est inversible).
$(I - A)^{-1}$ est la **matrice de Leontief** : ses coefficients mesurent l'impact d'une variation de demande.
**Application :** estimer l'effet d'une hausse de la demande de voitures sur la production d'acier.

Exemple

Pour $A = \begin{pmatrix} 0{,}2 & 0{,}3 \\ 0{,}4 & 0{,}1 \end{pmatrix}$, on calcule $I - A = \begin{pmatrix} 0{,}8 & -0{,}3 \\ -0{,}4 & 0{,}9 \end{pmatrix}$, de déterminant $0{,}72 - 0{,}12 = 0{,}6 \neq 0$. Le système $X = (I - A)^{-1}D$ a donc une solution unique pour toute demande $D$.

Piège à éviter

On isole $X$ en factorisant : $X - AX = (I - A)X = D$, d'où $X = (I - A)^{-1}D$. Ne « divise » jamais par $I - A$ : on multiplie par son **inverse**, et seulement si elle existe.

Matrices : applications

Résumé

Résoudre un système linéaire

Suites et récurrences matricielles

Matrices d'adjacence et graphes

Chaînes de Markov

Modélisation économique (Leontief)

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