Maths expertes — Matrices
Matrices : applications
Suites matricielles, graphes et matrices d'adjacence, systèmes linéaires, modélisation
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Résumé
Les matrices ne sont pas qu'un jeu de tableaux : elles modélisent une foule de situations. Un système de deux équations à deux inconnues s'écrit $AX = B$ et se résout d'un coup par $X = A^{-1}B$. Une suite couplée (deux populations, deux marques en concurrence) se range dans une récurrence $U_{n+1} = A U_n$, dont la solution explicite est $U_n = A^n U_0$. Les graphes se codent en matrices d'adjacence, et — fait remarquable — le coefficient $(i\,;j)$ de $M^n$ compte les chemins de longueur $n$ entre deux sommets. Les chaînes de Markov modélisent l'évolution aléatoire d'un système (météo, files d'attente) et convergent souvent vers un état stable. De l'économie (modèle de Leontief) aux réseaux, la même algèbre matricielle est partout.
Un système de deux équations à deux inconnues se met sous forme matricielle $AX = B$. Si $A$ est inversible, la solution est unique et s'obtient en une multiplication : $X = A^{-1}B$.
- Le système $\begin{cases} ax + by = e \\ cx + dy = f \end{cases}$ s'écrit $AX = B$ avec $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, $X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} e \\ f \end{pmatrix}$.
- Si $\det(A) \neq 0$ : solution unique $X = A^{-1}B$.
- Formules de Cramer : $x = \dfrac{ed - bf}{\det(A)}$ et $y = \dfrac{af - ce}{\det(A)}$.
- Si $\det(A) = 0$ : soit aucune solution (système incompatible), soit une infinité.
Exemple
Résolvons $\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x + 3y = 10 \end{cases}$. Ici $\det(A) = 2 \times 3 - 1 \times 1 = 5 \neq 0$. Par Cramer : $x = \dfrac{5 \times 3 - 1 \times 10}{5} = 1$ et $y = \dfrac{2 \times 10 - 1 \times 5}{5} = 3$.
Piège à éviter
Avant d'écrire $X = A^{-1}B$, vérifie que $\det(A) \neq 0$. Si le déterminant est nul, le système n'a pas de solution unique : ne cherche pas d'inverse.
Quand deux quantités évoluent en s'influençant mutuellement, on les empile dans un vecteur $U_n$ et la règle d'évolution devient $U_{n+1} = A U_n$. La puissance $A^n$ donne directement l'état au rang $n$.
- Suite définie par $U_{n+1} = A U_n$ et $U_0$ donné : $U_n = A^n U_0$.
- Exemples : suite de Fibonacci, populations couplées proies–prédateurs, parts de marché.
- Si $A$ est diagonalisable ($A = PDP^{-1}$), alors $A^n = PD^n P^{-1}$ donne une formule explicite pour $U_n$.
- État stationnaire : si $U_n \to L$, alors $L = AL$, donc $(A - I)L = 0$.
Exemple
Deux villes A et B échangent des habitants : $U_{n+1} = A U_n$ avec $A = \begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}2 \\ 0{,}1 & 0{,}8 \end{pmatrix}$. Partant de $U_0 = \begin{pmatrix} 1000 \\ 0 \end{pmatrix}$, on a $U_1 = A U_0 = \begin{pmatrix} 900 \\ 100 \end{pmatrix}$, puis $U_2 = A U_1 = \begin{pmatrix} 830 \\ 170 \end{pmatrix}$.
Piège à éviter
Dans $U_n = A^n U_0$, c'est $A$ qui est élevée à la puissance $n$, pas $U_0$. Et l'ordre $A U_n$ compte : le vecteur se place à droite de la matrice.
Un graphe se résume dans une matrice d'adjacence $M$ : un $1$ si deux sommets sont reliés, un $0$ sinon. Sa puissance $M^n$ révèle une information cachée : le nombre de chemins de longueur $n$ entre deux sommets.
- Matrice d'adjacence $M$ : $m_{ij} = 1$ si les sommets $i$ et $j$ sont reliés, $0$ sinon.
- Pour un graphe non orienté, $M$ est symétrique ($m_{ij} = m_{ji}$).
- Le coefficient $(i\,;j)$ de $M^n$ donne le nombre de chemins de longueur $n$ de $i$ à $j$.
- La somme des coefficients de la ligne $i$ donne le degré du sommet $i$.
Exemple
Pour un triangle (sommets reliés deux à deux), $M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$. Le coefficient $(1\,;1)$ de $M^2$ vaut $0^2 + 1 + 1 = 2$ : il existe $2$ chemins de longueur $2$ revenant en $1$ (par le sommet $2$, puis par le sommet $3$).
Piège à éviter
Le coefficient $(i\,;j)$ de $M^n$ compte les chemins de longueur exactement $n$, pas « au plus $n$ », et ces chemins peuvent repasser par un même sommet.
Une chaîne de Markov décrit un système qui passe d'un état à l'autre selon des probabilités fixes. La matrice de transition encode ces probabilités ; ses puissances donnent l'évolution, souvent vers un état stable.
- Matrice de transition $T$ : $t_{ij}$ est la probabilité de passer de l'état $j$ à l'état $i$.
- Stochastique en colonne : la somme de chaque colonne vaut $1$.
- État au temps $n$ : $P_n = T^n P_0$, où $P_0$ est la distribution initiale.
- État stable $\pi$ : il vérifie $T\pi = \pi$ (vecteur propre associé à la valeur propre $1$).
Exemple
Météo : s'il fait beau, $80\,\%$ de chance que demain soit beau ; s'il pleut, $40\,\%$ de chance de beau. Avec $T = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}4 \\ 0{,}2 & 0{,}6 \end{pmatrix}$, l'état stable $\pi$ vérifie $T\pi = \pi$ : on trouve $\pi = \begin{pmatrix} \tfrac{2}{3} \\ \tfrac{1}{3} \end{pmatrix}$, soit $\tfrac{2}{3}$ de jours beaux à long terme.
Piège à éviter
Vérifie la convention : ici $T$ est stochastique en colonne (colonnes de somme $1$) et l'état est un vecteur colonne placé à droite. Avec une convention en ligne, tout est transposé.
Le modèle de Leontief décrit une économie où chaque secteur consomme la production des autres. Les matrices permettent de calculer la production totale nécessaire pour satisfaire une demande donnée.
- Équation de Leontief : $X = AX + D$, où $X$ est la production, $A$ la matrice des consommations intermédiaires, $D$ la demande finale.
- Solution : $X = (I - A)^{-1} D$ (si $I - A$ est inversible).
- $(I - A)^{-1}$ est la matrice de Leontief : ses coefficients mesurent l'impact d'une variation de demande.
- Application : estimer l'effet d'une hausse de la demande de voitures sur la production d'acier.
Exemple
Pour $A = \begin{pmatrix} 0{,}2 & 0{,}3 \\ 0{,}4 & 0{,}1 \end{pmatrix}$, on calcule $I - A = \begin{pmatrix} 0{,}8 & -0{,}3 \\ -0{,}4 & 0{,}9 \end{pmatrix}$, de déterminant $0{,}72 - 0{,}12 = 0{,}6 \neq 0$. Le système $X = (I - A)^{-1}D$ a donc une solution unique pour toute demande $D$.
Piège à éviter
On isole $X$ en factorisant : $X - AX = (I - A)X = D$, d'où $X = (I - A)^{-1}D$. Ne « divise » jamais par $I - A$ : on multiplie par son inverse, et seulement si elle existe.
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Les points clés à retenir sur Matrices : applications, extraits du quiz de révision.
Le système $\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - y = 2 \end{cases}$ a pour solution :
Réponse :
$x = 3,\ y = 1$
$\det(A) = 2 \times (-1) - 1 \times 1 = -3$. Cramer : $x = \dfrac{7 \times (-1) - 1 \times 2}{-3} = 3$ et $y = \dfrac{2 \times 2 - 7 \times 1}{-3} = 1$.
Si $U_{n+1} = A U_n$ et $U_0$ est donné, alors $U_n$ vaut :
Réponse :
$A^n U_0$
Par récurrence : $U_1 = A U_0$, $\ U_2 = A^2 U_0$, ..., $U_n = A^n U_0$.
Dans une matrice d'adjacence, le coefficient $(i\,;j)$ de $M^2$ représente :
Réponse :
Le nombre de chemins de longueur $2$ de $i$ à $j$
Le coefficient $(i\,;j)$ de $M^n$ donne le nombre de chemins de longueur $n$ de $i$ à $j$ ; pour $M^2$, c'est la longueur $2$.
Une matrice de transition stochastique en colonne vérifie :
Réponse :
La somme de chaque colonne vaut $1$
Chaque colonne représente une distribution de probabilités : ses coefficients sont positifs et somment à $1$.