Enseignement scientifique — Son et musique, porteurs d'information
La musique et l'acoustique
Harmoniques, timbre, gammes, résonance, instruments
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
La musique repose sur des principes physiques d'acoustique. Un son musical est un son périodique complexe, composé d'un fondamental (fréquence la plus basse, qui donne la hauteur perçue) et d'harmoniques dont les fréquences sont des multiples entiers du fondamental ($f_1$, $2f_1$, $3f_1$...). Le timbre d'un instrument est déterminé par le nombre et l'amplitude relative des harmoniques : c'est ce qui permet de distinguer un piano d'une flûte jouant la même note. Les gammes musicales sont des ensembles de notes organisées selon des rapports de fréquences précis. Dans la gamme tempérée (utilisée en Occident), l'octave est divisée en 12 demi-tons égaux, chaque demi-ton correspondant à un rapport de fréquence de $2^{1/12} \approx 1{,}0595$. La résonance se produit lorsqu'un système vibrant est excité à l'une de ses fréquences propres : l'amplitude des oscillations augmente fortement. Les instruments de musique exploitent la résonance de cordes, colonnes d'air ou membranes.
Un son musical est bien plus qu'une simple sinusoïde. C'est une superposition de fréquences (fondamental + harmoniques) dont l'amplitude relative définit le timbre, cette « couleur » sonore qui permet de distinguer un piano d'un violon.
Le timbre d'un instrument dépend du nombre et de l'amplitude relative des harmoniques.
- Un son musical périodique se décompose en une somme de sinusoïdes : le fondamental et ses harmoniques (Fourier)
- Fondamental : fréquence $f_1$ $\rightarrow$ détermine la hauteur du son (la note perçue)
- Harmoniques : fréquences $f_2 = 2f_1$, $f_3 = 3f_1$, $f_4 = 4f_1$, etc. (multiples entiers du fondamental)
- Le timbre est la « couleur » du son : il dépend du nombre et de l'amplitude des harmoniques
- Un diapason produit un son quasi pur (fondamental seul). Un piano ou un violon ont un timbre riche (nombreuses harmoniques)
- Le spectre en fréquences (obtenu par transformée de Fourier) représente l'amplitude de chaque harmonique
Exemple
Un la$_3$ (440 Hz) joué au piano contient : fondamental 440 Hz (le plus fort), harmonique 2 à 880 Hz, harmonique 3 à $1\,320$ Hz, harmonique 4 à $1\,760$ Hz, etc. Le même la$_3$ joué à la flûte contient presque uniquement le fondamental. C'est pourquoi ils « sonnent » différemment.
Piège à éviter
Le fondamental détermine la HAUTEUR perçue (la note). Les harmoniques déterminent le TIMBRE (la couleur du son). Deux instruments jouant la même note ont le même fondamental mais des harmoniques différents. Ne pas confondre hauteur et timbre.
Les gammes musicales sont des systèmes d'organisation des notes basés sur des rapports de fréquences. La gamme tempérée, utilisée universellement en Occident, divise l'octave en 12 demi-tons égaux par un rapport de $2^{1/12}$.
- Octave : intervalle entre deux notes dont les fréquences sont dans un rapport 2 (ex : la$_3$ = 440 Hz, la$_4$ = 880 Hz)
- Gamme tempérée : l'octave est divisée en 12 demi-tons égaux
- Rapport de fréquence d'un demi-ton tempéré : $r = 2^{1/12} \approx 1{,}0595$
- Un ton $=$ 2 demi-tons. La gamme de do majeur : do-ré-mi-fa-sol-la-si-do (tons et demi-tons)
- Gamme pythagoricienne : basée sur des rapports simples ($\dfrac{3}{2}$ pour la quinte, $\dfrac{4}{3}$ pour la quarte)
Exemple
Du la$_3$ (440 Hz) au la$_4$ (880 Hz), il y a 12 demi-tons. Chaque demi-ton multiplie la fréquence par $r = 2^{1/12} \approx 1{,}0595$. Fréquence du si$_3$ : $440 \times r^2 = 440 \times 1{,}1225 \approx 493{,}9$ Hz. Fréquence du do$_4$ : $440 \times r^3 \approx 523{,}3$ Hz.
Piège à éviter
La gamme tempérée est un COMPROMIS mathématique. Les intervalles naturels (quinte $= \dfrac{3}{2}$, quarte $= \dfrac{4}{3}$) ne sont pas exactement respectés. Par exemple, la quinte tempérée vaut $r^7 = 2^{7/12} \approx 1{,}4983$, légèrement inférieure à $\dfrac{3}{2} = 1{,}5$. Cette légère impureté permet de jouer dans toutes les tonalités.
La résonance est un phénomène d'amplification qui se produit lorsqu'un système est excité à l'une de ses fréquences propres. En musique, elle est exploitée pour amplifier le son des instruments grâce aux caisses de résonance.
- Fréquences propres : fréquences auxquelles un système vibre naturellement (modes propres de vibration)
- Résonance : quand la fréquence d'excitation coïncide avec une fréquence propre $\rightarrow$ amplitude maximale
- Exemples : corde de guitare pincée, verre qui se brise sous l'effet d'un son aigu, pont qui oscille
- La caisse de résonance d'une guitare ou d'un violon amplifie le son en vibrant par résonance
- L'amortissement limite l'amplitude à la résonance (sinon l'amplitude tendrait vers l'infini)
Exemple
Si l'on chante la bonne note (fréquence propre) près d'un verre en cristal, celui-ci entre en résonance et vibre de plus en plus fort. Si l'amplitude dépasse la limite élastique du verre, il se brise. En pratique, il faut un son très puissant ($\approx 100$ dB) et précisément accordé sur la fréquence propre du verre.
Piège à éviter
La résonance n'amplifie que lorsque la fréquence d'excitation est PROCHE d'une fréquence propre du système. Si la fréquence est légèrement décalée, l'amplitude reste faible. L'amortissement (frottements, dissipation) empêche l'amplitude de devenir infinie à la résonance.
Les instruments de musique exploitent les propriétés physiques des ondes sonores. La fréquence fondamentale dépend des caractéristiques de l'élément vibrant : longueur et tension d'une corde, longueur d'une colonne d'air.
- Instruments à cordes : corde vibrante, fréquence dépend de la longueur, la tension et la masse linéique
- $f_1 = \dfrac{1}{2L}\sqrt{\dfrac{T}{\mu}}$, avec $L$ longueur, $T$ tension, $\mu$ masse linéique de la corde
- Instruments à vent : colonne d'air vibrante, fréquence dépend de la longueur du tuyau (ouvert ou fermé)
- Tuyau ouvert : harmoniques pairs et impairs. Tuyau fermé : uniquement harmoniques impairs
- Instruments à percussion : membranes ou plaques vibrantes, spectre souvent non harmonique
- La facture instrumentale optimise la résonance et le timbre de l'instrument
Exemple
Guitare : corde de mi grave (E$_2$ = 82,4 Hz). Longueur $L = 65$ cm, tension $T \approx 70$ N, masse linéique $\mu \approx 0{,}0063\ \mathrm{kg/m}$. Vérification : $f_1 = \dfrac{1}{2L}\sqrt{\dfrac{T}{\mu}} = \dfrac{1}{2 \times 0{,}65}\sqrt{\dfrac{70}{0{,}0063}} \approx 0{,}769 \times 105{,}4 \approx 81{,}1$ Hz $\approx 82$ Hz. En appuyant sur la frette de la 12e case ($L/2$), la fréquence double (octave).
Piège à éviter
Un tuyau OUVERT produit tous les harmoniques (pairs et impairs). Un tuyau FERMÉ à une extrémité ne produit que les harmoniques IMPAIRS ($f_1$, $3f_1$, $5f_1$...). C'est pourquoi une flûte de Pan (tuyau fermé) sonne différemment d'une flûte traversière (tuyau ouvert).
Quiz - La musique et l'acoustique
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur La musique et l'acoustique, extraits du quiz de révision.
Les harmoniques d'un son musical de fondamental $f_1$ ont pour fréquences :
Réponse :
$2f_1$, $3f_1$, $4f_1$...
Les harmoniques sont des multiples entiers du fondamental : $f_2 = 2f_1$, $f_3 = 3f_1$, $f_4 = 4f_1$, etc.
Le timbre d'un instrument dépend de :
Réponse :
Le nombre et l'amplitude relative des harmoniques
Le timbre est déterminé par la répartition des harmoniques (leur nombre et leur amplitude relative) : c'est la « signature sonore » de l'instrument.
L'octave correspond à un rapport de fréquences de :
Réponse :
$2$
L'octave est l'intervalle entre deux notes dont les fréquences sont dans un rapport de 2 (ex : la$_3$ = 440 Hz, la$_4$ = 880 Hz).
Dans la gamme tempérée, le rapport de fréquence d'un demi-ton est :
Réponse :
$2^{1/12}$
La gamme tempérée divise l'octave (rapport 2) en 12 demi-tons égaux, chacun correspondant à un rapport de $2^{1/12} \approx 1{,}0595$.