La relation de Chasles dit que :

∫[a;b]f + ∫[b;c]f = ∫[a;c]f

Si f ≥ 0 sur [a;b], alors ∫[a;b] f(x)dx représente :

L'aire sous la courbe entre a et b

La relation de Chasles dit que :

∫[a;b]f + ∫[b;c]f = ∫[a;c]f. On peut découper une intégrale en morceaux et les additionner.

La primitive de cos(x) est :

sin(x) + C. La dérivée de sin(x) est cos(x), donc la primitive de cos(x) est sin(x) + C.

La valeur moyenne de f sur [a;b] est :

(1/(b-a)) × ∫[a;b] f(x)dx. La valeur moyenne d'une fonction f sur [a;b] est μ = (1/(b-a)) × ∫[a;b] f(x)dx. C'est la hauteur du rectangle de même aire que l'aire sous la courbe sur [a;b].

Si f ≥ 0 sur [a;b], alors ∫[a;b] f(x)dx représente :

L'aire sous la courbe entre a et b. Quand f est positive sur [a;b], l'intégrale ∫[a;b] f(x)dx est exactement l'aire du domaine compris entre la courbe de f, l'axe des x et les droites x=a et x=b.

1. La primitive de 3x² est x³. Donc ∫[0;1] 3x² dx = 1³ - 0³ = 1.

La primitive de sin(x) est :

-cos(x) + C. La dérivée de -cos(x) est sin(x), donc la primitive de sin(x) est -cos(x) + C. Attention au signe moins !

Maths (Spé) — Analyse

Intégration

Q: La primitive de x² est :

x³/3 + C. Primitive de xⁿ = xⁿ⁺¹/(n+1), donc x³/3 + C.

Q: ∫[0;1] 2x dx = ?

1. Primitive de 2x = x². F(1)-F(0) = 1-0 = 1.

Q: La primitive de eˣ est :

eˣ + C. eˣ est sa propre primitive.

Q: La primitive de 1/x est :

ln|x| + C. (ln|x|)' = 1/x, donc ln|x| + C.

Primitives, intégrales, calcul d'aires

Résumé synthétiqueFiche en 3 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub

Résumé

Une primitive F de f est une fonction telle que F' = f. L'intégrale de a à b de f(x)dx représente l'aire algébrique entre la courbe et l'axe des x. Propriétés : linéarité, relation de Chasles. Primitives usuelles : celle de xⁿ est xⁿ⁺¹/(n+1), celle de eˣ est eˣ, celle de 1/x est ln|x|.

Thème complet

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Questions fréquentes

Les points clés à retenir sur Intégration, extraits du quiz de révision.

La primitive de x² est :

Réponse : x³/3 + C

Primitive de xⁿ = xⁿ⁺¹/(n+1), donc x³/3 + C.

∫[0;1] 2x dx = ?

Réponse : 1

Primitive de 2x = x². F(1)-F(0) = 1-0 = 1.

La primitive de eˣ est :

Réponse : eˣ + C

eˣ est sa propre primitive.

La primitive de 1/x est :

Réponse : ln|x| + C

(ln|x|)' = 1/x, donc ln|x| + C.

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