Physique-Chimie (Spé) — Mouvements et interactions
Gravitation et lois de Kepler
Loi de gravitation, champ gravitationnel, lois de Kepler, satellites
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Résumé
La loi de gravitation universelle de Newton : deux corps de masses $m_1$ et $m_2$, séparés d'une distance $r$, s'attirent avec une force $F = G\,\dfrac{m_1 m_2}{r^2}$ ($G = 6{,}67\times 10^{-11}\ \mathrm{N\cdot m^2\cdot kg^{-2}}$). Le champ gravitationnel créé par un corps de masse $M$ à la distance $r$ est $\vec{g} = -\dfrac{GM}{r^2}\,\vec{u}_r$, dirigé vers le centre du corps. Les lois de Kepler décrivent le mouvement des planètes : (1) les orbites sont des ellipses dont le Soleil est un foyer ; (2) le rayon Soleil-planète balaie des aires égales en des temps égaux ; (3) $\dfrac{T^2}{a^3} = \text{cste}$ pour les corps d'un même système ($T$ période, $a$ demi-grand axe). Pour un satellite en orbite circulaire : $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ et $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{GM}}$. L'orbite géostationnaire est à $\approx 36\,000\ \mathrm{km}$ d'altitude avec $T = 24\ \mathrm{h}$.
Newton a montré que la même force qui fait tomber une pomme gouverne le mouvement des planètes. Deux corps s'attirent proportionnellement à leurs masses et inversement au carré de la distance.
- Deux corps ponctuels de masses $m_1$ et $m_2$ s'attirent avec la force $F = G\,\dfrac{m_1 m_2}{r^2}$.
- $G = 6{,}674\times 10^{-11}\ \mathrm{N\cdot m^2\cdot kg^{-2}}$ : constante de gravitation universelle.
- La force est attractive, dirigée selon la droite joignant les deux centres de masse.
- Elle est proportionnelle aux masses et inversement proportionnelle au carré de la distance.
- Exemple : force Terre-Lune $\approx 2\times 10^{20}\ \mathrm{N}$.
Exemple
Force Terre-Lune : $F = G\,\dfrac{M_T M_L}{r^2} = 6{,}67\times 10^{-11} \times \dfrac{6{,}0\times 10^{24} \times 7{,}3\times 10^{22}}{(3{,}84\times 10^{8})^2} \approx 2\times 10^{20}\ \mathrm{N}$. C'est cette force qui maintient la Lune en orbite.
Piège à éviter
La distance $r$ se mesure entre les centres de masse, pas entre les surfaces. Pour la Terre, $r = R_T + h$ (rayon $+$ altitude).
Le champ gravitationnel $\vec{g}$ caractérise l'effet gravitationnel d'un astre en chaque point de l'espace. C'est ce champ qui donne son poids $\vec{P} = m\vec{g}$ à tout objet.
Les trois lois de Kepler décrivent le mouvement des planètes autour du Soleil.
- Champ créé par $M$ à la distance $r$ : $g = \dfrac{GM}{r^2}$.
- Dirigé vers le centre du corps qui crée le champ.
- À la surface de la Terre : $g = \dfrac{GM_T}{R_T^2} \approx 9{,}81\ \mathrm{m/s^2}$ ($R_T \approx 6\,371\ \mathrm{km}$).
- Le poids $\vec{P} = m\vec{g}$ est la force de gravitation subie par un objet de masse $m$ dans le champ $\vec{g}$.
- $g$ diminue avec l'altitude : à $400\ \mathrm{km}$ (ISS), $g \approx 8{,}7\ \mathrm{m/s^2}$ (pas l'apesanteur, mais la chute libre !).
Exemple
À la surface de Mars ($M = 6{,}4\times 10^{23}\ \mathrm{kg}$, $R = 3\,390\ \mathrm{km}$) : $g = \dfrac{GM}{R^2} = \dfrac{6{,}67\times 10^{-11} \times 6{,}4\times 10^{23}}{(3{,}39\times 10^{6})^2} \approx 3{,}7\ \mathrm{m/s^2}$. Un objet de $60\ \mathrm{kg}$ y pèserait $P = 60 \times 3{,}7 = 222\ \mathrm{N}$ (contre $589\ \mathrm{N}$ sur Terre).
Piège à éviter
$g \approx 9{,}81\ \mathrm{m/s^2}$ n'est vrai qu'à la surface de la Terre. En altitude, $g$ diminue en $\dfrac{1}{r^2}$. À l'altitude de l'ISS ($400\ \mathrm{km}$), $g \approx 8{,}7\ \mathrm{m/s^2}$ — loin d'être nul !
Les lois de Kepler décrivent empiriquement le mouvement des planètes. Newton les a retrouvées théoriquement à partir de sa loi de gravitation. Elles s'appliquent à tout corps en orbite.
- 1re loi (orbites) : chaque planète décrit une ellipse dont le Soleil occupe un foyer.
- 2e loi (aires) : le segment Soleil-planète balaie des aires égales en des durées égales $\rightarrow$ la planète va plus vite au périhélie.
- 3e loi (périodes) : $\dfrac{T^2}{a^3} = \dfrac{4\pi^2}{GM} = \text{cste}$ pour tous les corps orbitant autour du même astre.
- Pour une orbite circulaire : $a = r$ et $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{GM}\,r^3$.
- Application : connaissant $T$ et $r$ d'un satellite, on calcule la masse $M$ de l'astre central.
Exemple
Terre : $T = 365{,}25\ \mathrm{j} = 3{,}156\times 10^{7}\ \mathrm{s}$, $a = 1\ \mathrm{UA} = 1{,}50\times 10^{11}\ \mathrm{m}$. $M_{\text{Soleil}} = \dfrac{4\pi^2 a^3}{G\,T^2} = \dfrac{4\pi^2 \times (1{,}50\times 10^{11})^3}{6{,}67\times 10^{-11} \times (3{,}156\times 10^{7})^2} \approx 2{,}0\times 10^{30}\ \mathrm{kg}$.
Piège à éviter
La 3e loi $\dfrac{T^2}{a^3} = \text{cste}$ n'est valable que pour des corps orbitant autour du même astre central. On ne peut pas comparer le $\dfrac{T^2}{a^3}$ de la Lune (autour de la Terre) avec celui de Mars (autour du Soleil).
Un satellite en orbite circulaire est en chute libre permanente autour de la Terre. Sa vitesse ne dépend que de l'altitude — plus il est haut, plus il va lentement.
- Orbite circulaire, PFD : $\dfrac{GMm}{r^2} = \dfrac{mv^2}{r} \rightarrow v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ (vitesse orbitale).
- Plus l'orbite est haute, plus la vitesse est faible et la période longue.
- Satellite géostationnaire : $T = 24\ \mathrm{h}$, orbite équatoriale, altitude $\approx 36\,000\ \mathrm{km}$.
- Il paraît fixe vu de la Terre $\rightarrow$ télécommunications, météo.
- Impesanteur en orbite : le satellite et son contenu sont en chute libre permanente ensemble.
- ISS : orbite basse ($\approx 400\ \mathrm{km}$), $T \approx 92\ \mathrm{min}$, $v \approx 7{,}7\ \mathrm{km/s}$.
Exemple
Orbite géostationnaire : $T = 24\ \mathrm{h} = 86\,400\ \mathrm{s}$. $r^3 = \dfrac{GM\,T^2}{4\pi^2} = \dfrac{6{,}67\times 10^{-11} \times 6{,}0\times 10^{24} \times (86\,400)^2}{4\pi^2}$. On trouve $r \approx 42\,200\ \mathrm{km}$, soit $h = r - R_T \approx 42\,200 - 6\,371 \approx 35\,800\ \mathrm{km}$.
Piège à éviter
L'impesanteur dans l'ISS n'est pas due à l'absence de gravité ($g \approx 8{,}7\ \mathrm{m/s^2}$ à $400\ \mathrm{km}$ !). Elle vient de ce que l'ISS et ses occupants sont en chute libre ensemble autour de la Terre.
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Gravitation et lois de Kepler, extraits du quiz de révision.
La force de gravitation entre deux masses est proportionnelle à :
Réponse :
$\dfrac{m_1 m_2}{r^2}$
$F = G\,\dfrac{m_1 m_2}{r^2}$. La force est proportionnelle au produit des masses et inversement proportionnelle au carré de la distance.
La 1re loi de Kepler stipule que les orbites planétaires sont :
Réponse :
Des ellipses dont le Soleil est un foyer
Les planètes décrivent des ellipses dont le Soleil occupe l'un des foyers (pas le centre). Une orbite circulaire est un cas particulier d'ellipse.
La 3e loi de Kepler s'écrit :
Réponse :
$\dfrac{T^2}{a^3} = \text{cste}$
$\dfrac{T^2}{a^3} = \dfrac{4\pi^2}{GM}$ est constant pour tous les corps orbitant autour du même astre. C'est la loi des périodes.
La vitesse d'un satellite en orbite circulaire est :
Réponse :
$v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$
Du PFD en orbite circulaire : $\dfrac{GMm}{r^2} = \dfrac{mv^2}{r} \rightarrow v^2 = \dfrac{GM}{r} \rightarrow v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$. Plus l'orbite est haute, plus la vitesse est faible.