Physique-Chimie (Spé) — Mouvements et interactions
Gravitation et lois de Kepler
Loi de gravitation, champ gravitationnel, lois de Kepler, satellites
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
La **loi de gravitation universelle** de Newton : deux corps de masses $m_1$ et $m_2$, séparés d'une distance $r$, s'attirent avec une force $F = G\,\dfrac{m_1 m_2}{r^2}$ ($G = 6{,}67\times 10^{-11}\ \mathrm{N\cdot m^2\cdot kg^{-2}}$). Le **champ gravitationnel** créé par un corps de masse $M$ à la distance $r$ est $\vec{g} = -\dfrac{GM}{r^2}\,\vec{u}_r$, dirigé vers le centre du corps. Les **lois de Kepler** décrivent le mouvement des planètes : (1) les orbites sont des **ellipses** dont le Soleil est un **foyer** ; (2) le rayon Soleil-planète balaie des **aires égales en des temps égaux** ; (3) $\dfrac{T^2}{a^3} = \text{cste}$ pour les corps d'un même système ($T$ période, $a$ demi-grand axe). Pour un satellite en orbite circulaire : $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ et $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{GM}}$. L'orbite **géostationnaire** est à $\approx 36\,000\ \mathrm{km}$ d'altitude avec $T = 24\ \mathrm{h}$.
Newton a montré que la même force qui fait tomber une pomme gouverne le mouvement des planètes. Deux corps s'attirent proportionnellement à leurs **masses** et inversement au **carré de la distance**.
- Deux corps ponctuels de masses $m_1$ et $m_2$ s'attirent avec la force $F = G\,\dfrac{m_1 m_2}{r^2}$.
- $G = 6{,}674\times 10^{-11}\ \mathrm{N\cdot m^2\cdot kg^{-2}}$ : constante de gravitation universelle.
- La force est **attractive**, dirigée selon la droite joignant les deux centres de masse.
- Elle est **proportionnelle** aux masses et **inversement proportionnelle** au carré de la distance.
- Exemple : force Terre-Lune $\approx 2\times 10^{20}\ \mathrm{N}$.
Exemple
Force Terre-Lune : $F = G\,\dfrac{M_T M_L}{r^2} = 6{,}67\times 10^{-11} \times \dfrac{6{,}0\times 10^{24} \times 7{,}3\times 10^{22}}{(3{,}84\times 10^{8})^2} \approx 2\times 10^{20}\ \mathrm{N}$. C'est cette force qui maintient la Lune en orbite.
Piège à éviter
La distance $r$ se mesure entre les **centres** de masse, pas entre les surfaces. Pour la Terre, $r = R_T + h$ (rayon $+$ altitude).
Le **champ gravitationnel** $\vec{g}$ caractérise l'effet gravitationnel d'un astre en chaque point de l'espace. C'est ce champ qui donne son **poids** $\vec{P} = m\vec{g}$ à tout objet.
- Champ créé par $M$ à la distance $r$ : $g = \dfrac{GM}{r^2}$.
- **Dirigé vers le centre** du corps qui crée le champ.
- À la surface de la Terre : $g = \dfrac{GM_T}{R_T^2} \approx 9{,}81\ \mathrm{m/s^2}$ ($R_T \approx 6\,371\ \mathrm{km}$).
- Le **poids** $\vec{P} = m\vec{g}$ est la force de gravitation subie par un objet de masse $m$ dans le champ $\vec{g}$.
- $g$ **diminue** avec l'altitude : à $400\ \mathrm{km}$ (ISS), $g \approx 8{,}7\ \mathrm{m/s^2}$ (pas l'apesanteur, mais la chute libre !).
Exemple
À la surface de Mars ($M = 6{,}4\times 10^{23}\ \mathrm{kg}$, $R = 3\,390\ \mathrm{km}$) : $g = \dfrac{GM}{R^2} = \dfrac{6{,}67\times 10^{-11} \times 6{,}4\times 10^{23}}{(3{,}39\times 10^{6})^2} \approx 3{,}7\ \mathrm{m/s^2}$. Un objet de $60\ \mathrm{kg}$ y pèserait $P = 60 \times 3{,}7 = 222\ \mathrm{N}$ (contre $589\ \mathrm{N}$ sur Terre).
Piège à éviter
$g \approx 9{,}81\ \mathrm{m/s^2}$ n'est vrai qu'à la **surface** de la Terre. En altitude, $g$ diminue en $\dfrac{1}{r^2}$. À l'altitude de l'ISS ($400\ \mathrm{km}$), $g \approx 8{,}7\ \mathrm{m/s^2}$ — loin d'être nul !
Les **lois de Kepler** décrivent empiriquement le mouvement des planètes. Newton les a retrouvées théoriquement à partir de sa loi de gravitation. Elles s'appliquent à tout corps en orbite.
- **1re loi (orbites)** : chaque planète décrit une **ellipse** dont le Soleil occupe un **foyer**.
- **2e loi (aires)** : le segment Soleil-planète balaie des **aires égales en des durées égales** $\rightarrow$ la planète va plus vite au **périhélie**.
- **3e loi (périodes)** : $\dfrac{T^2}{a^3} = \dfrac{4\pi^2}{GM} = \text{cste}$ pour tous les corps orbitant autour du même astre.
- Pour une **orbite circulaire** : $a = r$ et $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{GM}\,r^3$.
- Application : connaissant $T$ et $r$ d'un satellite, on calcule la masse $M$ de l'astre central.
Exemple
Terre : $T = 365{,}25\ \mathrm{j} = 3{,}156\times 10^{7}\ \mathrm{s}$, $a = 1\ \mathrm{UA} = 1{,}50\times 10^{11}\ \mathrm{m}$. $M_{\text{Soleil}} = \dfrac{4\pi^2 a^3}{G\,T^2} = \dfrac{4\pi^2 \times (1{,}50\times 10^{11})^3}{6{,}67\times 10^{-11} \times (3{,}156\times 10^{7})^2} \approx 2{,}0\times 10^{30}\ \mathrm{kg}$.
Piège à éviter
La 3e loi $\dfrac{T^2}{a^3} = \text{cste}$ n'est valable que pour des corps orbitant autour du **même** astre central. On ne peut pas comparer le $\dfrac{T^2}{a^3}$ de la Lune (autour de la Terre) avec celui de Mars (autour du Soleil).
Un satellite en orbite circulaire est en **chute libre permanente** autour de la Terre. Sa vitesse ne dépend que de l'altitude — plus il est haut, plus il va lentement.
- Orbite circulaire, PFD : $\dfrac{GMm}{r^2} = \dfrac{mv^2}{r} \rightarrow v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ (vitesse orbitale).
- Plus l'orbite est **haute**, plus la vitesse est **faible** et la période **longue**.
- **Satellite géostationnaire** : $T = 24\ \mathrm{h}$, orbite équatoriale, altitude $\approx 36\,000\ \mathrm{km}$.
- Il paraît **fixe** vu de la Terre $\rightarrow$ télécommunications, météo.
- **Impesanteur** en orbite : le satellite et son contenu sont en **chute libre** permanente ensemble.
- **ISS** : orbite basse ($\approx 400\ \mathrm{km}$), $T \approx 92\ \mathrm{min}$, $v \approx 7{,}7\ \mathrm{km/s}$.
Exemple
Orbite géostationnaire : $T = 24\ \mathrm{h} = 86\,400\ \mathrm{s}$. $r^3 = \dfrac{GM\,T^2}{4\pi^2} = \dfrac{6{,}67\times 10^{-11} \times 6{,}0\times 10^{24} \times (86\,400)^2}{4\pi^2}$. On trouve $r \approx 42\,200\ \mathrm{km}$, soit $h = r - R_T \approx 42\,200 - 6\,371 \approx 35\,800\ \mathrm{km}$.
Piège à éviter
L'impesanteur dans l'ISS n'est **pas** due à l'absence de gravité ($g \approx 8{,}7\ \mathrm{m/s^2}$ à $400\ \mathrm{km}$ !). Elle vient de ce que l'ISS et ses occupants sont en **chute libre ensemble** autour de la Terre.
Quiz - Gravitation et lois de Kepler
10 questions
Notions clés — Physique-Chimie (Spé)
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Gravitation et lois de Kepler, extraits du quiz de révision.
La force de gravitation entre deux masses est proportionnelle à :
Réponse :
$\dfrac{m_1 m_2}{r^2}$
$F = G\,\dfrac{m_1 m_2}{r^2}$. La force est proportionnelle au produit des masses et inversement proportionnelle au carré de la distance.
La 1re loi de Kepler stipule que les orbites planétaires sont :
Réponse :
Des ellipses dont le Soleil est un foyer
Les planètes décrivent des **ellipses** dont le Soleil occupe l'un des **foyers** (pas le centre). Une orbite circulaire est un cas particulier d'ellipse.
La 3e loi de Kepler s'écrit :
Réponse :
$\dfrac{T^2}{a^3} = \text{cste}$
$\dfrac{T^2}{a^3} = \dfrac{4\pi^2}{GM}$ est constant pour tous les corps orbitant autour du même astre. C'est la loi des périodes.
La vitesse d'un satellite en orbite circulaire est :
Réponse :
$v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$
Du PFD en orbite circulaire : $\dfrac{GMm}{r^2} = \dfrac{mv^2}{r} \rightarrow v^2 = \dfrac{GM}{r} \rightarrow v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$. Plus l'orbite est haute, plus la vitesse est faible.