Physique-Chimie (Spé) — Ondes et signaux
La lunette astronomique
Modèle de l'œil, lentilles minces, grossissement, construction d'images
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
La lunette astronomique est un instrument d'optique composé de deux lentilles convergentes : l'objectif (grande focale $f'_1$) et l'oculaire (petite focale $f'_2$). L'objectif forme une image intermédiaire $A_1B_1$ au voisinage de son foyer image $F'_1$. L'oculaire, placé pour que $F_2$ coïncide avec $F'_1$ (lunette afocale), donne une image finale à l'infini observable par l'œil. Le grossissement $G = \dfrac{\alpha'}{\alpha} = \dfrac{f'_1}{f'_2}$, où $\alpha$ est l'angle sous lequel on voit l'objet à l'œil nu et $\alpha'$ l'angle sous lequel on le voit à travers la lunette. L'image est renversée. Le modèle de l'œil est une lentille convergente (cristallin) $+$ écran (rétine). L'accommodation modifie la vergence du cristallin pour voir net à différentes distances.
Les lentilles convergentes sont les « briques de base » de l'optique. Il faut maîtriser les rayons particuliers, la relation de conjugaison et le grandissement pour comprendre la lunette.
- Lentille convergente : plus épaisse au centre, fait converger les rayons parallèles au foyer image $F'$.
- Distance focale $f' = \overline{OF'}$ (positive pour une lentille convergente).
- Vergence $C = \dfrac{1}{f'}$ en dioptries ($\mathrm{\delta}$), avec $f'$ en mètres.
- Relation de conjugaison : $\dfrac{1}{\overline{OA'}} - \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{f'}$ (formule de Descartes).
- Grandissement $\gamma = \dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}$.
- Rayons particuliers : passant par le centre (non dévié), parallèle à l'axe (passe par $F'$), passant par $F$ (ressort parallèle).
Exemple
Lentille de $f' = 10\ \mathrm{cm}$, objet à $\overline{OA} = -30\ \mathrm{cm}$. $\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{-30} = \dfrac{3}{30} - \dfrac{1}{30} = \dfrac{2}{30}$. $\overline{OA'} = 15\ \mathrm{cm}$. $\gamma = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \dfrac{15}{-30} = -0{,}5$ (image réelle, renversée, réduite).
Piège à éviter
La formule de conjugaison utilise des grandeurs algébriques (signées). $\overline{OA} < 0$ si l'objet est avant la lentille (convention habituelle). Ne pas oublier le signe !
L'œil se modélise simplement : une lentille convergente (cristallin) qui projette l'image sur un écran (rétine). L'accommodation ajuste la vergence pour voir net à différentes distances.
Lunette afocale : $F'_1$ coïncide avec $F_2$. L'image finale est à l'infini, renversée, grossie $G = \dfrac{f'_1}{f'_2}$ fois.
- L'œil est modélisé par une lentille convergente (cristallin) et un écran (rétine).
- L'accommodation : le cristallin change de vergence pour former une image nette sur la rétine.
- Punctum remotum (PR) : point le plus éloigné vu net sans accommodation (à l'infini pour un œil normal).
- Punctum proximum (PP) : point le plus proche vu net avec accommodation maximale ($\approx 25\ \mathrm{cm}$).
- Approfondissement (hors programme de Terminale) : les défauts de l'œil et leur correction ne sont pas exigibles. Myopie : œil trop convergent, image devant la rétine $\rightarrow$ correction par lentille divergente.
- Hypermétropie : œil pas assez convergent, image derrière la rétine $\rightarrow$ correction par lentille convergente.
Exemple
(Approfondissement, hors programme.) Œil myope : PR à $2\ \mathrm{m}$ au lieu de l'infini. Il faut une lentille divergente de vergence $C = -\dfrac{1}{d_{PR}} = -\dfrac{1}{2} = -0{,}5\ \mathrm{\delta}$ pour ramener le PR à l'infini. Ordonnance : $-0{,}50$ dioptries.
Piège à éviter
L'accommodation modifie la vergence du cristallin (sa courbure), pas la distance cristallin-rétine. L'œil n'est pas un appareil photo (où on déplace l'objectif). C'est la forme de la lentille qui change.
La lunette astronomique combine deux lentilles convergentes pour grossir les objets lointains. Dans la configuration afocale (la seule au programme), l'image finale est à l'infini — observable sans fatigue.
- Objectif : lentille convergente de grande focale $f'_1$ (collecte la lumière et forme l'image intermédiaire).
- Oculaire : lentille convergente de petite focale $f'_2$ (grossit l'image intermédiaire).
- Lunette afocale : $F_2$ de l'oculaire coïncide avec $F'_1$ de l'objectif $\rightarrow$ l'image finale est à l'infini.
- L'encombrement de la lunette afocale est $f'_1 + f'_2$.
- L'image est renversée (inversée haut-bas et gauche-droite).
- Pour les objets astronomiques (très éloignés), l'image intermédiaire se forme dans le plan focal de l'objectif.
Exemple
Lunette avec $f'_1 = 90\ \mathrm{cm}$ et $f'_2 = 1{,}5\ \mathrm{cm}$. Encombrement $= f'_1 + f'_2 = 91{,}5\ \mathrm{cm}$. $G = \dfrac{f'_1}{f'_2} = \dfrac{90}{1{,}5} = 60$. La Lune (diamètre apparent $0{,}5^\circ$) paraît sous un angle de $0{,}5^\circ \times 60 = 30^\circ$.
Piège à éviter
L'image dans une lunette astronomique est renversée. Ce n'est pas un problème pour les astres (pas de « haut » ni de « bas »), mais les longues-vues terrestres ajoutent un prisme redresseur.
Le grossissement $G$ mesure combien la lunette « agrandit » angulairement un objet. Pour la lunette afocale, la formule est simple : $G = \dfrac{f'_1}{f'_2}$.
- Grossissement angulaire $G = \dfrac{\alpha'}{\alpha}$ (rapport des angles sous-tendus).
- $\alpha$ : angle sous lequel l'objet est vu à l'œil nu.
- $\alpha'$ : angle sous lequel l'objet est vu à travers la lunette.
- Pour une lunette afocale : $G = \dfrac{f'_1}{f'_2}$.
- Pour augmenter $G$ : grande focale d'objectif et petite focale d'oculaire.
- Exemple : $f'_1 = 1\ \mathrm{m}$, $f'_2 = 2\ \mathrm{cm}$ $\rightarrow$ $G = \dfrac{100}{2} = 50$ (l'objet paraît $50\times$ plus gros).
Exemple
Jupiter a un diamètre apparent $\alpha \approx 40''$ (secondes d'arc) $= \dfrac{40}{3600} \approx 0{,}011^\circ$. Avec $G = 150$ ($f'_1 = 1{,}5\ \mathrm{m}$, $f'_2 = 1\ \mathrm{cm}$) : $\alpha' = 150\times 0{,}011^\circ = 1{,}67^\circ$. On distingue ses bandes nuageuses et ses satellites.
Piège à éviter
Le grossissement $G = \dfrac{f'_1}{f'_2}$ n'est valable que pour la lunette afocale ($F'_1$ confondu avec $F_2$). Si la lunette n'est pas afocale, la formule change et l'image n'est plus à l'infini.
Quiz - La lunette astronomique
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur La lunette astronomique, extraits du quiz de révision.
Le grossissement d'une lunette afocale est :
Réponse :
$G = \dfrac{f'_1}{f'_2}$
$G = \dfrac{f'_1}{f'_2}$ pour une lunette afocale. Plus l'objectif a une grande focale et l'oculaire une petite, plus le grossissement est élevé.
Dans une lunette afocale, $F_2$ de l'oculaire coïncide avec :
Réponse :
$F'_1$ de l'objectif
Dans la configuration afocale, le foyer objet de l'oculaire ($F_2$) coïncide avec le foyer image de l'objectif ($F'_1$). L'image finale est alors rejetée à l'infini.
L'image dans une lunette astronomique est :
Réponse :
Renversée
La lunette astronomique donne une image renversée (inversée). Ce n'est pas gênant pour observer les astres, mais les longues-vues terrestres ajoutent un système redresseur.
La vergence d'une lentille s'exprime en :
Réponse :
Dioptries ($\mathrm{\delta}$)
$C = \dfrac{1}{f'}$ en dioptries ($\mathrm{\delta}$), avec $f'$ la distance focale en mètres. Plus la vergence est grande, plus la lentille est convergente.